北师大版1 反比例函数第1课时教学设计

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方案说明

导入：

师：函数（function），名称出自数学家李善兰的著作《代数学》.之所以如此翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量.

函数的分类有很多种,一次函数和反比例函数大家还记得吗？

现在我们就来巩固复习一下.

知识佳构：

师：复习了一次函数与反比例函数相关知识后，大家一起来看几道题.

“佳”题探究之一   一次函数的性质

例1.已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是

-2≤y≤4，则kb的值为______________.

师：同学们都知道一次函数的图象是一条直线，那直线的走向跟什么有关呢？

生：跟k和b的符号有关.

师：回答的非常好！但是这道题目中呢知道k的符号吗？那么如何来解决这个问题呢？

生：分类讨论.

师：很好！你能说说你是怎样解的呢？

生：当k＞0时，y随x的增大而增大，所以x=0时，y=-2；x=2时，y=4，利用待定系数法可以确定k,b的值；当k＜0时，x=0,y=4；x=2，y=-2,同样可以确定k,b的值.

师：动手做一下吧,

注:此题解法不唯一.

解析：一次函数图象的分布与k和b的符号有关，在题设条件中没有给定k 和b的符号，就要进行分类讨论：

下一步

       画一个平面坐标系 小手标点（0，-2）点（2,4）两点连线.

①当k＞0时，y随x的增大而增大，所以x=0时，y=-2；x=2时，y=4，

代入一次函数解析式y=kx+b得：解得，

所以kb=3×（-2）=-6；

下一步

小手标点（0，4）点（2,-2）两点连线.

②当k＜0时，y随x的增大而减小，所以x=0时,y=4；x=2时，y=-2,

代入一次函数解析式y=kx+b得：解得，

所以kb=（-3）×4=-12.

答案：-6或-12

师总结：当题设中给定的条件不确定时，要分情况加以讨论.

 “佳”题探究之二   运用一次函数确定交点坐标

例2. 已知点A（-1,5），B（-6,1），在x轴上有点C(m，0)，在y轴上有点 D（0，n),使AB+BC+CD+DA最短，求的值.

师：在直角坐标系中使线段长度最短，一般会借助轴对称的知识来帮助解决.知道点A，点B的坐标，如何确定点C和点D的坐标？

生：可以作A点关于y轴的对称点A′,B点关于x轴的对称点B′，然后连接A′B′交x轴于点C，交y轴于点D,再利用待定系数法确定直线A′B′的解析式，进而求得点C,点D的坐标即可.

师：很好，思路清晰，思维敏捷.那么为什么此时AB+BC+CD+DA的值是最小的呢？

生：运用两点之间线段最短的性质可以说明.因为点A点B两点坐标已确定，所以AB的长度不变，那么要想它们和的值最小，则只有使BC+CD+DA的值最小即可，那么只有寻找点A和点B的对称点可以确定点C和点D的坐标，将BC转化为B′C，同理将DA转化为A′D，使它们共线，由两点之间线段最短性质可得.

师：学生独立解决，指定学生讲解.

师小结：运用函数解析式是确定交点坐标的关键.

解析： 画坐标系，小手标出A（-1,5），B（-6,1）点

下一步   小手动画画下图

作A点关于y轴的对称点A′（1,5）,B点关于x轴的对称点B′（-6，-1），

然后连接A′B′交x轴于点C，交y轴于点D.

下一步

利用待定系数法确定直线A′B′的解析式，进而求得点C,点D的坐标即可.

答案：

过点A(-1，5)作A点关于y轴的对称点A′（1,5），

过点B作点B关于x轴对称点B′（-6，-1），连接A′B′.下一步

设直线A′B′：y=kx+b，将点A′，点B′坐标代人得：

解得：  则：

当；当，所以.

“佳”题探究之三    一次函数中的规律题

例3. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图所示的方式放置.点A1 ,A2 ,A3,…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b(k＞0)和x轴上，已知点B1（1,1），B2（3,2），则Bn的坐标.

师：从图象上看，若直接找点的坐标不好求，那需先出哪些点的坐标？

生：Bn的纵坐标与An的纵坐标相等，Bn的横坐标与An+1的横坐标相等，

求先出、 An+1的坐标.

师：但是、 An+1能否直接求得呢？

生：不能.

师：那该如何解决呢？很显然遇到此类题目，一点都存在着规律性，直接求很麻烦，但是我们可以先从简单的问题入手，先求出前面几个点的坐标，然后寻找其中的规律来，就可以解决了，同学们试一试.

解析：小手画A1B1红 ，A2B2  红 ，A3B3  红 .

