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苏科版初中数学七年级下册第十二章《证明》单元测试卷（困难 ）（含答案解析）
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这是一份苏科版初中数学七年级下册第十二章《证明》单元测试卷（困难 ）（含答案解析），共24页。
苏科版初中数学七年级下册第十二章《证明》单元测试卷（含答案解析）
考试范围：第十二章，考试时间：120分钟，总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 下列命题中，真命题的个数是( )
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直;③图形平移的方向一定是水平的;④内错角相等．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3. 下列命题：①同旁内角互补；②对顶角相等；③一个角的补角大于这个角；④三角形的一个外角等于两个内角之和，其中，真命题的个数是( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4. 下列命题中是真命题的是( )
A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 同位角相等，两直线平行
C. 相等的角是对顶角 D. 互补的角是邻补角
5. 下列命题中，属于真命题的是( )
A. 内错角相等
B. 相等的角是对顶角
C. 同位角互补，两直线平行
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6. 下列命题中，是假命题的是( )
A. 对顶角相等
B. 同位角相等
C. 若x>y>0，则x>y
D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
7. 下列选项中，可以用来证明命题“若a
C. a=1，b=2 D. a=−2，b=−1
8. 下列定理中，有逆定理的是( )
A. 四边形的内角和等于360° B. 同角的余角相等
C. 全等三角形对应角相等 D. 在一个三角形中，等边对等角
9. 下列命题中的假命题是( )
A. 正方形的半径等于正方形的边心距的2倍；
B. 三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心；
C. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不小于60°”时，第一步应该“假设每一个内角都小于60°”；
D. 过三点能且只能作一个圆．
10. 下列命题正确的个数为( )
(1)全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等．
(2)三角形的中线能将三角形面积平分．
(3)到三角形三边距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点.
(4)两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．
(5)两边及第三边上的高线对应相等的两个三角形全等．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. (1)如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+12∠A；(2)如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°−∠A；(3)如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°−12∠A
上述说法正确的个数是
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
12. 如下图，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线旁标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为( )
A. 26 B. 24 C. 20 D. 19
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 以下四个命题①−18的立方根是±12；②要调查一批灯泡的使用寿命适宜用抽样调查；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④已知∠ABC与其内部一点D，过D点作DE//BA，作DF//BC，则∠EDF=∠B.其中假命题的序号为____．
14. 金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队(分别用A，B，C，D表示)进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：
甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．
已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ．
15. 命题“若x=y，则x2=y2”的逆命题是 ．
16. 学校运动会的立定跳远和1分钟跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为参加这两项比赛的10名学生的预赛成绩：
学生编号
成绩
项目
3104
3508
3115
3406
3317
3413
3218
3307
3519
3210
立定跳远
(单位：米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
1分钟跳绳
(单位：次)
163
a
175
160
163
172
170
a−1
b
165
在这10名学生中，同时进入两项决赛的只有6人，进入立定跳远决赛的有8人，如果知道在同时进入两项决赛的6人中有“3508号”学生，没有“3307号”学生，那么a的值是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．
(1)判断以下两个命题是不是真命题，若是真命题，则在相应横线内写“真命题”;反之，则写“假命题”．
①内角分别为30∘、60∘、90∘的三角形存在等角点． ;
②任意的三角形都存在等角点． ;
(2)如图，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC=∠PBC，试探究∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．
18. (本小题8.0分)
探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE//AB，EF//BC，且DE交BC于点P.∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为______；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为______；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题(用文字叙述)：______．
(2)应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
19. (本小题8.0分)
(1)如图，DE // BC，∠1=∠3，CD⊥AB，求证：FG⊥AB；
(2)若把(1)中的“DE // BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得的命题是否为真命题？试说明理由；
(3)若把(1)中的“∠1=∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢？
20. (本小题8.0分)
我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”．
(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一定是奇异三角形”
是______命题．(填写“真命题、假命题”)
(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是
“奇异三角形”，则a：b：c=______．
(3)如图，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若在四边形ACBD内存在点E使得AE=AD，CB=CE．
①求证：△ACE是“奇异三角形”；
②当△ACE是直角三角形时，且AC=3，求线段AB的长．
21. (本小题8.0分)
在小学时，我们知道只有一组对边平行的四边形叫做梯形．
梯形中，平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；不平行的两边叫做梯形的腰．
两腰相等的梯形叫做等腰梯形.如图，在四边形ABCD中，若AB//CD，AD=BC，则四边形ABCD是等腰梯形．
根据上述信息，甲、乙同学分别写出一个命题：
甲同学：等腰梯形同一底上的两个底角相等．
乙同学：同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形．
(1)请判断甲、乙同学所写的命题是真命题还是假命题；
(2)请证明(1)中的真命题.如果你认为都是真命题，选择其中一个证明即可(要求：写出已知、求证，并证明)；如果你认为都是假命题，请举出反例．
22. (本小题8.0分)
【定义】一个多元多项式(这里的“元”指的是多项式中的字母)，如果把其中任意两个元互换，所得的结果都与原多项式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式，如a2+b2+c2、ab+bc+ac都是关于元a、b、c的对称多项式．
【理解】请根据上述对称多项式的概念，写出一个新的对称多项式 ．
【应用】请判断x4+2xy2+y4是否是对称多项式？并说明理由．
【拓展】两个任意的对称多项式的和或差一定是对称多项式吗？若是，请说明理由；若不是，请举出一个反例．
23. (本小题8.0分)
△ABC中，∠C=80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α..
