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高中数学湘教版（2019）必修 第一册3.2 函数的基本性质公开课ppt课件
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这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册3.2 函数的基本性质公开课ppt课件，共43页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，情境导入，知识梳理，2图象法，答案C等内容，欢迎下载使用。
1.结合具体函数了解奇函数、偶函数的概念.(数学抽象)2.结合具体函数了解奇函数、偶函数的几何意义.(直观想象)
在我们的日常生活中,可以观察到许多对称现象,如图,六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
问题:上述材料中哪个图形是轴对称图形?哪个图形是中心对称图形?
知识点一:奇、偶函数的图象特征(1)如果F(x)的图象是以 y轴为对称轴的轴对称图形,就称F(x)是偶函数.(2)如果F(x)的图象是以原点为中心的中心对称图形,就称F(x)是奇函数.
名师点析 奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间[a,b](0
知识点二:奇、偶函数的定义
名师点析 对函数奇偶性定义的理解 函数的奇偶性是相对于定义域I内的任意一个x而言的,而函数的单调性是相对于定义域内的某个非空子集而言的,从这个意义上讲,函数的单调性属于“局部性质”,而函数的奇偶性则属于“整体性质”.
微思考函数f(x)的定义域关于原点对称,对于定义域内的任意x,若f(-x)+f(x)=0,则函数f(x)是否具有奇偶性?若f(-x)-f(x)=0呢?提示 由f(-x)+f(x)=0得f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.由f(-x)-f(x)=0得f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.
例1判断下列函数的奇偶性:
解 (1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函数.
函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(-1)=±f(1)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)函数的定义域关于原点对称.当x>0时,-x<0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
反思感悟 判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:
变式训练1判断下列函数的奇偶性:
(4)f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.
例2已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.
解 (1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.所以f(x)的解析式为
反思感悟 利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.
延伸探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解 当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为
1.奇、偶函数的图象性质例3已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)请补出完整函数y=f(x)的图象;(2)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
解 (1)由题意作出函数图象如图,
(2)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(0,2).
要点笔记由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题.
变式训练2(2021北京西城高三期末)已知f(x)为奇函数,其局部图象如图所示,那么( )A.f(2)=2B.f(2)=-2C.f(2)>-2D.f(2)<-2
答案 C解析 由图可知f(-2)<2,因为函数是奇函数,所以f(-2)=-f(2),即-f(2)<2,则f(2)>-2.故选C.
2.利用奇、偶函数的性质求解析式中的参数例4(2021湖南五市十校高一联考)若函数f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函数,定义域为[3a,a+2],则a+b= .
要点笔记利用奇偶性求参数的方法(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解.
变式训练3(2021上海嘉定高一期末)函数f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则m= . 答案 ±1解析 根据题意f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则f(-x)=-f(x),则有(-x)3+(m2-1)(-x)2+(-x)=-[x3+(m2-1)x2+x],则有2(m2-1)x2=0,故m2-1=0,解得m=±1.
利用定义法、赋值法解决抽象函数奇偶性问题
典例 若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0,则( )A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性
答案 B解析 令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.令x1=x,x2=-x,则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.设x10,所以f(x2-x1)<0,故f(x2)
变式训练已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.
解 (1)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),∴令x=y=1时,有f(1×1)=1×f(1)+1×f(1),∴f(1)=0.∴令x=y=-1时,有f[(-1)×(-1)]=(-1)×f(-1)+(-1)×f(-1),∴f(-1)=0.(2)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),∴令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).将f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x),∴函数f(x)是R上的奇函数.
1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于( )A.-1B.1C.0D.2答案 A解析 因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},根据奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b有一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1.
A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数答案 D解析 由题意知函数的定义域是(-∞,-4)∪(-4,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.
4.若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .
答案 4解析 f(x)=x2+(a-4)x-4a,∵f(x)是偶函数,∴a-4=0,即a=4.
