初中数学北师大版七年级下册3 简单的轴对称图形精品教案设计

第五章      生活中的轴对称

3 简单的轴对称图形

课时2 线段的垂直平分线

【知识与技能】

(1)掌握线段的垂直平分线的性质和判定.

(2)能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.

【过程与方法】

经历线段垂直平分线的性质定理的证明过程，体验逻辑推理的数学方法.

【情感态度与价值观】

通过对线段垂直平分线的性质定理的探索，提高学生自主学习的能力，增强学好数学的自信心.

线段的垂直平分线的性质和判定.

灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.

多媒体课件、三角尺、无刻度的直尺、圆规

教师引入：上节课我们学习了线段垂直平分线的概念，并且我们也已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，那么线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们将研究它.(板书课题)

教师提出问题：已知线段a，以a为底边的等腰三角形有几个？利用三角尺和刻度尺，你能画出至少三个吗？

教师利用三角尺、刻度尺作出线段的垂直平分线，在垂直平分线上取点、连线可得满足条件的等腰三角形,并直接指出：在这里，我们利用了线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.那么这条性质又是怎么证明的呢？下面我们一起来研究.

探究1：线段的垂直平分线的性质

教师让学生先根据这个命题画出图形(如图13-1.2.1-1)，写出已知、求证.

学生完成之后教师提问：这是证明线段相等的命题，回忆以

前证明角的平分线的性质的方法，会得到什么启发？

图13-1.2.1-1学生思考之后回答：可以利用“SAS”证明△PAC≌△PBC，从而得到PA=PB.学生自行完成证明过程.

然后教师指出线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

教师进一步说明：今后我们可以直接利用这个性质得到有关的线段相等，同时这也可以作为等腰三角形的一种判定方法.

探究2：线段的垂直平分线的判定

教师提出：反过来，与一条线段两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？我们也可以通过“证明”来解决这个问题.

然后让学生画出图形(如图13-1.2.1-2)，写出已知、求证.

图13-1.2.1-2教师强调：为了证明点Q在AB的垂直平分线上，可以过点Q作辅助线，先构造“垂直或平分”中的一个关系，再证明另一个关系.特别要注意防止“过点Q作线段AB的垂直平分线”这种错误.

然后让学生根据提示，口述证明过程.

最后师生共同总结线段垂直平分线的判定方法：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

学生提出问题：判定方法只能判定点在线段的垂直平分线上，那么怎么才能判定这条直线就是线段的垂直平分线呢？

教师：这个问题提得很好，大家想一想，几点确定一条直线？

学生回答两点.

教师表示肯定以及回答学生提出的问题：只要我们能证明一条直线上有两点满足判定方法的条件，那么这条直线就一定是线段的垂直平分线.最后教师进行总结：(1)要证明某条直线是某条线段的垂直平分线，有两种证明方法：一是根据定义去证明；二是根据“两点确定一条直线”，证明直线上的两个点都在这条线段的垂直平分线上.(2)根据线段垂直平分线的判定定理可以作线段的垂直平分线.

接着教师提出：你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？

教师提示：要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出,并且鼓励学生找出原命题的条件和结论.

(教师出示投影)原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”.

学生口述逆命题，教师板书：“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上”.

接着，教师让学生判断它的真假，并且如果是真，那么证明它；如果是假，那么用反例说明.(请学生自行在练习本上完成)

最后学生给出了如下的四种证法.

已知：线段AB，P是平面内一点，且PA=PB.

求证：点P在AB的垂直平分线上.

证法1：过点P作已知线段AB的垂线PC.∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC，即点P在线段AB的垂直平分线上.

证法2：取AB的中点C，过点P，C作直线，如图13-1.2.1-3(1).

∵PA=PB，PC=PC，AC=BC，

∴△PAC≌△PBC(SSS).

∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等).

又∵∠PCA+∠PCB=180°，

∴∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB，

∴点P在线段AB的垂直平分线上.

证法3：如图13-1.2.1-3(2)，过点P作∠APB的平分线.

∵PA=PB，∠1=∠2，PC=PC，

∴△APC≌△BPC(SAS).

∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等).

又∵∠PCA+∠PCB=180°，

∴∠PCA=∠PCB=90°，

∴点P在线段AB的垂直平分线上.

证法4：如图13-1.2.1-4，过点P作线段AB的垂直平分线PC.

∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，

∴点P在线段AB的垂直平分线上.

四种证法由学生表述后，有学生表示对第四位同学的证法不明白.

师生共同分析：如图13-1.2.1-5(1)，PD⊥AB，点D是垂足，但点D不平分AB；如图13-1.2.1-5(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB.这说明一般情况下，“过点P作AB的垂直平分线”是不可能实现的，所以第四位同学的证法是错误的.

教师总结：从同学们的推理证明过程可知，线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定.

接着引入：我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线，现在我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线？那么要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线.下面我们共同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据.

教师出示P62例1：

尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.

已知：直线AB和AB外一点C(如图13-1.2.1-6).

求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.

(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.

(3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.

(4)作直线CF.

直线CF就是所求作的垂线.

教师接着提问：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？

学生之间互相交流后，选一个代表口述：从作法的(2)(3)可知，CD=CE，DF=EF，

∴点C，F都在线段AB的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定).

∴CF就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线).

最后教师总结：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法后，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点.

接着教师让学生完成：教材P62练习第1，2题.(学生独立完成之后，教师点评）.

1.线段的垂直平分线的判定与性质互为逆命题.

2.线段的垂直平分线的集合定义包含两层意思：(1)到线段两个端点的距离相等的点都在线段的垂直平分线上.(2)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

【正式作业】教材P64习题13.1第6题