由图知， Bn的纵坐标与An的纵坐标相等，

下一步 小手画OA1 蓝 ，A2B1 蓝 ，A3B2  蓝 .

Bn的横坐标与An+1的横坐标相等，  下一步

因此求出、的坐标即可求出Bn.

答案：小手画点A1 ,点A2变紫，

根据已知条件得到，下一步  小手画直线变紫色.

      把代入直线y=kx+b得：解得：

即：y=x+1.  下一步

A的纵坐标规律：，，→.

下一步

把An的纵坐标代入y=x+1，可求An的横坐标x=y-1=-1，

即：，   下一步

因为Bn的纵坐标与An的纵坐标相等，Bn的横坐标与An+1的横坐标相等， 

所以 .

师小结：

解决这类规律题时，关键是要寻找到前几个点的坐标的特点，然后再探究其中的规律.

“佳”题探究之四   一次函数解决实际问题

例4. 在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t(h),两组离乙地的距离分别为s1(km)和s2（km),图中的折线分别表示s1、s2与t之间的函数关系.

分三题

     （1）甲、乙两地之间的距离为_  _km，乙、丙两地的距离为_ __km；

（2） 求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？

解析：小手动画两条折线变红. 标s1  .   

下一步

 小手动画四条折线变蓝. 标s2 

答案： （1）横线上8，2；   下一步

       （2）第二组从甲地到丙地所用时间为1小时，走了10千米.

第二组步行速度：10÷1=10（千米/时），

甲地到乙地的时间：8÷10=0.8（时），

从乙地到丙地时间：1-0.8=0.2（时）.

（3）求图中线段AB所表示的s2与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.

师：此函数图象的横轴表示什么意义？纵轴表示什么意义？

生：横轴表示步行的时间，纵轴表示的是与乙地的距离.

师：图象中那一条折线表示的是第一组，那一条表示的是第二组？

生：根据题意可知：第一组从甲地到乙地后直接返回的，所以两条折线的是第一组，四条折线的是第二组.

师：嗯，理解的很不错，观察仔细，分析入理，那么你能得出（1）中甲、乙两地的距离是多少呢？乙、丙两地呢？

生：老师，从图象上看应该是8千米.乙、丙两地的距离是2千米.

师：第（2）小问题如何解决？

生：老师是不是应该这样考虑：第二组从甲地出发到乙地经过丙地再按原速返回，共计用时2小时，那么从甲地到丙地所用时间为1小时，走了10千米，所以第二组步行速度为10÷1=10千米/小时，所以从甲地到乙地的时间为：

8÷10=0.8（小时），从乙地到丙地时间为1-0.8=0.2（小时）

师：好，请继续解答第（3）小问题.

生：A点坐标为（0.8,0），B点坐标为（1,2），利用待定系数法可解.

师：同学们自己独立完成此题.

解析：小手动画标A(0.8，0)，B(1，2)   画AB涂黄色  

      求AB解析式.

答案：A(0.8，0)，B(1，2).

设AB：y=kt+b.

 解得：    

所以， （0.8≤t≤1）

师小结：

（1）本题是一次函数的应用题，解决此类题的关键是要读懂函数的图象所代表的意义.

（2）确定一次函数解析式，关键是求得在直线上两点的坐标，然后利用待定系数法可解.

“佳”题探究之五   反比例函数的性质

例5. 如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为           .

师：由题设条件中OA=1，OC=6，你能获得哪些信息？可以求出那个点的坐标？

生：由题设条件可以知道点B的坐标为（1,6），可以知道k=6，就可以得到反比例函数解析式为：.

师：那么如何求正方形的边长呢？能直接求得吗？

生：不太可能.

师：既然不能直接求得，我们能不能进行转化呢？如果设正方形的边长为a，我们已经知道了反比例函数k的值为6，而反比例函数中的k=xy，此时若能用含字母a的式子表示点E的坐标，问题即可解决.独自尝试一下.

解析：依次出动画

四边形OABC闪两下涂红色，标OA=1，OC=6，点B的坐标为（1,6），

 下一步   小手画反比例函数涂紫

利用点B的坐标求反比例函数解析式k的值.

下一步  依次出动画

ADEF是正方形闪两下涂蓝，标边长AD=DE=a ，标点E(a+1，a)  

利用反比例函数解析式k的值求点E的坐标.

答案：由OA=1，OC=6，则点B的坐标为（1,6）,所以k=xy=1×6=6.

设正方形ADEF的边长为a，则OD=a+1，DE=a，则E(a+1，a)

即 a(a+1)=6，解之得：a1=2，a2=-3（舍去）

所以正方形ADEF的边长为2.

师生互动完成

常用解法

当学生解题遇到困难时，老师就该出场了，适当的点拨和指导学生.