(1)若点P在边AB上，且∠α=50°，如图1，则∠1+∠2=______；
(2)若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为______．
(3)若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由
24. (本小题8.0分)
某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
得分
甲
C
C
A
B
B
4
乙
C
C
B
B
C
3
丙
B
C
C
B
B
2
丁
B
C
C
B
A
______
(1)则丁同学的得分是______；
(2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是______(写出一种即可)
25. (本小题8.0分)
妈妈要榨果汁，她有苹果、橙子、雪梨三种水果，且其颗数比为9：7：6，小明发现妈妈榨完果汁后，苹果、橙子、雪梨的颗数比变为6：3：4，且榨果汁时妈妈没有使用雪梨，小明根据他的发现利用所学数学知识推断出妈妈榨果汁时只使用了橙子，妈妈告诉小明，他的判断完全正确．请你尝试写出小明的推断过程．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
①根据对顶角的定义进行判断；②根据同位角的知识判断；③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；根据点到直线的距离的定义对④进行判断．
【解答】
解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，①假命题；
②两直线平行，同位角相等；②假命题；
③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；③假命题；
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④假命题；
真命题的个数为0，
故选A．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是命题与定理有关知识，根据平行公理、图形的平移、平行线的性质定理判断即可．
【解答】
解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题；
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是真命题；
图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题；
两直线平行，内错角相等，④是假命题；
故选D．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
根据同旁内角、对顶角、补角、三角形外角的性质即可解决问题．本题考查了命题与定理，同旁内角、对顶角、补角、三角形外角等知识，解题的关键是熟练掌握应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：①错误，同旁内角不一定互补．
②正确．对顶角相等．
③错误，一个角的补角可能大于这个角可能等于这个角也可能小于这个角．
④错误，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
故②正确，
故选B．
4.【答案】B
【解析】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行，原命题是真命题，符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
D、互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
根据平行线的性质和判定，对顶角，邻补角分别判断即可得出答案．
此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关性质是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、同位角相等，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
利用平行线的性质与判定方法、对顶角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度较小．
6.【答案】B
【解析】解：对顶角相等，真命题，故A不符合题意；
两直线平行，同位角相等，原说法为假命题，故B符合题意，
若x>y>0，则x>y，真命题，故C不符合题意；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，真命题，故D不符合题意；
故选：B．
由对顶角的性质可判断A，由平行线的性质可判断B，由算术平方根的大小比较可判断C，由平行公理的含义可判断D，从而可得答案．
本题考查的是命题的真假判断，同时考查了对顶角的性质，平行线的性质，平行公理的含义，算术平方根的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵a
C选项，∵1<2，与结论相符，
∴该选项不是命题的反例，不符合题意；
D选项，∵2>1，与结论不符，
∴该选项是命题的反例，符合题意；
故选：D．
反例就是要符合命题的题设，不符合命题的结论的例子．
本题考查了反例，理解反例的概念是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了定义、命题、定理、推论的有关知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题.分别写出下列定理的逆命题，然后判断真假即可．
【解答】
解：A.四边形的内角和等于360 °的逆命题是假命题，故选项错误；
B.同角的余角相等的逆命题是两个角相等，那么它们的余角是同一个角是假命题，故选项错误；
C.全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等是假命题，故选项错误；
D.逆命题是在一个三角形中，等角对等边，是真命题，故选项正确．
故选D．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理. 根据正方形的性质对A进行判断；根据三角形外心的定义对B进行判断；根据反证法的解题步骤对C进行判断；根据确定圆的条件对D进行判断．
【解答】
解：A.正方形的半径等于正方形的边心距的2倍，所以A选项为真命题；
B.三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心，所以B选项为真命题；
C.用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不小于60°”时，第一步应该“假设每一个内角都小于60°，所以C选项为真命题；
D.过不共线的三点确定一个圆，所以D选项为假命题．
故选D．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本道题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解全等三角形的性质、全等三角形的判定等知识，进行判断即可．
【解答】
解：(1)全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，正确；
(2)三角形的中线能将三角形面积平分，正确；
(3)到三角形三边距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，错误，应该是三角形三个角的角平分线的交点；
(4)两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，可用SSS证明两个三角全等，正确；
(5)两边及第三边上的高线对应相等的两个三角形全等，错误，因为这两边的夹角可能是一个锐角，一个钝角，所以这两个三角形不一定全等，错误．
故选C．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
利用特例，反例可以比较容易的说明一个命题是假命题．用角平分线的性质和三角形内角和定理证明，证明时可运用反例．
【解答】
解：(1)若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
则∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB
则∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A)
在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P=180−(∠PBC+∠PCB)=180−12(180°−∠A)=90°+12∠A，
故成立；
(2)当△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°时，结论不成立；
(3)若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，
则∠PBC=12∠FBC=12(180°−∠ABC)=90°−12∠ABC，
∠BCP=12∠BCE=90°−12∠ACB
∴∠PBC+∠BCP=180°−12(∠ABC+∠ACB)
又∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A
∴∠PBC+∠BCP=90°+12∠A，
在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P=180−(∠PBC+∠PCB)=180−12(180°+∠A)=90°−12∠A，
