初中数学3 简单的轴对称图形第1课时教案

这是一份初中数学3 简单的轴对称图形第1课时教案，共11页。教案主要包含了 教学目标， 教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。

一、 教学目标
1.掌握等腰三角形的轴对称性，等腰三角形“三线合一”、两个底角相等等性质.
2.会利用等腰三角形的性质解决相关问题.
3.经历探索等腰三角形和等边三角形相关性质的过程，进一步理解轴对称的性质.
4.通过探究积累数学活动经验，发展空间观念.
二、 教学重难点
重点：掌握等腰三角形的轴对称性，等腰三角形“三线合一”、等腰三角形的两个底角相等等性质.
难点：会利用等腰三角形的性质解决相关问题.
三、教学用具
多媒体等.
四、教学过程设计
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设情境
【情境引入】
教师活动：展示图片，提出问题，学生思考后回答问题.
问题：在这些知名的建筑中都含有什么相同的数学图形？
预设：都有等腰三角形.
教师活动：引导学生利用对称性剪出等腰三角形，探究等腰三角形的性质.
动手做一做：如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，并剪去红线下方的部分，再把它展开，得到△ABC.
【观察】AC和AB有什么关系?
预设：AC=AB
【归纳】
像这样有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
【复习回顾】
教师活动：和学生一起回顾之前学习过的等腰三角形的相关概念.
已知△ABC中，有AB=AC，则△ABC为等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边.两腰对应的角叫做底角，底边对应的角叫做顶角.
思考回答问题
动手实操并思考回答问题.
展示知名建筑中出现的等腰三角形，引发学生兴趣.
通过具体动手操作理解等腰三角形是轴对称图形.
通过复习回顾等腰三角形的有关知识，为本节课要学习的内容作准备
环节二
探究新知
【想一想】
观察我们剪出的等腰三角形，回答下面问题：
(1)等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴
(2)等腰三角形顶角平分线所在直线是它的对称轴吗？
(3)等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
(4)沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由.
教师活动：先让学生想象等腰三角形的对称轴是什么，然后通过操作验证自己的结论，并由此探索等腰三角形的特征.
预设：
(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)等腰三角形顶角平分线所在直线是它的对称轴.
(3)等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，底边上的高所在的直线也是它的对称轴.
(4)等腰三角形的两个底角相等.
【证明猜想】
教师活动：和学生一起利用之前学习的内容证明上面发现的结论.
先将问题转化为数学语言：
如图， △ABC是等腰三角形， AB=AC，做顶角∠BAC的平分线AD ，与BC交于点D， 求证：BD=DC，AD⊥BC，∠B=∠C
进行数学证明：
证明：∵ AD是∠BAC的平分线
∴ ∠BAD=∠DAC
∵ AB=AC，AD=AD
∴ △ABD≌△ACD (SAS)
∴ BD=DC，
∠B=∠C
∠ADB=∠ADC
而∠ADB+∠ADC=180°
∴ ∠ADB=∠ADC=90°， 即AD⊥BC.
【归纳】
教师活动：证明后总结等腰三角形的底边中线、底边上高线、顶角平分线三线合一，且等腰三角形的两个底角相等.
等腰三角形ABC中，AB=AC，有：
∠B=∠C
∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线
AD⊥BC，AD为底边上的高线
BD=CD，AD为底边上的中线
结合图形总结说明：
等腰三角形的两个底角相等，简记为：等边对等角.
等腰三角形的顶角平分线， 底边上的中线，底边上的高互相重合，简记为：三线合一.
【归纳】
等腰三角形的有关性质：
1.等腰三角形是轴对称图形.
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
3.等腰三角形的两个底角相等.
【想一想】
教师活动：引导学生思考特殊的等腰三角形，等边三角形的相关性质特征.鼓励学生通过操作和思考分析，尽可能多的探索它的特征.
等腰三角形中，若底边与腰相等．这时三角形三边都相等．我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
等边三角形有几条对称轴？
(2)你能发现等边三角形的哪些特征？
预设：
(1)三条
(2)三边相等，三个角均为60°
证明：根据“等边对等角”可得：
∠A=∠B=∠C
而三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠
C=180°
∴∠A=∠B=∠C=60°
【议一议】
你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？
教师活动：鼓励学生想出多种方法，引导学生说明这么做的理由.
预设：
方法1：利用折纸的方法：一张长方形纸对折后用剪刀裁剪，参考前面动手制作活动中的方法.
方法2：利用尺规做出等腰三角形：
作法：①用直尺画出线段AB．
②分别以A，B为圆心．大于的长度为半径作弧．两弧在线段AB的一侧交于点C．
