初中数学苏科版七年级下册第12章 证明综合与测试学案设计

命题与证明（2）

一、主要内容     

1、三角形的内角和定理及其推论            

二、基本概念

1、三角形的内角和定理及其推论

三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.

推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.

要点诠释：(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．

(2)三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

(3)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．

（4）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．

（5）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．

（1）平行线的性质与判定进行几何证明： 

1、已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？

【答案与解析】

解：CD⊥AB；理由如下：

∵∠1=∠ACB，∴DE∥BC，∠2=∠DCB，

又∵∠2=∠3，∴∠3=∠DCB，故CD∥FH，

∵FH⊥AB∴CD⊥AB．

举一反三：【变式】如图所示，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由．

【答案】∠A=∠F．

证明：∵∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF，

∴∠DGF=∠EHF，∴BD∥CE；∴∠C=∠ABD，

又∵∠C=∠D，∴∠D=∠ABD，∴DF∥AC；∴∠A=∠F．

（2）与三角形有关的几何证明：

2、如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．

【答案与解析】证明： ∵AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠BAC，∠ABI=∠ABC，∠HCI=∠ACB．

∴∠BAD+∠ABI+∠HCI

=∠BAC+∠ABC+∠ACB=（∠BAC+∠ABC+∠ACB）=×180°=90°．

∴∠BAD+∠ABI=90°-∠HCI．

∵IH⊥BC，∴∠IHC=90°∴90°-∠HCI=∠CIH，∴∠CIH=∠BAD+∠ABI

∵∠BID=∠BAD+∠ABI（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和）

∴∠BID=∠CIH．

 (3)文字命题的证明：

3、求证：等边三角形内部任一点到三边的距离之和为定值.

【答案与解析】已知：如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任一点，PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC．垂足分别为E、G、F，求证：PE+PG+PF为定值.

证明：设等边三角形△ABC的边长为a，面积为S．

连结PA、PB、PC，则

S△APB=a•PE，S△CPB=a•PF，S△APC=a•PG，

于是S△APB+S△CPB+S△APC=a•PE+a•PF+a•PG，

即a•PE+a•PF+a•PG=S，

PE+PF+PG= ，为定值．

三、课堂讲解                            

1．将直尺和三角尺按图所示的方式摆放，已知∠1＝30°，则∠2的度数是(　　)

A．30°           B．45°          C．60°         D．65°

2．如图，在△ABC中，高线BD，CE相交于点H，若∠A＝60°，则∠BHC的度数是(　　)　

A．60°           B．90°         C．120°        D．150°

3．三角尺和直尺按图所示的方式放置，若∠1＝20°，则∠2的度数为(　　)

A．60°          B．50°         C．40°         D．30°

4．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（　　）

A．90° B．100° C．130° D．180°

5．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（　　）

A．150° B．210° C．105° D．75°

6.如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= _____度.

7．如图，已知a∥b，小亮把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40°，则∠2的度数为________．

8．如图，AD∥BC，∠DAC＝60°，∠ACF＝25°，∠EFC＝145°，则直线EF与BC的位置关系是________．

9．有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B＝90°.按图9所示的方式剪去它的一个角(虚线部分)，在剩下的四边形ADEC中，若∠1＝165°，则∠2的度数为________°.

10．已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．

11．直线AB、CD被直线EF所截，EF分别交AB、CD于M，N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G．
（1）如图1，若AB∥CD，求∠1的度数．
（2）如图2，若∠MNC=140°，求∠1的度数．

【答案与解析】

1.C　2.C. 3.C　4.B；5.A  6．；  7.50°  8. 平行   9.105

10. 证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．

又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，

∴∠PEF= ∠BEF，∠PFE= ∠DFE，∴∠PEF+∠PFE= （∠BEF+∠DFE）=90°．∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．

11.（1）∵∠BMF+∠EMB=180°，∴∠BMF=180°-∠EMB，∵∠EMB=50°，

∴∠BMF=180°50°=130°，∵MG平分∠BMF，∴∠BMG=∠GMN=∠BMF=65°，
∵AB∥CD，∴∠1=∠BMG=65°；
（2）∵∠MNC=∠1+∠GMN，∴∠1=∠MNC-∠GMN，
∵∠MNC=140°，∠GMN=65°，∴∠1=140°-65°=75°．

【达标检测】

一、选择题

1．下列命题中，是假命题的是(　　)

A．三角形的三个内角的和等于180°     B．两直线平行，同位角相等

C．四边形的外角和为360°             D．相等的角是对顶角

2．在△ABC中，∠A ∶∠B ∶∠C＝1 ∶2 ∶3，则△ABC一定是(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形  C．钝角三角形  D．以上都有可能

3．如图，已知l1∥l2，∠A＝40°，∠1＝60°，则∠2的度数为(　　)

A．40°  B．60°  C．80°  D．100°

4.如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD且与EF交于点O，那么图中与∠AOE相等的角有(　　)

A．3个  B．4个  C．5个  D．6个

二、填空题

5.如图，已知直线a∥b，小亮把三角尺的直角顶点放在直

线b上．若∠1＝40°，则∠2的度数为________．

6.如图所示，已知∠BDC＝142°，∠B＝34°，∠C＝28°，则∠A＝________°.

三、解答题

7.认真阅读下面关于三角形内、外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

探究1：如图12－X－5①，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°＋∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，

∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，

∴∠1＋∠2＝(∠ABC＋∠ACB)．

又∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，

∴∠1＋∠2＝(180°－∠A)＝90°－∠A，

∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－＝90°＋∠A.

探究2：如图②，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系，请说明理由；

探究3：如图③，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关系(只写结论，不需证明)?

结论：____________________．

图12－X－5

【答案与解析】

1.D　2．B　3．D　4．C　5．50°6．80

7. (1)如图，根据题中提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠BOC与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系式；

(2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．

探究2结论：∠BOC＝∠A.理由：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的平分线，

∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD.

又∵∠ACD是△ABC的外角，

∴∠ACD＝∠A＋∠ABC，

∴∠2＝(∠A＋∠ABC)＝∠A＋∠1.

∵∠2是△BOC的外角，

∴∠2＝∠BOC＋∠1，

∴∠BOC＝∠2－∠1＝∠A＋∠1－∠1＝∠A.

探究3：∵∠OBC＝(∠A＋∠ACB)，∠OCB＝(∠A＋∠ABC)，

∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－(∠A＋∠ACB)－(∠A＋∠ABC)＝180°－∠A－(∠A＋∠ABC＋∠ACB)＝90°－∠A.

结论：∠BOC＝90°－∠A.