故成立．
∴说法正确的个数是2个．
故选C．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查推理与论证以及分类计数的加法原理，对于此类问题，首先应分清是用分步计数还是分类计数．要想求得单位时间内从结点A向结点B传递的最大信息量，关键是分析出每段网线在单位时间内传递的最大信息量．
【解答】
解：依题意，首先找出A到B的路线，
①单位时间内从结点A经过上面一个中间节点向结点B传递的最大信息量，从结点A向中间的结点传出12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点B最大传递分别是5个和3个，此时信息量为3+5=8个．
②单位时间内从结点A经过下面一个中间结点向结点B传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分流为6个和8个，但此时总信息量为12(因为总共只有12个信息量)；再往下到结点B最大传递7个但此时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点B，所以此时信息量为6+6=12个．
③综合以上结果，单位时间内从结点A向结点B传递的最大信息量是3+5+6+6=8+12=20个．
故选C．
13.【答案】①③④
【解析】解：−18的立方根是−12，所以①为假命题；
要调查一批灯泡的使用寿命适宜用抽样调查，所以②为真命题；
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以③为假命题；
已知∠ABC与其内部一点D，过D点作DE//BA，作DF//BC，则∠EDF与∠B相等或互补，所以④为假命题．
故答案为①③④．
利用立方根的定义对①进行判断；根据普查和抽样调查的特点对②进行判断；根据平行线的性质对③④进行判断．
本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
14.【答案】C A D B
【解析】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误，
于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误，
故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾，
所以：甲说的：C是亚军错误；
②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确，
于是乙说：D是殿军错误，则乙说的A得亚军就正确，
故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确；
没有矛盾，
故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B．
故答案为：C，A，D，B．
因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的．
本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾．
15.【答案】若x2=y2，则x=y
【解析】解：逆命题是“若x2=y2，则x=y”．
故答案为：若x2=y2，则x=y．
逆命题就是题设和结论互换．
本题考查了命题与定理，掌握原命题与逆命题的关系是解决此题的关键．
16.【答案】161或162或163
【解析】解：∵进入立定跳远决赛的有8人，
∴3104，3508，3115，3406，3317，3413，3218，3307的学生进入定跳远决赛，
∵同时进入两项决赛的只有6人，且两项决赛的6人中有“3508号”学生，没有“3307号”学生
∴3115，3413，3218，3104，3317进入1分钟跳绳，
∴a>160，a−1<163，
∴a=161或162或163．
首先确定进入立定跳远决赛的有8人，再推出1分钟跳绳的6人，构建不等式解决问题即可．
本题考查推理论证，正确利用已知条件出发得到合理的逻辑推理的过程，是解题的关键．
17.【答案】解析 (1)真命题;假命题．
(2)∠BPC=∠ABC+∠ACP.理由如下：
由题意易知∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP，
∵∠BAC=∠PBC，
∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP．
【解析】略
18.【答案】解：(1)①∠ABC+∠DEF=180°；∠ABC=∠DEF．
理由：如图1中，
∵BC//EF，
∴∠DPB=∠DEF，
∵AB//DE，
∴∠ABC+∠DPB=180°，
∴∠ABC+∠DEF=180°．
如图2中，∵BC//EF，
∴∠DPC=∠DEF，
∵AB//DE，
∴∠ABC=∠DPC，
∴∠ABC=∠DEF．
②如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
(2)30°，30°或70°和110°．
【解析】
【分析】
(1)①利用平行线的性质即可判断；②根据平行线的性质解决问题即可．
(2)设两个角分别为x和2x−30°，由题意x=2x−30°或x+2x−30°=180°，解方程即可解决问题．
本题考查平行线的判定和性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【解答】
解：(1)①如图1中，∠ABC+∠DEF=180°.如图2中，∠ABC=∠DEF，
故答案为：∠ABC+∠DEF=180°，∠ABC=∠DEF．
理由见答案．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
(2)设两个角分别为x和2x−30°，
由题意x=2x−30°或x+2x−30°=180°，
解得x=30°或x=70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
19.【答案】解：(1)证明：∵DE // BC，
∴∠1=∠2．
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3．
∴CD // FG．
∴∠BFG=∠CDB．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°．
∴∠BFG=90°．
∴FG⊥AB．
(2)真命题．
理由如下：∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD // FG．
∴∠2=∠3．
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2．
∴DE // BC．
(3)真命题．
理由如下：同(2)可得∠2=∠3．
∵DE // BC，
∴∠1=∠2．
∴∠1=∠3．
【解析】略
20.【答案】真 1：2：3
【解析】解：(1)令等边三角形三边的长度为a，
则a2+a2=2a2，符合奇异三角形的概念，
∴“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；
故答案为：真；
(2)∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，
∴根据勾股定理得：c2=a2+b2，记作①，
又Rt△ABC是奇异三角形，
∴2a2=b2+c2，②
将①代入②得：a2=2b2，即a=2b(不合题意，舍去)，
∴2b2=a2+c2，③
将①代入③得：b2=2a2，即b=2a，
将b=2a代入①得：c2=3a2，即c=3a，
则a：b：c=1：2：3．
故答案为：1：2：3；
(3)①∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴点A、C、B、D共圆，记作⊙O，
∴AB是⊙O的直径，
∵AD=BD，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，
∴AC2+CB2=2AD2，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2+CE2=2AE2，
∴△ACE是奇异三角形；
②设AD=b，BC=a，
∴AE=BD=AD=b，CE=CB=a，
由①得AC2+CE2=2AE2，即3+a2=2b2①，
∵△ACE为直角三角形，
∴∠AEC=90°或∠CAE=90°，
1°，当∠AEC=90°时，AE2+CE2=AC2，即b2+a2=3 ②，
由①②，得：3+3−b2=2b2，
∴AB=2b2=2；
2°，当∠CAE=90°时，AC2+AE2=CE2，即3+b2=a2③，
由①③，得：3+3+b2=2b2，
∴b2=6，
∴AB=2b2=23；
综上，AB=2或23．
(1)令等边三角形三边的长度为a，根据等边三角形的性质及奇异三角形的概念求解即可得；
(2)由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式c2=a2+b2，记作①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式2a2=b2+c2，记作②，或2b2=a2+c2，记作③，联立①②或①③，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值．
(3)①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
②设AD=b，BC=a，知AE=BD=AD=b，CE=CB=a，结合①得3+a2=2b2①，根据△ACE为直角三角形，可分∠AEC=90°或∠CAE=90°两种情况，根据勾股定理可分别得出关于a、b的另一个方程，结合①式求解可得．
