高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系巩固练习

第八章立体几何初步

8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.1　平面

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.空间中可以确定一个平面的条件是(　　)

A.三个点 B.四个点

C.三角形 D.四边形

答案C

解析当三个点共线时不能确定一个平面,故选项A错误;当四个点为三棱锥的四个顶点时,最多确定四个平面,故选项B错误;三角形的三个顶点不共线,因此能确定一个平面,故选项C正确;空间四边形不能确定一个平面,故选项D错误.

2.圆心和圆上任意两点可确定的平面有(　　)

A.0个 B.1个

C.2个 D.1个或无数个

答案D

解析若圆心和圆上两点共线,则可确定无数个平面;若三点不共线,则确定一个平面.

3.已知A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a⊂α,b⊂α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系中成立的是(　　)

A.l⊂α B.l∈α

C.l∩α=A D.l∩α=B

答案A

解析由基本事实2或画图可知:l⊂α.

4.已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是(　　)

A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β

B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN

C.A∈α,A∈β⇒α∩β=A

D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合

答案C

解析两平面有公共点,则两平面有一条交线,故C错.

5.(多选题)下列说法错误的是(　　)

A.不共面的四点中,任意三点不共线

B.三条两两相交的直线在同一平面内

C.有三个不同公共点的两个平面重合

D.依次首尾相接的四条线段不一定共面

答案BC

解析由基本事实易知选项A,D正确;对于选项B,如正方体中,具有同一顶点的三条棱不在同一平面内,故选项B错误;对于选项C,三个不同的公共点可在两平面的交线上,故选项C错误.

6.平面α∩平面β=l,点A,B∈α,点C∈平面β且C∉l,AB∩l=R,设过点A,B,C三点的平面为平面γ,则β∩γ=(　　)

A.直线AC B.直线BC

C.直线CR D.以上都不对

答案C

解析根

据题意画出图形,如图所示,因为点C∈β,且点C∈γ,所以C∈β∩γ.因为点R∈AB,所以点R∈γ,又R∈β,所以R∈β∩γ,从而β∩γ=CR.

7.三条直线两两平行,则过其中任意两条直线最多共可确定　　　　　个平面. 

答案3

解析当三条直线在同一个平面内时,则可确定一个平面;当三条直线不在同一个平面内时,如三棱柱三条侧棱所在直线,此时可确定三个平面.

8.把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后横线上.

(1)A∉α,a⊂α:　　　　; 

(2)α∩β=a,P∉α且P∉β:　　　　; 

(3)a⊄α,a∩α=A:　　　　; 

(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:　　　. 

答案(1)③　(2)④　(3)①　(4)②

解析根据几何中的图示法和几何描述法的对应关系,

(1)A∉α,a⊂α:对应③;

(2)α∩β=a,P∉α且P∉β:对应④;

(3)a⊄α,a∩α=A:对应①;

(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:对应②.

9.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.

证明∵MN∩EF=Q,∴Q∈直线MN,Q∈直线EF.

又M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴M,N∈平面ABCD,

∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.

同理,可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,

∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.

10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:

(1)D,B,F,E四点共面;

(2)若A1C交平面DBEF于点R,则P,Q,R三点共线.

证明(1)∵EF是△D1B1C1的中位线,

∴EF∥B1D1.

在正方体AC1中,B1D1∥BD,

∴EF∥BD.

∴EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.

(2)正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为α,

又设平面BDEF为β.

∵A1C1∩EF=Q,

∴Q∈A1C1,Q∈EF,∴Q∈α,Q∈β.

则Q是α与β的公共点.同理,P是α与β的公共点.

∴α∩β=PQ.

又A1C交平面β于点R,∴R∈A1C.

∴R∈α,且R∈β,

则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.

关键能力提升练

11.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有(　　)

A.1条或2条 B.2条或3条

C.1条或3条 D.1条或2条或3条

答案D

解析当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线;

当β与γ平行时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线;

当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c时,有3条交线.

12.已知α,β,γ是平面,a,b,c是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,则(　　)

A.P∈c B.P∉c 

C.c∩a=⌀ D.c∩β=⌀

答案A

解析如

图,∵a∩b=P,

∴P∈a,P∈b.

∵α∩β=a,β∩γ=b,

∴P∈α,P∈γ,而γ∩α=c,

∴P∈c.

13.

(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)

A.A,M,O三点共线

B.A,M,O,A1四点共面

C.A,O,C,M四点共面

D.B,B1,O,M四点共面

答案ABC

解析因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知ABC均正确.

14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1,NB=BB1,那么正方体中过M,N,C1的截面图形是(　　)

A.三角形 B.四边形

C.五边形 D.六边形

答案C

解析设直线C1M,CD相交于点E,直线C1N,CB相交于点F,连接EF交直线AD于点P,交直线AB于点Q,则五边形C1MPQN为所求截面图形.

15.

如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.

证明∵E,F分别是AB,AD的中点,

∴EF∥BD,且EF=BD.

又=2,

∴GH∥BD,且GH=BD,

∴EF∥GH,且EF>GH,

∴四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交.设两腰EG,FH的延长线相交于一点P,

∵EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD,

∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.

又平面ABC∩平面ACD=AC,

∴P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点.

学科素养创新练

16.如

图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.

(1)画出直线l;

(2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长.

解(1)

延长DM交D1A1的延长线于点E,连接NE,则直线NE即直线l.

(2)∵M为AA1的中点,AD∥ED1,

∴AD=A1E=A1D1=a.

∵A1P∥D1N,且D1N=a,

∴A1P=D1N=a,

于是PB1=A1B1-A1P=a-a=a.