高中数学湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.2 函数的基本性质第二课时当堂检测题

课时跟踪检测(二十一)　函数奇偶性的应用(习题课)

[A级　基础巩固]

1．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)恒成立，且f(1)＝1，则f(3)＋f(4)＋f(5)的值为(　　)

A．－1　　　　　　　 B．1

C．2  D．0

解析：选D　∵f(x)是R上的奇函数，f(1)＝1，

∴f(－1)＝－f(1)＝－1，f(0)＝0.

依题意得f(3)＝f(－1＋4)＝－f(1)＝－1，

f(4)＝f(0＋4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1＋4)＝f(1)＝1.

因此，f(3)＋f(4)＋f(5)＝－1＋0＋1＝0，故选D.

2．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选A　由题意得|2x－1|<，即－<2x－1<，即<2x<，解得<x<，故选A.

3．若奇函数f(x)在区间[2，5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有(　　)

A．最小值6  B．最小值－6

C．最大值－6  D．最大值6

解析：选C　因为奇函数f(x)在[2，5]上有最小值6，所以可设a∈[2，5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.

4．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)

A．|f(x)|g(x)是奇函数

B．f(x)|g(x)|是奇函数

C．f(x)＋|g(x)|是偶函数

D．|f(x)|＋g(x)是偶函数

解析：选BD　A中，令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴A中函数是偶函数，A错误；B中，令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴B中函数是奇函数，B正确；C中，由f(x)是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，由g(x)是偶函数，可得g(－x)＝g(x)，由f(－x)＋|g(－x)|＝－f(x)＋|g(x)|知C错误；D中，由|f(－x)|＋g(－x)＝|－f(x)|＋g(x)＝|f(x)|＋g(x)，知D正确．故选B、D.

5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＝x3，则f(2)的值是(　　)

A．8  B．－8

C.  D．－

解析：选B　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2)＝f(－2)＝(－2)3＝－8，故选B.

6．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________．

解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.

答案：－x＋1

7．若函数f(x)＝为奇函数，则f[g(－1)]＝________．

解析：根据题意，当x<0时，f(x)＝g(x)，又f(x)为奇函数，∵g(－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－(12＋2×1)＝－3，则f[g(－1)]＝f(－3)＝－f(3)＝－(32＋2×3)＝－15.

答案：－15

8．已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________．

解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)，因为函数f(x)为R上的偶函数，故f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)．

答案：x(x＋1)

9．已知定义在(－1，1)上的函数f(x)＝.

(1)试判断f(x)的奇偶性及在(－1，1)上的单调性；

(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0.

解：(1)因为f(x)＝，

所以f(－x)＝＝－＝－f(x)．

故f(x)＝为奇函数．

任取x1，x2∈(－1，1)且x1<x2，

所以f(x2)－f(x1)＝－

＝＝.

因为x2－x1>0，1－x1x2>0且分母x＋1>0，x＋1>0，所以f(x2)>f(x1)，

故f(x)＝在(－1，1)上为增函数．

(2)因为定义在(－1，1)上的奇函数f(x)是增函数，

由f(t－1)＋f(2t)<0，

得f(t－1)<－f(2t)＝f(－2t)．

所以有即解得0<t<.

故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为.

10．已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝，h(x)＝.

(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；

(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；

(3)由此你能猜想出什么样的结论？

解：(1)∵g(－x)＝＝g(x)，h(－x)＝＝－h(x)，∴g(x)是偶函数，h(x)是奇函数．

(2)g(x)＋h(x)＝＋＝f(x)．

(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．

[B级　综合运用]

11．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是(　　)

A．f(－1)＝0

B．f(x)的最大值为

C．f(x)在(－1，0)上是增函数

D．f(x)>0的解集为(－1，1)

解析：选AB　f(－1)＝f(1)＝0，A正确；x≥0时，f(x)＝x－x2＝－＋，∴f(x)的最大值为，B正确；f(x)在上是减函数，C错误；f(x)>0的解集为(－1，0)∪(0，1)，D错误．

12．已知函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数，且f(x)＋g(x)＝x2－－2，则f(2)＝(　　)

A．－  B．

C．－3  D．

解析：选A　∵f(x)＋g(x)＝x2－－2， ①

∴f(－x)＋g(－x)＝(－x)2－－2＝x2－－2，

又∵函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数，

∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，

∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝x2－－2， ②

联立①②消去g(x)，得f(x)＝－＋，

∴f(2)＝－＋＝－.故选A.

13．函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是________．

解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．

∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.

故由－1≤f(x－2)≤1，

得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．

又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，

∴1≤x≤3.

答案：{x|1≤x≤3}

14．已知函数f(x)＝x2＋(b＋1)x＋1是定义在[a－2，a]上的偶函数，g(x)＝f(x)＋|x－t|，其中a，b，t均为常数．

(1)求实数a，b的值；

(2)试讨论函数g(x)的奇偶性；

(3)若－≤t≤，求函数g(x)的最小值．

解：(1)由题意，得

解得

(2)由(1)得g(x)＝x2＋|x－t|＋1，x∈[－1，1]．

当t＝0时，g(x)＝x2＋|x|＋1＝g(－x)，则函数g(x)为偶函数；

当t≠0时，g(x)为非奇非偶函数．

(3)g(x)＝f(x)＋|x－t|＝

所以函数g(x)在[t，1]上单调递增，

则g(x)min＝g(t)＝t2＋1；

函数g(x)在[－1，t]上单调递减，

则g(x)min＝g(t)＝t2＋1.

综上，函数g(x)的最小值为t2＋1.

[C级　拓展探究]

15．(2021·安徽师大附中高一月考)已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；

(3)解关于实数t的不等式f(t－1)＋f(t)<0.

解：(1)因为函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，所以f(0)＝0，得b＝0.

又知f＝，所以＝，解得a＝1，

所以f(x)＝.

(2)证明：设x1和x2是区间(－1，1)上任意两个实数，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝－＝，

由于－1<x1<x2<1，所以－1<x1x2<1，即1－x1x2>0，

所以>0，即f(x2)－f(x1)>0，所以f(x)在(－1，1)上是增函数．

(3)因为f(x)是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

所以f(t－1)＋f(t)<0等价于f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，即f(t－1)<f(－t)，

又由(2)知f(x)在(－1，1)上是增函数，

所以解得0<t<，

即原不等式的解集为.