此题是四边形的综合问题，考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．
21.【答案】解：(1)等腰梯形同一底上的两个底角相等，所以甲同学是真命题；
同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形，所以乙同学也是真命题．
(2)证明甲同学：
已知：如图，等腰梯形ABCD中AB//CD，AD=BC．
求证：∠A=∠B，∠C=∠D．
证明：如图，过C点作CE//AD交AB于点E，
∵AE//CD，AD//CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=CE且∠A=∠CEB，
∵AD=BC，
∴CE=BC，
∴∠CEB=∠B，
∴∠A=∠B，
∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，∠B+∠BCD=180°，
∴∠BCD=∠D．
【解析】(1)等腰梯形的性质是同一底上的两个底角相等，反过来亦是如此：同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形，则可得到答案．
(2)做出一个等腰梯形，在里面做出一个平行四边形，通过平行四边形的性质证明即可得到答案．
本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质和真假命题的判断，解决此题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．
22.【答案】a+b+c(答案不唯一)
【解析】解：(1)根据对称多项式的概念，对称多项式可以为a+b+c；
故答案为：a+b+c(答案不唯一)；
(2)x4+2xy2+y4不是对称多项式，理由如下：
把x，y互换得y4+2yx2+x4=x4+2x2y+y4，与原多项式不相同，
∴x4+2xy2+y4不是对称多项式；
(3)两个任意的对称多项式的和或差不一定是对称多项式，理由如下：
a+b和−a−b都是对称多项式，但(a+b)+(−a−b)=0是单项式，不是多项式，
∴两个任意的对称多项式的和或差不一定是对称多项式．
(1)根据对称多项式的概念，写出一个对称多项式即可；
(2)把x，y互换，观察所得多项式是否和原多项式相同即可判断；
(3)根据对称多项式概念，举出反例说明两个任意的对称多项式的和或差不一定是对称多项式即可．
本题考查命题与定理，涉及新定义，解题的关键是读懂对称多项式的概念，能判断一个多项式是否是对称多项式．
23.【答案】130° ∠1+∠2=80°+∠α
【解析】解：(1)如图1，连接CP，
∵∠1是△CDP的外角，
∴∠1=∠DCP+∠DPC，
同理可得，∠2=∠ECP+∠EPC，
∴∠1+∠2=∠ACB+∠DPE=80°+50°=130°，
故答案为：130°；
(2)如图，连接CP，
∵∠1是△CDP的外角，
∴∠1=∠DCP+∠DPC，
同理可得，∠2=∠ECP+∠EPC，
∴∠1+∠2=∠ACB+∠DPE=80°+∠α，
故答案为：∠1+∠2=80°+∠α；
(3)∠1=80°+∠2+∠α，理由如下：
如图3，∵在△CDM中，∠1=∠C+∠CMD，
在△EMP中，∠CMD=∠2+∠α，
∴∠1=∠C+∠2+∠α，
即∠1=80°+∠2+∠α．
(1)连接CP，根据三角形外角性质，即可得到∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠ECP+∠EPC，再根据∠1+∠2=∠ACB+∠DPE进行计算即可；
(2)连接CP，根据三角形外角性质，即可得到∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠ECP+∠EPC，再根据∠1+∠2=∠ACB+∠DPE进行计算即可得到∠α、∠1、∠2之间的关系；
(3)根据三角形外角性质，即可得到∠1=∠C+∠CMD，∠CMD=∠2+∠α，进而得到∠1=∠C+∠2+∠α，据此可得∠α、∠1、∠2之间的关系．
本题主要考查了三角形外角性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
24.【答案】3 3 CACCC
【解析】解：(1)当甲选错了第1题，那么，其余四道全对，
针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错了第2题，那么其余四道全对，
针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第3题时，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第5道错了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做对3道，即：第3题乙也选错，即：第3题的选项C正确，
针对于丙来看，第1，5题错了，做对3道，此时，丙的得分为3分，而乙的地方为2分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第4题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第3，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第5题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第3道错了，而乙的得分为3分，所以，乙只能做对3道，所以，乙第5题也错了，所以，第5题的选项A是正确的，
针对于丙来看，第1，3，5题错了，做对了2道，得分2分，
针对于丁来看，第3，5题错了，做对了3道，得分3分，
故答案为3；
(2)由(1)知，五道题的正确选项分别是：CCABA，
如果有一个同学得了1分，那么，只选对1道，
即：他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等，
故答案为：CACCC或BBBBB(答案不唯一)
(1)分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论；
(2)由(1)先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论．
此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键．
25.【答案】解：∵苹果、橙子、雪梨三种水果，且其颗数比为9：7：6，
∴设苹果为9x颗，橙子7x颗，雪梨6x颗(x是正整数)，
∵妈妈榨果汁时没有使用雪梨，
∴设妈妈榨完果汁后，苹果a颗，橙子b颗，
∵妈妈榨完果汁后，苹果、橙子、雪梨的颗数比变为6：3：4，
∴a6x=64，b6x=34，
∴a=9x，b=92x，
∴苹果的用量为9x−a=9x−9x=0，
橙子的用量为7x−b=7x−92x=52x>0，
∴妈妈榨果汁时，只用了橙子．
【解析】根据三种水果的颗数的关系，设出三种水果的颗数，再根据榨果汁后的颗数的关系，求出榨果汁后，苹果和橙子的颗数，进而求出苹果，橙子的用量，即可得出结论．
此题是推理与论证题目，主要考查了根据比例的关系，比例的性质，求出榨汁后苹果和橙子的数量是解本题的关键．
苏科版初中数学七年级下册第十二章《证明》单元测试卷（含答案解析）
考试范围：第十二章，考试时间：120分钟，总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 下列命题中，真命题的个数是( )
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直;③图形平移的方向一定是水平的;④内错角相等．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3. 下列命题：①同旁内角互补；②对顶角相等；③一个角的补角大于这个角；④三角形的一个外角等于两个内角之和，其中，真命题的个数是( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4. 下列命题中是真命题的是( )
A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 同位角相等，两直线平行
C. 相等的角是对顶角 D. 互补的角是邻补角
5. 下列命题中，属于真命题的是( )
A. 内错角相等
B. 相等的角是对顶角
C. 同位角互补，两直线平行
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6. 下列命题中，是假命题的是( )
A. 对顶角相等
B. 同位角相等
C. 若x>y>0，则x>y
D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
7. 下列选项中，可以用来证明命题“若a
C. a=1，b=2 D. a=−2，b=−1
8. 下列定理中，有逆定理的是( )
A. 四边形的内角和等于360° B. 同角的余角相等
C. 全等三角形对应角相等 D. 在一个三角形中，等边对等角
9. 下列命题中的假命题是( )
A. 正方形的半径等于正方形的边心距的2倍；
B. 三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心；
C. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不小于60°”时，第一步应该“假设每一个内角都小于60°”；
D. 过三点能且只能作一个圆．
10. 下列命题正确的个数为( )
(1)全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等．
(2)三角形的中线能将三角形面积平分．
(3)到三角形三边距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点.
