第二课时　函数的最值

课标要求　1.理解函数的最大(小)值的概念及几何意义.2.会利用函数单调性求最值.

素养要求　由图象抽象出函数最值的概念，发展学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算素养.

自 主 梳 理

函数的最大值与最小值

(1)设D是函数f(x)的定义域，如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，则M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点.

(2)设D是函数f(x)的定义域，如果有a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最小值N＝f(a)，则N为f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点.

温馨提醒　函数的最值和值域的联系与区别

(1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域.

(2)区别：

①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；

②若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素；

③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若单调函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值只有一个.(×)

提示　使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值可能不只一个.

(2)任一函数的最大(小)值一定存在.(×)

提示　函数的最大(小)值不一定存在.

(3)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值就是其图象上最高点的纵坐标，最小值是最低点的纵坐标.(√)

(4)函数f(x)＝(x>0)的最小值为0.(×)

提示　f(x)＝(x>0)取不到0，无最小值.

2.函数f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，则f(x)的最大值为________.

答案　3

解析　根据图象可知，f(x)max＝3.

3.函数y＝－3x2＋2在区间[－1，2]上的最大值为________.

答案　2

解析　函数y＝－3x2＋2的对称轴为x＝0，又0∈[－1，2]，

∴f(x)max＝f(0)＝2.

4.已知函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝________.

答案　

解析　因为f(x)＝在[1，2]上为减函数，

∴A＝f(1)＝1，B＝f(2)＝，

则A－B＝.

题型一　利用图象求函数最值

例1 已知函数f(x)＝|x|(x＋1).

(1)试画出函数f(x)的图象；

(2)写出函数f(x)的单调区间；

(3)求函数f(x)在区间上的最大值.

解　(1)f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示.

(2)由图象可知，f(x)的增区间为，(0，＋∞)；

减区间为.

(3)因为f＝，f＝，

所以f(x)在区间上的最大值为.

思维升华　根据函数图象求最值的关键是作出函数的图象，最大(小)值对应函数图象最高(低)点的纵坐标.

训练1 已知函数f(x)＝

求函数f(x)的最大值、最小值.

解　作出f(x)的图象如图：

由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；

当x＝时，f(x)取最小值为－.

所以f(x)的最大值为2，最小值为－.

题型二　利用单调性求函数的最值

例2 已知函数f(x)＝，x∈[2，5].

(1)判断该函数在区间[2，5]上的单调性，并给予证明；

(2)求该函数在区间[2，5]上的最大值与最小值.

解　(1)f(x)＝在区间[2，5]上是减函数.证明如下：

任意取x1，x2∈[2，5]，且x1<x2，

则f(x1)＝，f(x2)＝.

f(x2)－f(x1)＝－＝.

∵2≤x1<x2≤5，

∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0.

∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)<f(x1).

∴f(x)＝在区间[2，5]上是减函数.

(2)由(1)可知f(x)＝在区间[2，5]上是递减的，故任意的x∈[2，5]均有f(5)≤f(x)≤f(2)，

∴f(x)max＝f(2)＝＝2，

f(x)min＝f(5)＝＝.

思维升华　利用函数的单调性求最值时，首先要证明或判断函数的单调性，若f(x)在[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最小值为f(a)，最大值为f(b)；若f(x)在[a，b]上单调递减，则最小值为f(b)，最大值为f(a).

训练2 已知函数f(x)＝(x>0)，求函数的最大值和最小值.

解　设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝

＝.

当0<x1<x2≤1时，x2－x1>0，x1x2－1<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，

∴f(x)在(0，1]上单调递增；

当1≤x1<x2时，x2－x1>0，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减.

∴f(x)max＝f(1)＝，无最小值.

题型三　二次函数的最值

例3 已知函数f(x)＝x2－ax＋1.

(1)求f(x)在[0，1]上的最大值；

(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值.

解　(1)因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，

所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，

当≤，即a≤1时，

f(x)的最大值为f(1)＝2－a；

当>，即a>1时，

f(x)的最大值为f(0)＝1.

(2)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝.

①当t≥时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；

②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，

∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；

③当t<<t＋1，即－<t<时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，

所以f(x)min＝f＝.

综上，f(x)min＝

思维升华　对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：

(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；

(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；

(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.

通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.

训练3 已知函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a).

(1)求g(a)的函数表达式；

(2)求g(a)的最大值.

解　(1)由f(x)＝2x2－2ax＋3

＝2＋3－，

知图象顶点横坐标为x＝，

根据二次函数图象的顶点横坐标与题设区间的相对位置分类讨论.

①当≤－1，即a≤－2时，

g(a)＝f(－1)＝2a＋5；

②当－1＜＜1，即－2＜a＜2时，

g(a)＝f＝3－；

③当≥1，即a≥2时，

g(a)＝f(1)＝5－2a.

综合①②③，得g(a)＝

(2)当a≤－2时，g(a)≤1；当－2＜a＜2时，g(a)≤3；

当a≥2时，g(a)≤1.

∴当a＝0时，g(a)取得最大值3.

[课堂小结]

1.最大值M是函数图象最高点的纵坐标，也就是函数的整个图象都在直线y＝M的下方，最小值也有类似结论.

2.二次函数在闭区间上的最值

探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.

一、基础达标

1.函数f(x)＝在[1，＋∞)上(　　)

A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值

C.有最大值也有最小值 D.无最大值也无最小值

答案　A

解析　函数f(x)＝在[1，＋∞)上单调递减，在x＝1处取最大值f(1)＝1，>0，无最小值.

