2020-2021学年3.2 函数的基本性质第二课时学案设计

第二课时　函数奇偶性的应用(习题课)

角度一　定义法求函数解析式

[例1]　已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1.

(1)求f(－1)；

(2)求f(x)的解析式．

[解]　(1)因为函数f(x)为奇函数，

所以f(－1)＝－f(1)＝－(－2×12＋3×1＋1)＝－2.

(2)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.

由于f(x)是奇函数，则f(x)＝－f(－x)，

所以f(x)＝2x2＋3x－1.当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，

则f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0.

所以f(x)的解析式为f(x)＝

[母题探究]

(变条件)若将本例中的“奇”改为“偶”，“x>0”改为“x≥0”，其他条件不变，求f(x)的解析式．

解：当x<0时，－x>0，此时f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝－2x2－3x＋1，所以f(x)的解析式为

f(x)＝

利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；

(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；

(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．　　　　

角度二　方程组法求函数解析式

[例2]　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．

[解]　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，

由f(x)＋g(x)＝， ①

用－x代替x，

得f(－x)＋g(－x)＝，

∴f(x)－g(x)＝， ②

(①＋②)÷2，得f(x)＝；

(①－②)÷2，得g(x)＝.

已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，把x换为－x，构造方程组求解．　　　　

[跟踪训练]

已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于(　　)

A．－26　　　　　　　　 B．－18

C．－10  D．10

解析：选A　法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18，

∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.

法二：由已知条件，得

①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.

又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26.

[例3]　已知偶函数f(x)的定义域为R，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)

A．f(π)>f(－3)>f(－2)

B．f(π)>f(－2)>f(－3)

C．f(π)<f(－3)<f(－2)

D．f(π)<f(－2)<f(－3)

[解析]　∵f(x)在R上是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．∵2<3<π，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴f(2)<f(3)<f(π)，∴f(－2)<f(－3)<f(π)．故选A.

[答案]　A

[母题探究]

1．(变条件)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系如何？

解：因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以有f(2)>f(3)>f(π)．又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，从而有f(－2)>f(－3)>f(π)．

2．(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小．

解：因为函数为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数在R上是增函数，

因为－3<－2<π，所以f(－3)<f(－2)<f(π)．

利用函数的奇偶性与单调性比较大小的方法

(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；

(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．　　　　

[跟踪训练]

已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为(　　)

A．f(1)>f(－10)

B．f(1)<f(－10)

C．f(1)＝f(－10)

D．f(1)和f(－10)关系不定

解析：选A　∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)．又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10，∴f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10).

[例4]　已知定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．

[解]　因为f(x)在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调递减，所以f(x)在区间[－2，2]上单调递减．

又f(1－m)<f(m)，所以

即解得－1≤m<.

故实数m的取值范围是.

[母题探究]

(变条件)若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

解：因为函数为[－2，2]上的偶函数，又函数在区间[－2，0]上单调递减，所以函数在区间[0，2]上单调递增，

原不等式可化为f(|1－m|)<f(|m|)，

故可得即

解得<m≤2.故实数m的取值范围为.

利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤

(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；

(2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题．

[注意]　在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)<0，则f(x－1)<f(1)．注意偶函数f(x)中结论f(x)＝f(|x|)的灵活运用．　　　　

[跟踪训练]

已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围．

解：由f(1－a2)＋f(1－a)<0，

得f(1－a2)<－f(1－a)．

∵y＝f(x)在[－1，1]上是奇函数，

∴－f(1－a)＝f(a－1)，

∴f(1－a2)<f(a－1)．

又∵f(x)在[－1，1]上单调递减，

∴解得

∴0≤a<1，∴a的取值范围是[0，1)．

1．已知y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和是(　　)

A．4  B．2

C．1  D．0

解析：选D　因为y＝f(x)是偶函数，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝0的所有实数根之和为0.

2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x－x2.求当x<0时，f(x)的解析式．

解：当x<0时，－x>0，

于是f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.

因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－(－2x－x2)＝2x＋x2，

即f(x)＝2x＋x2(x<0)．