(4)两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．
(5)两边及第三边上的高线对应相等的两个三角形全等．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. (1)如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+12∠A；(2)如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°−∠A；(3)如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°−12∠A
上述说法正确的个数是
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
12. 如下图，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线旁标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为( )
A. 26 B. 24 C. 20 D. 19
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 以下四个命题①−18的立方根是±12；②要调查一批灯泡的使用寿命适宜用抽样调查；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④已知∠ABC与其内部一点D，过D点作DE//BA，作DF//BC，则∠EDF=∠B.其中假命题的序号为____．
14. 金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队(分别用A，B，C，D表示)进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：
甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．
已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ．
15. 命题“若x=y，则x2=y2”的逆命题是 ．
16. 学校运动会的立定跳远和1分钟跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为参加这两项比赛的10名学生的预赛成绩：
学生编号
成绩
项目
3104
3508
3115
3406
3317
3413
3218
3307
3519
3210
立定跳远
(单位：米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
1分钟跳绳
(单位：次)
163
a
175
160
163
172
170
a−1
b
165
在这10名学生中，同时进入两项决赛的只有6人，进入立定跳远决赛的有8人，如果知道在同时进入两项决赛的6人中有“3508号”学生，没有“3307号”学生，那么a的值是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．
(1)判断以下两个命题是不是真命题，若是真命题，则在相应横线内写“真命题”;反之，则写“假命题”．
①内角分别为30∘、60∘、90∘的三角形存在等角点． ;
②任意的三角形都存在等角点． ;
(2)如图，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC=∠PBC，试探究∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．
18. (本小题8.0分)
探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE//AB，EF//BC，且DE交BC于点P.∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为______；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为______；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题(用文字叙述)：______．
(2)应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
19. (本小题8.0分)
(1)如图，DE // BC，∠1=∠3，CD⊥AB，求证：FG⊥AB；
(2)若把(1)中的“DE // BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得的命题是否为真命题？试说明理由；
(3)若把(1)中的“∠1=∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢？
20. (本小题8.0分)
我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”．
(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一定是奇异三角形”
是______命题．(填写“真命题、假命题”)
(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是
“奇异三角形”，则a：b：c=______．
(3)如图，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若在四边形ACBD内存在点E使得AE=AD，CB=CE．
①求证：△ACE是“奇异三角形”；
②当△ACE是直角三角形时，且AC=3，求线段AB的长．
21. (本小题8.0分)
在小学时，我们知道只有一组对边平行的四边形叫做梯形．
梯形中，平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；不平行的两边叫做梯形的腰．
两腰相等的梯形叫做等腰梯形.如图，在四边形ABCD中，若AB//CD，AD=BC，则四边形ABCD是等腰梯形．
根据上述信息，甲、乙同学分别写出一个命题：
甲同学：等腰梯形同一底上的两个底角相等．
乙同学：同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形．
(1)请判断甲、乙同学所写的命题是真命题还是假命题；
(2)请证明(1)中的真命题.如果你认为都是真命题，选择其中一个证明即可(要求：写出已知、求证，并证明)；如果你认为都是假命题，请举出反例．
22. (本小题8.0分)
【定义】一个多元多项式(这里的“元”指的是多项式中的字母)，如果把其中任意两个元互换，所得的结果都与原多项式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式，如a2+b2+c2、ab+bc+ac都是关于元a、b、c的对称多项式．
【理解】请根据上述对称多项式的概念，写出一个新的对称多项式 ．
【应用】请判断x4+2xy2+y4是否是对称多项式？并说明理由．
【拓展】两个任意的对称多项式的和或差一定是对称多项式吗？若是，请说明理由；若不是，请举出一个反例．
23. (本小题8.0分)
△ABC中，∠C=80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α..
