2020-2021学年3.2 函数的基本性质第一课时同步测试题

课时跟踪检测(二十)　奇偶性的概念

[A级　基础巩固]

1．函数f(x)＝－x的图象(　　)

A．关于y轴对称

B．关于直线y＝x对称

C．关于原点对称

D．关于直线y＝－x对称

解析：选C　∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．

2．(多选)下列函数是偶函数的有(　　)

A．y＝x2＋1　　　　　　 B．y＝2x＋

C．y＝＋  D．y＝|x|＋1

解析：选ABD　选项C，定义域为{1}，不关于原点对称，是非奇非偶函数，其他函数都满足偶函数的要求，故选A、B、D.

3．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有(　　)

A．f(x)f(－x)>0  B．f(x)f(－x)<0

C．f(x)<f(－x)  D．f(x)>f(－x)

解析：选B　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．

又f(x)≠0，∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.

4．(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有(　　)

A．这个函数有两个单调递增区间

B．这个函数有三个单调递减区间

C．这个函数在其定义域内有最大值7

D．这个函数在其定义域内有最小值－7

解析：选BC　根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选B、C.

5．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)

A．奇函数  B．偶函数

C．非奇非偶函数  D．既是奇函数又是偶函数

解析：选A　因为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx.

所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，

所以g(x)为奇函数．

6．若函数y＝(x－1)(x＋a)为偶函数，则a＝________．

解析：∵函数y＝(x－1)(x＋a)＝x2＋(a－1)x－a为偶函数，∴x2－(a－1)x－a＝x2＋(a－1)x－a恒成立，∴a－1＝0，∴a＝1.

答案：1

7．(2021·北京通州高一月考)能说明“若f(x)是奇函数，则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)＝________．

解析：举出x＝0不在定义域内的奇函数即可，如f(x)＝.

答案：(答案不唯一)

8．设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．

解析：由f(x)在[0，6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0，3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0)上，不等式f(x)<0的解集为(－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为(－6，－3)∪(0，3)．

答案：(－6，－3)∪(0，3)

9．已知函数f(x)＝x＋(a>0)．

(1)若f(1)＝3，求a的值；

(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明．

解：(1)由题意知，f(1)＝1＋a＝3，

所以a＝2>0满足题意．

(2)函数f(x)为奇函数，证明如下：

函数f(x)＝x＋(a>0)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且关于原点对称．

又因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，

所以函数f(x)为奇函数．

10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；

(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．

解：(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.

(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴对称点为P′(x，f(x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3)．

[B级　综合运用]

11．(多选)若f(x)为R上的奇函数，则下列四个说法正确的是(　　)

A．f(x)＋f(－x)＝0  B．f(x)－f(－x)＝2f(x)

C．f(x)·f(－x)<0  D．＝－1

解析：选AB　∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故A正确；f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故B正确；当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故C不正确；当x＝0时，的分母为0，无意义，故D不正确．

12．已知函数f(x)＝mx2＋nx＋2m＋n是偶函数，其定义域为[m＋1，－2n＋2]，则(　　)

A．m＝0，n＝0  B．m＝－3，n＝0

C．m＝1，n＝0  D．m＝3，n＝0

解析：选B　由f(x)＝mx2＋nx＋2m＋n是偶函数，得n＝0.又函数的定义域为[m＋1，－2n＋2]，所以m＋1＝2n－2，则m＝－3.

13．函数f(x)＝的定义域为______，是________函数(填“奇”或“偶”)．

解析：依题意有

解得－2≤x≤2且x≠0，

∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]．

∵f(x)＝＝＝－，定义域关于原点对称，

又∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

答案：[－2，0)∪(0，2]　奇

14．函数f(x)＝是定义在(－2，2)上的奇函数，且f(1)＝.

(1)求f(x)的解析式；

(2)判断并证明f(x)的单调性．

解：(1)根据题意，得函数f(x)＝是定义在(－2，2)上的奇函数，则f(0)＝＝0，解得b＝0.

又由f(1)＝，得f(1)＝＝，解得a＝1.

所以f(x)＝.

(2)f(x)在区间(－2，2)上为增函数．证明如下：

设－2<x1<x2<2，则f(x1)－f(x2)＝.

由－2<x1<x2<2，得4＋x1x2>0，x1－x2<0，4－x>0，4－x>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，所以函数f(x)在(－2，2)上为增函数．

[C级　拓展探究]

15．设函数f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.

(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；

(2)若f(x)是偶函数，求a的值；

(3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间．

解：(1)我同意王鹏同学的观点．

理由如下：假设f(x)是奇函数，

则由f(a)＝a2＋3，f(－a)＝a2－4|a|＋3，

可得f(a)＋f(－a)＝0，

即a2－2|a|＋3＝0，

显然a2－2|a|＋3＝0无解，

∴f(x)不可能是奇函数．

(2)若f(x)为偶函数，则有f(a)＝f(－a)，

即a2＋3＝a2－4|a|＋3，解得a＝0.

经验证，此时f(x)＝x2－2|x|＋3是偶函数．

(3)由(2)知f(x)＝x2－2|x|＋3，其图象如图所示，

由图可得，其单调递增区间是(－1，0)和(1，＋∞)．