5.(2021湖南常德鼎城高一期中)已知函数f(x)为定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式;(2)画出函数f(x)的图象.
解 (1)①当x=0时,f(0)=0;②当x<0时,-x>0,∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
1.结合具体函数了解奇函数、偶函数的概念.(数学抽象)2.结合具体函数了解奇函数、偶函数的几何意义.(直观想象)
在我们的日常生活中,可以观察到许多对称现象,如图,六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
问题:上述材料中哪个图形是轴对称图形?哪个图形是中心对称图形?
知识点一:奇、偶函数的图象特征(1)如果F(x)的图象是以 y轴为对称轴的轴对称图形,就称F(x)是偶函数.(2)如果F(x)的图象是以原点为中心的中心对称图形,就称F(x)是奇函数.
名师点析 奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间[a,b](0
知识点二:奇、偶函数的定义
名师点析 对函数奇偶性定义的理解 函数的奇偶性是相对于定义域I内的任意一个x而言的,而函数的单调性是相对于定义域内的某个非空子集而言的,从这个意义上讲,函数的单调性属于“局部性质”,而函数的奇偶性则属于“整体性质”.
微思考函数f(x)的定义域关于原点对称,对于定义域内的任意x,若f(-x)+f(x)=0,则函数f(x)是否具有奇偶性?若f(-x)-f(x)=0呢?提示 由f(-x)+f(x)=0得f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.由f(-x)-f(x)=0得f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.
例1判断下列函数的奇偶性:
解 (1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函数.
函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(-1)=±f(1)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)函数的定义域关于原点对称.当x>0时,-x<0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
反思感悟 判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:
变式训练1判断下列函数的奇偶性:
(4)f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.
例2已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.
解 (1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.所以f(x)的解析式为
反思感悟 利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.
延伸探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解 当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为
1.奇、偶函数的图象性质例3已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)请补出完整函数y=f(x)的图象;(2)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
解 (1)由题意作出函数图象如图,
(2)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(0,2).
要点笔记由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题.
变式训练2(2021北京西城高三期末)已知f(x)为奇函数,其局部图象如图所示,那么( )A.f(2)=2B.f(2)=-2C.f(2)>-2D.f(2)<-2
答案 C解析 由图可知f(-2)<2,因为函数是奇函数,所以f(-2)=-f(2),即-f(2)<2,则f(2)>-2.故选C.
2.利用奇、偶函数的性质求解析式中的参数例4(2021湖南五市十校高一联考)若函数f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函数,定义域为[3a,a+2],则a+b= .
要点笔记利用奇偶性求参数的方法(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解.
变式训练3(2021上海嘉定高一期末)函数f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则m= . 答案 ±1解析 根据题意f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则f(-x)=-f(x),则有(-x)3+(m2-1)(-x)2+(-x)=-[x3+(m2-1)x2+x],则有2(m2-1)x2=0,故m2-1=0,解得m=±1.
利用定义法、赋值法解决抽象函数奇偶性问题
典例 若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0,则( )A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性
答案 B解析 令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.令x1=x,x2=-x,则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.设x1
变式训练已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.
解 (1)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),∴令x=y=1时,有f(1×1)=1×f(1)+1×f(1),∴f(1)=0.∴令x=y=-1时,有f[(-1)×(-1)]=(-1)×f(-1)+(-1)×f(-1),∴f(-1)=0.(2)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),∴令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).将f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x),∴函数f(x)是R上的奇函数.
1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于( )A.-1B.1C.0D.2答案 A解析 因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},根据奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b有一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1.
A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数答案 D解析 由题意知函数的定义域是(-∞,-4)∪(-4,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.
4.若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .
答案 4解析 f(x)=x2+(a-4)x-4a,∵f(x)是偶函数,∴a-4=0,即a=4.
5.(2021湖南常德鼎城高一期中)已知函数f(x)为定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式;(2)画出函数f(x)的图象.
解 (1)①当x=0时,f(0)=0;②当x<0时,-x>0,∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
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