(1)若点P在边AB上，且∠α=50°，如图1，则∠1+∠2=______；
(2)若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为______．
(3)若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由
24. (本小题8.0分)
某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
得分
甲
C
C
A
B
B
4
乙
C
C
B
B
C
3
丙
B
C
C
B
B
2
丁
B
C
C
B
A
______
(1)则丁同学的得分是______；
(2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是______(写出一种即可)
25. (本小题8.0分)
妈妈要榨果汁，她有苹果、橙子、雪梨三种水果，且其颗数比为9：7：6，小明发现妈妈榨完果汁后，苹果、橙子、雪梨的颗数比变为6：3：4，且榨果汁时妈妈没有使用雪梨，小明根据他的发现利用所学数学知识推断出妈妈榨果汁时只使用了橙子，妈妈告诉小明，他的判断完全正确．请你尝试写出小明的推断过程．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
①根据对顶角的定义进行判断；②根据同位角的知识判断；③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；根据点到直线的距离的定义对④进行判断．
【解答】
解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，①假命题；
②两直线平行，同位角相等；②假命题；
③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；③假命题；
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④假命题；
真命题的个数为0，
故选A．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是命题与定理有关知识，根据平行公理、图形的平移、平行线的性质定理判断即可．
【解答】
解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题；
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是真命题；
图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题；
两直线平行，内错角相等，④是假命题；
故选D．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
根据同旁内角、对顶角、补角、三角形外角的性质即可解决问题．本题考查了命题与定理，同旁内角、对顶角、补角、三角形外角等知识，解题的关键是熟练掌握应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：①错误，同旁内角不一定互补．
②正确．对顶角相等．
③错误，一个角的补角可能大于这个角可能等于这个角也可能小于这个角．
④错误，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
故②正确，
故选B．
4.【答案】B
【解析】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行，原命题是真命题，符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
D、互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
根据平行线的性质和判定，对顶角，邻补角分别判断即可得出答案．
此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关性质是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、同位角相等，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
利用平行线的性质与判定方法、对顶角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度较小．
6.【答案】B
【解析】解：对顶角相等，真命题，故A不符合题意；
两直线平行，同位角相等，原说法为假命题，故B符合题意，
若x>y>0，则x>y，真命题，故C不符合题意；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，真命题，故D不符合题意；
故选：B．
由对顶角的性质可判断A，由平行线的性质可判断B，由算术平方根的大小比较可判断C，由平行公理的含义可判断D，从而可得答案．
本题考查的是命题的真假判断，同时考查了对顶角的性质，平行线的性质，平行公理的含义，算术平方根的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵a
C选项，∵1<2，与结论相符，
∴该选项不是命题的反例，不符合题意；
D选项，∵2>1，与结论不符，
∴该选项是命题的反例，符合题意；
故选：D．
反例就是要符合命题的题设，不符合命题的结论的例子．
本题考查了反例，理解反例的概念是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了定义、命题、定理、推论的有关知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题.分别写出下列定理的逆命题，然后判断真假即可．
【解答】
解：A.四边形的内角和等于360 °的逆命题是假命题，故选项错误；
B.同角的余角相等的逆命题是两个角相等，那么它们的余角是同一个角是假命题，故选项错误；
C.全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等是假命题，故选项错误；
D.逆命题是在一个三角形中，等角对等边，是真命题，故选项正确．
故选D．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理. 根据正方形的性质对A进行判断；根据三角形外心的定义对B进行判断；根据反证法的解题步骤对C进行判断；根据确定圆的条件对D进行判断．
【解答】
解：A.正方形的半径等于正方形的边心距的2倍，所以A选项为真命题；
B.三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心，所以B选项为真命题；
C.用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不小于60°”时，第一步应该“假设每一个内角都小于60°，所以C选项为真命题；
D.过不共线的三点确定一个圆，所以D选项为假命题．
故选D．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本道题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解全等三角形的性质、全等三角形的判定等知识，进行判断即可．
【解答】
解：(1)全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，正确；
(2)三角形的中线能将三角形面积平分，正确；
(3)到三角形三边距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，错误，应该是三角形三个角的角平分线的交点；
(4)两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，可用SSS证明两个三角全等，正确；
(5)两边及第三边上的高线对应相等的两个三角形全等，错误，因为这两边的夹角可能是一个锐角，一个钝角，所以这两个三角形不一定全等，错误．
故选C．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
利用特例，反例可以比较容易的说明一个命题是假命题．用角平分线的性质和三角形内角和定理证明，证明时可运用反例．
【解答】
解：(1)若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
则∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB
则∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A)
在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P=180−(∠PBC+∠PCB)=180−12(180°−∠A)=90°+12∠A，
故成立；
