高中数学湘教版（2019）必修 第一册3.2 函数的基本性质课文配套课件ppt

课后素养落实(二十四)　奇偶性的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝x3＋x－1

B．f(x)＝－x3－x－1

C．f(x)＝x3－x＋1

D．f(x)＝－x3－x＋1

A　[∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

当x<0时，－x>0，∵x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，

∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1，

∴－f(x)＝－x3－x＋1，∴f(x)＝x3＋x－1．

即x<0时，f(x)＝x3＋x－1．故选A．]

2．设函数f(x)＝且f(x)为偶函数，则g(－2)等于(　　)

A．6 B．－6　　　

C．2　　　 D．－2

A　[∵f(x)为偶函数，∴g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝4＋2＝6.]

3．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　)

A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1)

B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)

C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)

D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)

C　[∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C．]

4．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)

A．(－∞，0] B．[0，＋∞)

C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)

A　[因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．]

5.一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图，下列说法正确的是(　　)

A．这个函数仅有一个单调增区间

B．这个函数有两个单调减区间

C．这个函数在其定义域内有最大值是7

D．这个函数在其定义域内有最小值是－7

C　[根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,7]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.故选C．

]

二、填空题

6．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.

＋1　[∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝＋1，

∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝＋1，

即x＜0时，f(x)＝＋1．]

7．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2 021，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．

2 021　[由于偶函数的图象关于y轴对称，

所以f(x)在对称区间内的最值相等．

又当x∈(0，＋∞)时，f(x)最小值＝2 021，

故当x∈(－∞，0)时，f(x)最小值＝2 021．]

8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．

f(－2)<f(1)<f(0)　[当m＝1时，f(x)＝6x＋2不合题意；

当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，∴m＝0，

∴f(x)＝－x2＋2，

∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．

又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．]

三、解答题

9．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.

[解]　∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，

∴由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得

f(1－x)<－f(1－2x)，∴f(1－x)<f(2x－1)．

又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，

∴解得0<x<，

∴原不等式的解集为.

10．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上是单调递增还是单调递减？证明你的结论．

[解]　F(x)在(－∞，0)上单调递减．

证明如下：

任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则有－x1>－x2>0.

因为y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，所以f(－x2)<f(－x1)<0，                             ①

又因为f(x)是奇函数，

所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)， ②

由①②得f(x2)>f(x1)>0.

于是F(x1)－F(x2)＝>0，

即F(x1)>F(x2)，

所以F(x)＝在(－∞，0)上单调递减．

1．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为(　　)

A．(－1,0)∪(1，＋∞)

B．(－∞，－1)∪(0,1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D．(－1,0)∪(0,1)

C　[因为f(x)为奇函数，＜0，

即＜0，

因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减且f(1)＝0，

所以当x＞1时，f(x)＜0.

因为奇函数图象关于原点对称，所以在(－∞，0)上f(x)为单调递减且f(－1)＝0，即x＜－1时，f(x)＞0.

综上使＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]

2．(多选题)设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)内单调递增，f(－2)＝0，则下列区间中使得xf(x)<0的有(　　)

A．(－1,1)　　　 B．(0,2)

C．(－2,0) D．(2,4)

CD　[结合题意画出草图，如图所示．

当x>0时，f(x)<0得x>2；

当x<0时，f(x)>0得－2<x<0，

结合选项得，使xf(x)<0的区间有(－2,0)和(2,4)．故选CD．]

3．如果函数F(x)＝是奇函数，则F(－1)＝________，f(x)＝________.

1　2x＋3　[∵F(x)为奇函数，∴F(－1)＝－F(1)＝－(2×1－3)＝1．

当x<0时，－x>0，F(－x)＝－2x－3，

又F(x)为奇函数，故F(－x)＝－F(x)，

∴F(x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.]

4．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝________，g(x)＝________.

x2－2　x　[f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.]

经过函数性质的学习，我们知道“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形”的充要条件是“y＝f(x)为偶函数”．

(1)若f(x)为偶函数，且当x≤0时，f(x)＝2x－1，求f(x)的解析式，并求不等式f(x)>f(2x－1)的解集；

(2)某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形”的充要条件是“y＝f(x＋a)为偶函数”．若函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，g(x)＝x2－.

①求g(x)的解析式；

②求不等式g(x)>g(3x－1)的解集．

[解]　(1)设x>0，则－x<0，则f(－x)＝2·(－x)－1＝－2x－1，

又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1．

所以f(x)＝

因为f(x)为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，

所以f(x)>f(2x－1)等价于|x|<|2x－1|，

即x2<(2x－1)2，解得x<或x>1．

所以不等式的解集是.

(2)①因为g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以y＝g(x＋1)为偶函数，

所以g(1＋x)＝g(1－x)，即g(x)＝g(2－x)对任意x∈R恒成立．

又当x<1时，2－x>1，

所以g(x)＝(2－x)2－＝x2－4x＋4＋.

所以g(x)＝

②任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，则

g(x1)－g(x2)＝x－－＝(x1－x2)，

因为x1<x2，所以x1－x2<0，

又x1＋x2>0，>0，

所以(x1－x2)<0，

即g(x1)<g(x2)．

所以函数y＝g(x)在[1，＋∞)上单调递增，

又因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，

所以g(x)>g(3x－1)等价于|x－1|>|3x－2|，

即(x－1)2>(3x－2)2，解得<x<.

所以不等式的解集为.