数学人教A版 (2019)8.1 基本立体图形第2课时课后练习题

第八章立体几何初步

8.1　基本立体图形

第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征　简单组合体的结构特征

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.下列几何体中不是旋转体的是(　　)

答案D

2.日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是(　　)

A.一个棱柱中挖去一个棱柱

B.一个棱柱中挖去一个圆柱

C.一个圆柱中挖去一个棱锥

D.一个棱台中挖去一个圆柱

答案B

3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,这个几何体可能是(　　)

A.圆锥 B.圆柱

C.球体 D.以上都有可能

答案B

解析用一个平面去截一个圆锥,得到的截面图形不可能是四边形,故A不满足要求;用一个平面去截一个圆柱,得到的图形可能是圆、椭圆、四边形,故B满足要求;用一个平面去截一个球体得到的图形只能是圆,故C不满足要求,故选B.

4.如图,观察四个几何体,其中判断正确的是(　　)

A.①是棱台 B.②是圆台

C.③是棱锥 D.④不是棱柱

答案C

解析图①不是由棱锥截来的,所以①不是棱台.图②上、下两个面不平行,所以②不是圆台.图③是棱锥.图④前、后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边平行,所以④是棱柱.故选C.

5.已知一个圆锥的母线长为6,底面半径为3,用该圆锥截出一个圆台,所得圆台的母线长为4,则圆台的另一底面半径为　　　　　. 

答案1

解析作轴截面如图,则.解得r=1.

6.一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为　　　　　　.(只填写序号) 

答案①②③

解析当截面与正方体的某一面平行时,截面图形如①;将截面旋转可得②;当截面过正方体的对角面时,可得③,不可能得④.

7.已知圆锥的底面半径为r,高为h,且正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥,求这个正方体的棱长.

解过

内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面,如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x,则在轴截面中,正方体的对角面A1ACC1的一组邻边AA1和AC的长分别为x和x.

因为△VA1C1∽△VMN,所以.

所以hx=2rh-2rx,

所以x=.

故该圆锥的内接正方体的棱长为.

8.从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l(l<R)并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.

解轴

截面如图.

被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C=R,圆锥的截面圆的半径O1D设为x.

∵OA=AB=R,∴△OAB是等腰直角三角形.

又CD∥OA,则CD=BC.∴x=l.

∴截面面积S=πR2-πl2=π(R2-l2)(l<R).

关键能力提升练

9.下列说法错误的是(　　)

A.正棱锥的所有侧棱长均相等

B.圆柱的母线垂直于底面

C.直棱柱的侧面都是全等的矩形

D.用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形

答案C

解析对于A,根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长均相等,故A正确;对于B,根据圆柱的定义可知圆柱的母线与底面垂直,故B正确;对于C,直棱柱的侧面都是矩形,但不一定全等,故C错误;对于D,圆锥的轴截面是全等的等腰三角形,故D正确.

10.

(多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法,其中说法正确的是(　　)

A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成的

B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成的

C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成的

D.由一个长方体与两个四棱台组合而成的

答案AB

解析如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成.故选项AB正确.

11.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面半径的比是1∶4,且该圆台的母线长为9,则截去的圆锥的母线长为(　　)

A. B.3 C.12 D.36

答案B

解析根据题意,设圆台的上、下底面的半径分别为r,R,设圆锥的母线长为L,截去的小圆锥的母线长为l,

∵圆台的上、下底面互相平行,

∴,可得L=4l.

∵圆台的母线长为9,可得L-l=9,

∴L=9,解得L=12,

∴截去的圆锥的母线长为12-9=3.

12.已知圆柱的轴截面是正方形,其面积为Q,则它的一个底面的面积为(　　)

A.Q B.πQ C. D.

答案C

解析圆柱的轴截面一边为高,另一边为底面的直径,由轴截面为正方形可知,高与底面直径均为,所以底面半径为,所以底面的面积为π·.

13.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是　　　　　.(填序号) 

答案①⑤

解析由题意,当截面过旋转轴时,圆锥的轴截面为①;当截面不过旋转轴时,圆锥的轴截面为⑤,

综上可知截面的图形可能是①⑤.

14.球的两个平行截面的面积分别是5π,8π,两截面间的距离为1,求球的半径.

解设两个平行截面圆的半径分别为r1,r2,球半径为R.由π=5π,得r1=.由π=8π,得r2=2.

(1)如图,当两个截面位于球心O的同侧时,有=1,即=1+,解得R=3.

(2)当两个截面位于球心O的异侧时,有=1.此方程无解.由(1)(2)知球的半径为3.

15.圆台上底面面积为π,下底面面积为16π,用一个平行于底面的平面去截圆台,该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1,求这个截面的面积.

解圆

台的轴截面如图,O1,O2,O3分别为上底面、下底面、截面的圆心.

过点D作DF⊥AB于点F,交GH于点E.由题意知DO1=1,AO2=4,

∴AF=3.

∵DE=2EF,∴DF=3EF,

∴,∴GE=2.

∴☉O3的半径为3.∴这个截面面积为9π.

学科素养创新练

16.

圆台的上、下底面半径分别为5 cm、10 cm,母线长AB=20 cm,从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点(B在下底面),求:

(1)绳子的最短长度;

(2)在绳子最短时,上底面圆的圆周上的点到绳子的最短距离.

解(1)画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形,且设扇形的圆心为O.

由图得,所求的最短距离是MB'.设OA=R,圆心角是θ,则由题意知,

10π=θR①,20π=θ(20+R)②,

由①②解得,θ=,R=20.

∴OM=30,OB'=40,则MB'=50.

故绳子最短的长度为50 cm.

(2)作OC垂直于B'M交于点C,OC是顶点O到MB'的最短距离,令OC与弧AA'的交点为D,则DC是MB'与弧AA'的最短距离,DC=OC-OD=-20=4(cm),即上底面圆的圆周上的点到绳子的最短距离是4 cm.