(2)当△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°时，结论不成立；
(3)若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，
则∠PBC=12∠FBC=12(180°−∠ABC)=90°−12∠ABC，
∠BCP=12∠BCE=90°−12∠ACB
∴∠PBC+∠BCP=180°−12(∠ABC+∠ACB)
又∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A
∴∠PBC+∠BCP=90°+12∠A，
在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P=180−(∠PBC+∠PCB)=180−12(180°+∠A)=90°−12∠A，
故成立．
∴说法正确的个数是2个．
故选C．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查推理与论证以及分类计数的加法原理，对于此类问题，首先应分清是用分步计数还是分类计数．要想求得单位时间内从结点A向结点B传递的最大信息量，关键是分析出每段网线在单位时间内传递的最大信息量．
【解答】
解：依题意，首先找出A到B的路线，
①单位时间内从结点A经过上面一个中间节点向结点B传递的最大信息量，从结点A向中间的结点传出12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点B最大传递分别是5个和3个，此时信息量为3+5=8个．
②单位时间内从结点A经过下面一个中间结点向结点B传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分流为6个和8个，但此时总信息量为12(因为总共只有12个信息量)；再往下到结点B最大传递7个但此时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点B，所以此时信息量为6+6=12个．
③综合以上结果，单位时间内从结点A向结点B传递的最大信息量是3+5+6+6=8+12=20个．
故选C．
13.【答案】①③④
【解析】解：−18的立方根是−12，所以①为假命题；
要调查一批灯泡的使用寿命适宜用抽样调查，所以②为真命题；
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以③为假命题；
已知∠ABC与其内部一点D，过D点作DE//BA，作DF//BC，则∠EDF与∠B相等或互补，所以④为假命题．
故答案为①③④．
利用立方根的定义对①进行判断；根据普查和抽样调查的特点对②进行判断；根据平行线的性质对③④进行判断．
本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
14.【答案】C A D B
【解析】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误，
于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误，
故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾，
所以：甲说的：C是亚军错误；
②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确，
于是乙说：D是殿军错误，则乙说的A得亚军就正确，
故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确；
没有矛盾，
故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B．
故答案为：C，A，D，B．
因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的．
本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾．
15.【答案】若x2=y2，则x=y
【解析】解：逆命题是“若x2=y2，则x=y”．
故答案为：若x2=y2，则x=y．
逆命题就是题设和结论互换．
本题考查了命题与定理，掌握原命题与逆命题的关系是解决此题的关键．
16.【答案】161或162或163
【解析】解：∵进入立定跳远决赛的有8人，
∴3104，3508，3115，3406，3317，3413，3218，3307的学生进入定跳远决赛，
∵同时进入两项决赛的只有6人，且两项决赛的6人中有“3508号”学生，没有“3307号”学生
∴3115，3413，3218，3104，3317进入1分钟跳绳，
∴a>160，a−1<163，
∴a=161或162或163．
首先确定进入立定跳远决赛的有8人，再推出1分钟跳绳的6人，构建不等式解决问题即可．
本题考查推理论证，正确利用已知条件出发得到合理的逻辑推理的过程，是解题的关键．
17.【答案】解析 (1)真命题;假命题．
(2)∠BPC=∠ABC+∠ACP.理由如下：
由题意易知∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP，
∵∠BAC=∠PBC，
∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP．
【解析】略
18.【答案】解：(1)①∠ABC+∠DEF=180°；∠ABC=∠DEF．
理由：如图1中，
∵BC//EF，
∴∠DPB=∠DEF，
∵AB//DE，
∴∠ABC+∠DPB=180°，
∴∠ABC+∠DEF=180°．
如图2中，∵BC//EF，
∴∠DPC=∠DEF，
∵AB//DE，
∴∠ABC=∠DPC，
∴∠ABC=∠DEF．
②如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
(2)30°，30°或70°和110°．
【解析】
【分析】
(1)①利用平行线的性质即可判断；②根据平行线的性质解决问题即可．
(2)设两个角分别为x和2x−30°，由题意x=2x−30°或x+2x−30°=180°，解方程即可解决问题．
本题考查平行线的判定和性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【解答】
解：(1)①如图1中，∠ABC+∠DEF=180°.如图2中，∠ABC=∠DEF，
故答案为：∠ABC+∠DEF=180°，∠ABC=∠DEF．
理由见答案．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
(2)设两个角分别为x和2x−30°，
由题意x=2x−30°或x+2x−30°=180°，
解得x=30°或x=70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
19.【答案】解：(1)证明：∵DE // BC，
∴∠1=∠2．
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3．
∴CD // FG．
∴∠BFG=∠CDB．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°．
∴∠BFG=90°．
∴FG⊥AB．
(2)真命题．
理由如下：∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD // FG．
∴∠2=∠3．
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2．
∴DE // BC．
(3)真命题．
理由如下：同(2)可得∠2=∠3．
∵DE // BC，
∴∠1=∠2．
∴∠1=∠3．
【解析】略
20.【答案】真 1：2：3
【解析】解：(1)令等边三角形三边的长度为a，
则a2+a2=2a2，符合奇异三角形的概念，
∴“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；
故答案为：真；
(2)∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，
∴根据勾股定理得：c2=a2+b2，记作①，
又Rt△ABC是奇异三角形，
∴2a2=b2+c2，②
将①代入②得：a2=2b2，即a=2b(不合题意，舍去)，
∴2b2=a2+c2，③
将①代入③得：b2=2a2，即b=2a，
将b=2a代入①得：c2=3a2，即c=3a，
则a：b：c=1：2：3．
故答案为：1：2：3；
(3)①∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴点A、C、B、D共圆，记作⊙O，
∴AB是⊙O的直径，
∵AD=BD，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，
∴AC2+CB2=2AD2，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2+CE2=2AE2，