2.函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)

A.f(－2)，0   B.0，2

C.f(－2)，2   D.f(2)，2

答案　C

解析　由图象可知，此函数的最小值是f(－2)，最大值是2.

3.函数g(x)＝x2－4x＋3在区间(1，4]上的值域是(　　)

A.[－1，＋∞)   B.[0，3]

C.(－1，3]   D.[－1，3]

答案　D

解析　g(x)＝(x－2)2－1，

当x＝2时，g(x)min＝－1；

当x＝4时，g(x)max＝3，

∴g(x)在(1，4]上的值域为[－1，3].

4.函数f(x)＝的值域为(　　)

A.   B.[－1，2]

C.   D.

答案　A

解析　f(x)＝＝1－，

当x∈时，函数f(x)为增函数，

∴当x＝时，函数取得最小值，

最小值为f＝1－＝1－2＝－1；

当x＝2时，函数取得最大值，最大值为f(2)＝1－＝，即函数f(x)的值域为，故选A.

5.若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(　　)

A.2   B.1

C.－1   D.无最大值

答案　B

解析　作出函数f(x)的图象(如图中实线部分)，则f(x)max＝f(1)＝1，故选B.

6.已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________.

答案　2

解析　f(x)的图象如图：

则f(x)的最大值为f(2)＝2.

7.函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a＝________，b＝________.

答案　－2　0

解析　y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3，

∴函数y在区间[a，b]上单调递增，

即－b2＋6b＋9＝9，

解得b＝0(b＝6不合题意，舍去).

－a2＋6a＋9＝－7，解得a＝－2(a＝8不合题意，舍去).

8.若x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立，则实数m的取值范围是________.

答案　(－∞，－1)

解析　由题意得x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，

令g(x)＝x2－3x＋1－m＝－－m，

其对称轴为x＝，

∴g(x)在区间[－1，1]上是减函数，

∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，

∴m<－1.

9.已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值.

解　设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.

由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，

于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).

所以函数f(x)＝在区间[2，6]上是减函数.

因此，函数f(x)＝在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值.

故f(x)max＝f(2)＝＝2，

f(x)min＝f(6)＝＝.

10.已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.

(1)当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值；

(2)当x∈[－2，3]时，求f(x)的最值；

(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).

解　f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上.

(1)当x∈[－2，0]时，

f(x)在[－2，0]上是减函数，

故当x＝－2时，

f(x)有最大值f(－2)＝11；

当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.

(2)当x∈[－2，3]时，f(x)在[－2，3]上先递减后递增，

故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.

又|－2－1|>|3－1|，

∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.

(3)①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，

此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.

②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，

f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，

故当x＝1时，f(x)取得最小值，

此时g(t)＝f(1)＝2.

③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，

所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，

此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2.

综上得g(t)＝

二、能力提升

11.下列说法正确的是(　　)

A.若函数f(x)的值域为[a，b]，则f(x)min＝a，f(x)max＝b

B.若f(x)min＝a，f(x)max＝b，则函数f(x)的值域为[a，b]

C.若f(x)min＝a，直线y＝a不一定与f(x)的图象有交点

D.若f(x)min＝a，直线y＝a一定与f(x)的图象有且仅有一个交点

答案　A

解析　函数的值域为[a，b]，则最小的函数值即f(x)min＝a，最大的函数值即f(x)max＝b，A对；

f(x)min＝a，f(x)max＝b，区间[a，b]上的某些元素可能不是函数值，因而[a，b]不一定是值域，B错；

若f(x)min＝a，由定义知一定存在x0使f(x0)＝a，即f(x)的图象与直线y＝a一定有交点，但不一定唯一，C，D都错.

12.在区间上，函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)与g(x)＝在同一个点取得相同的最小值，那么f(x)在区间上的最大值为________.

答案　4

解析　由g(x)＝＝x＋＋1，

易知g(x)在上单调递减，在[1，2]上单调递增，

得g(x)min＝g(1)＝3，

于是f(x)也在x＝1处取得最小值3，

则b＝－2，c＝4，

即f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，

所以f(x)在区间上的最大值为f(2)＝4.

13.设函数f(x)＝，其中a∈R.

(1)若a＝1，函数f(x)的定义域为[0，3]，求f(x)的最大值和最小值；

(2)若函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，求使函数f(x)在定义域内是减函数的a的取值范围.

解　f(x)＝＝＝a－.

(1)当a＝1时，f(x)＝1－，

任取x1，x2∈[0，3]，且0≤x1<x2≤3，

则f(x1)－f(x2)＝.

又∵x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，

∴<0，∴f(x1)<f(x2).

∴函数f(x)在[0，3]上是增函数.

∴f(x)max＝f(3)＝1－＝.

f(x)min＝f(0)＝1－＝－1.

(2)任取x3，x4∈(0，＋∞)，且x3>x4>0，

则x3－x4>0，x3＋1>0，x4＋1>0.

若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

只要f(x3)－f(x4)<0，

又f(x3)－f(x4)＝，

∴当a＋1<0，即a<－1时，

有f(x3)－f(x4)<0，

∴a的取值范围为(－∞，－1).

三、创新拓展

14.(多选)已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值情况是(　　)

A.最大值为3   B.最小值为－1

C.无最小值   D.无最大值

答案　CD

解析　由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；

由f(x)<g(x)，得x<0或x>3，

所以F(x)＝

作出函数F(x)的图象(图略)，

可得F(x)无最大值，无最小值.