③连接线段AC、BC，△ABC即为所求等腰三角形．
【议一议】
教师活动：引导学生主动探索等腰三角形的判定方法.
如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？
如下图，在△ABC中，如果，AD是BC边上的高，那么△ABD与△ACD全等吗？边AB和AC相等吗？与同伴进行交流.
证明：∵ AD是BC边上的高
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
又 ∵∠B=∠C，AD=AD
∴ △ABD≌△ ACD (AAS)
∴ AB=AC
总结：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等.
简记为：等角对等边.
【想一想】
如果三角形的三个内角都相等，那么这个
三角形是什么三角形？为什么？
教师活动：引导学生先将问题转化为数学证明再来判断考虑.
预设：等边三角形.
已知：∠A=∠B=∠C，
求证：△ABC为等边三角形.
证明：∵∠A=∠B
∴ AC=BC
又∵∠B=∠C
∴ AB=AC，
∴ AB=AC=BC，△ABC为等边三角形.
如果一个等腰三角形有一个角为60°，那
么这个三角形是什么三角形？为什么？
教师活动：引导学生现将问题转化为数学证明再来判断考虑，提醒学生注意没有明确角是哪个时，要进行分类讨论.
预设：等边三角形
已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC，且其
中一个内角为60°.
求证：△ABC为等边三角形.
证明：①若△ABC的顶角为60°，即∠A=60°
∵AB=AC ，∴∠B=∠C
而∠A+∠B+∠C=180°，
计算可得∠B=∠C=60°，
即∠A=∠B=∠C，△ABC为等边三角形.
②若△ABC的底角为60°，即∠B=∠C=60°
∵∠A+∠B+∠C=180°，
计算可得∠A=60°，
即∠A=∠B=∠C，△ABC为等边三角形.
综上两种情况，△ABC为等边三角形.
通过观察探究寻找问题答案
小组讨论回答问题.
将问题转化为数学语言后尝试证明.
结合上面的证明过程，和老师一起总结记忆等腰三角形的性质.
归纳记忆
思考探索等边三角形的性质，回答问题
小组讨论，得到等腰三角形的方法.
思考并用数学方法解决问题.
思考并回答问题
思考并回答问题
通过折纸活动，探索等腰三角形的有关性质.
提出四个问题是为了探索等腰三角形的轴对称性及其相关性质.
通过数学证明，让学生深入记忆等腰三角形的相关性质特征.
结合图形说明等腰三角形的三线合一及两底角相等的性质，更容易让学生记忆.
整体总结归纳等腰三角形的性质，加强巩固.
等边三角形为特殊的等腰三角形，它的性质具有特殊性，教学中应鼓励学生通过操作和思考分析,更多的探索它的对称性质.
这是一个开发性问题，在认识等腰三角形的轴对称性的同时，也进一步积累数学活动的经验.
利用三角形全等的相关知识，探索等腰三角形的判别方法.
从角的角度出发探索等边三角形的相关特征，得出等边三角形的判定方法.
明确等边三角形是一种特殊的等腰三角形
解题过程中注意分类讨论思想的运用.
环节三
应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生根据前面知识内容，先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，最终教师展示答题过程.
例：如图，已知AD∥BC，BD是∠ABC的平分线，那么△ABD是等腰三角形吗？为什么？
分析：①由两直线平行可以得到内错角相等，可得∠ADB=∠DBC.
②BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠DBC
③∠ABD=∠ADB，所以△ABD为等腰三角形.
解：△ABD是等腰三角形
∵ AD∥BC
∴ ∠ADB=∠DBC.
又∵ BD是∠ABC的平分线
∴ ∠ABD=∠DBC
∴ ∠ABD=∠ADB
∴ AB=AD（等角对等边）
∴ △ABD是等腰三角形.
明确例题的做法
结合本节课学习内容与之前学习的平行相关知识，解决实际问题，培养学生信息整合的能力
环节四
巩固新知
【随堂练习】
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，那么∠A=______.
2.在△ABC中，如果AB=AC，且一个角等于70°，求另两个角的度数.

3.如图：在△ABC中，AB=AC.点D位AB边上任意一点，过点D作DE∥AC，交BC于点E.△DBE是等腰三角形吗？说说你的理由.
参考答案：
36°.
2.解：若顶角即∠A=70°，则∠B=55 °，∠C=55 °
若底角即∠B=70°，则∠C=70°，∠A=40°
若底角即∠C=70°，则∠B=70°，∠A=40°.
3.解：△DBE是等腰三角形.理由如下：
∵AB=AC
∴∠C=∠B，
又∵DE∥AC，
∴∠C=∠DEB
∴∠B=∠DEB
∴DE=DB，△DBE是等腰三角形
自主完成练习，然后集体交流评价.
通过课堂练习巩固新知，考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五
课堂小结
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.
回顾本节课所讲的内容
通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
环节六
布置作业
教科书第122页
习题5.3
第1、2、3题.
课后完成练习
通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.