∴△ACE是奇异三角形；
②设AD=b，BC=a，
∴AE=BD=AD=b，CE=CB=a，
由①得AC2+CE2=2AE2，即3+a2=2b2①，
∵△ACE为直角三角形，
∴∠AEC=90°或∠CAE=90°，
1°，当∠AEC=90°时，AE2+CE2=AC2，即b2+a2=3 ②，
由①②，得：3+3−b2=2b2，
∴AB=2b2=2；
2°，当∠CAE=90°时，AC2+AE2=CE2，即3+b2=a2③，
由①③，得：3+3+b2=2b2，
∴b2=6，
∴AB=2b2=23；
综上，AB=2或23．
(1)令等边三角形三边的长度为a，根据等边三角形的性质及奇异三角形的概念求解即可得；
(2)由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式c2=a2+b2，记作①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式2a2=b2+c2，记作②，或2b2=a2+c2，记作③，联立①②或①③，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值．
(3)①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
②设AD=b，BC=a，知AE=BD=AD=b，CE=CB=a，结合①得3+a2=2b2①，根据△ACE为直角三角形，可分∠AEC=90°或∠CAE=90°两种情况，根据勾股定理可分别得出关于a、b的另一个方程，结合①式求解可得．
此题是四边形的综合问题，考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．
21.【答案】解：(1)等腰梯形同一底上的两个底角相等，所以甲同学是真命题；
同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形，所以乙同学也是真命题．
(2)证明甲同学：
已知：如图，等腰梯形ABCD中AB//CD，AD=BC．
求证：∠A=∠B，∠C=∠D．
证明：如图，过C点作CE//AD交AB于点E，
∵AE//CD，AD//CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=CE且∠A=∠CEB，
∵AD=BC，
∴CE=BC，
∴∠CEB=∠B，
∴∠A=∠B，
∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，∠B+∠BCD=180°，
∴∠BCD=∠D．
【解析】(1)等腰梯形的性质是同一底上的两个底角相等，反过来亦是如此：同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形，则可得到答案．
(2)做出一个等腰梯形，在里面做出一个平行四边形，通过平行四边形的性质证明即可得到答案．
本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质和真假命题的判断，解决此题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．
22.【答案】a+b+c(答案不唯一)
【解析】解：(1)根据对称多项式的概念，对称多项式可以为a+b+c；
故答案为：a+b+c(答案不唯一)；
(2)x4+2xy2+y4不是对称多项式，理由如下：
把x，y互换得y4+2yx2+x4=x4+2x2y+y4，与原多项式不相同，
∴x4+2xy2+y4不是对称多项式；
(3)两个任意的对称多项式的和或差不一定是对称多项式，理由如下：
a+b和−a−b都是对称多项式，但(a+b)+(−a−b)=0是单项式，不是多项式，
∴两个任意的对称多项式的和或差不一定是对称多项式．
(1)根据对称多项式的概念，写出一个对称多项式即可；
(2)把x，y互换，观察所得多项式是否和原多项式相同即可判断；
(3)根据对称多项式概念，举出反例说明两个任意的对称多项式的和或差不一定是对称多项式即可．
本题考查命题与定理，涉及新定义，解题的关键是读懂对称多项式的概念，能判断一个多项式是否是对称多项式．
23.【答案】130° ∠1+∠2=80°+∠α
【解析】解：(1)如图1，连接CP，
∵∠1是△CDP的外角，
∴∠1=∠DCP+∠DPC，
同理可得，∠2=∠ECP+∠EPC，
∴∠1+∠2=∠ACB+∠DPE=80°+50°=130°，
故答案为：130°；
(2)如图，连接CP，
∵∠1是△CDP的外角，
∴∠1=∠DCP+∠DPC，
同理可得，∠2=∠ECP+∠EPC，
∴∠1+∠2=∠ACB+∠DPE=80°+∠α，
故答案为：∠1+∠2=80°+∠α；
(3)∠1=80°+∠2+∠α，理由如下：
如图3，∵在△CDM中，∠1=∠C+∠CMD，
在△EMP中，∠CMD=∠2+∠α，
∴∠1=∠C+∠2+∠α，
即∠1=80°+∠2+∠α．
(1)连接CP，根据三角形外角性质，即可得到∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠ECP+∠EPC，再根据∠1+∠2=∠ACB+∠DPE进行计算即可；
(2)连接CP，根据三角形外角性质，即可得到∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠ECP+∠EPC，再根据∠1+∠2=∠ACB+∠DPE进行计算即可得到∠α、∠1、∠2之间的关系；
(3)根据三角形外角性质，即可得到∠1=∠C+∠CMD，∠CMD=∠2+∠α，进而得到∠1=∠C+∠2+∠α，据此可得∠α、∠1、∠2之间的关系．
本题主要考查了三角形外角性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
24.【答案】3 3 CACCC
【解析】解：(1)当甲选错了第1题，那么，其余四道全对，
针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错了第2题，那么其余四道全对，
针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第3题时，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第5道错了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做对3道，即：第3题乙也选错，即：第3题的选项C正确，
针对于丙来看，第1，5题错了，做对3道，此时，丙的得分为3分，而乙的地方为2分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第4题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第3，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第5题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第3道错了，而乙的得分为3分，所以，乙只能做对3道，所以，乙第5题也错了，所以，第5题的选项A是正确的，
针对于丙来看，第1，3，5题错了，做对了2道，得分2分，
针对于丁来看，第3，5题错了，做对了3道，得分3分，
故答案为3；
(2)由(1)知，五道题的正确选项分别是：CCABA，
如果有一个同学得了1分，那么，只选对1道，
即：他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等，
故答案为：CACCC或BBBBB(答案不唯一)
(1)分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论；
(2)由(1)先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论．
此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键．
25.【答案】解：∵苹果、橙子、雪梨三种水果，且其颗数比为9：7：6，
∴设苹果为9x颗，橙子7x颗，雪梨6x颗(x是正整数)，
∵妈妈榨果汁时没有使用雪梨，
∴设妈妈榨完果汁后，苹果a颗，橙子b颗，
∵妈妈榨完果汁后，苹果、橙子、雪梨的颗数比变为6：3：4，
∴a6x=64，b6x=34，
∴a=9x，b=92x，
∴苹果的用量为9x−a=9x−9x=0，
橙子的用量为7x−b=7x−92x=52x>0，
∴妈妈榨果汁时，只用了橙子．
【解析】根据三种水果的颗数的关系，设出三种水果的颗数，再根据榨果汁后的颗数的关系，求出榨果汁后，苹果和橙子的颗数，进而求出苹果，橙子的用量，即可得出结论．
此题是推理与论证题目，主要考查了根据比例的关系，比例的性质，求出榨汁后苹果和橙子的数量是解本题的关键．
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