第1讲《方程与不等式》第2课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

教学路径

师：上节课我们主要学习了一元一次方程、二元一次方程组的有关概念以及解法。这节课我们继续来学习运用分式方程、一元二次方程的知识综合解决问题.

“佳”题探究之三  方程、不等式的应用

例5   某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．（分两题）

（1）若该超市一次性购进两种商品共80件，且恰好用去1600元，问购进甲、乙两种商品各多少件？

（1）方法1：设未知数：购进甲种商品x件，则购进乙种商品为（80-x）件.

 找等量关系：购进甲种商品的费用+购进乙种商品的费用=1600元.

           列方程求解. 

答案：

解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品为（80-x）件.

     根据题意得，，  解得.

 答：购进甲、乙两种商品各是40件.

方法2：设未知数：购进甲种商品x件，则购进乙种商品为y件.

          找等量关系：

         购进甲种商品的数量+购进乙种商品的数量=80件， 

购进甲种商品的费用+购进乙种商品的费用=1600元.

         列方程组求解. 

答案：

解：购进甲种商品x件，则购进乙种商品为y件.

根据题意列方程组得：

  解得 

答：购进甲、乙两种商品各是40件.

(2)若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1640元，且总利润（利润=售价-进价）不少于600元．请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出使该超市利润最大的方案．

课件出示解析：

购进甲种商品z件，则购进乙种商品为（80-z）件.(下一步)

根据不等关系：购进费用不超过1640元和总利润不少于600元列不等式组.

答案：

解：设购进甲种商品z件，则购进乙种商品为（80-z）件.

由题意得：     解得.

因为z为非负整数，所以z=38,39,40，则80-z =42,41,40.

(下一步)

设利润为w,则.

因为k=-5＜0，w随z的增大而减小，所以当z =38时，w的值最大.

故购进甲商品38件，乙商品为42件时，该超市利润最大.

1.师：这是运用方程和不等式组解决实际问题的例子，（1）中求解的是甲、乙各多少件数，首先根据题意寻找等量关系，运用一元一次方程或二元一次方程组可解；（2）中出现的是方案问题，一般情况下求方案类问题都会运用不等式或不等式组求解.

师：（1）中的等量关系是什么？

生：甲的件数+乙的件数=80，甲商品的金额+乙商品的金额=1600

师：回答的非常好，既然找到了等量关系，我们就可以运用方程这个模型来解决问题了，请同学们列出方程求解吧，看看甲、乙分别是多少件.

生独立完成，找学生说说自己的答案.

2.师：（2）中有哪些关键性的词，你能把它画出来吗？那么此问中的不等量关系又是什么呢？你能否根据这些不等量的关系列出不等式或不等式组呢？

生：购进费用不超过1640元和总利润不少于600元

师：说得非常好，看看哪位同学最先计算出来.

生独立完成，然后指定学生讲解.

3.小结：1.第2小题的解得确定方案，由于方案的种类比较少，所以学生们也可以将这三种方案的利润分别求出来进行比较，最后得出结论也可的，但是此题还是建议让学生运用一次函数的思想解决比较好.

例6  20223年4月20日，雅安发生7.0级地震，某地需550顶帐篷解决受灾群众临时住宿问题，现由甲、乙两个工厂来加工生产．已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，并且加工生产240顶帐篷甲工厂比乙工厂少用4天．

(1)求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少顶帐篷.

(2)若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批救灾帐篷的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？

1.学生独立完成，并指定学生讲解.

2.小结：用分式方程解决问题时，求得的方程的解必须进行检验，即需验根.

解析：（1）设乙工厂每天可加工x顶帐篷，则甲工厂每天可加工1.5x顶帐篷.

根据“加工生产240顶帐蓬甲工厂比乙工厂少用4天”列方程求解.

(下一步)

（1）    设甲工厂生产y天.

根据“这批救灾帐蓬的加工生产总成本不高于60万元”列不等式求解.

答案：解：

（1）设乙工厂每天可加工x顶帐篷，则甲工厂每天可加工1.5x顶帐篷.

   由题意得，解得.

经检验是原方程的根.1.5x=30.

答：甲、乙两个工厂每天分别可加工生产30顶帐篷和20顶帐篷.

(下一步)

（2）设甲工厂生产y天.

由题意得，解得y≥10.

所以,至少安排甲工厂生产10天.

探究类型之四   一元二次方程

例7   已知关于x的一元二次方程（x-3）(x-2)=|m|.

(1)   求证：对于任意实数m, 方程总有两个不相等的实数根;

(2)   若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根.

解析：

(1) 先将（x-3）(x-2)=|m|化为一般形式，然后证明Δ＞0即可.

(下一步)

(2)将x=1代入方程，求出|m|的值.

答案：

（1）         

证明：移项，整理化成一般形式: x2-5x+6 -|m|=0.

因为Δ=（-5）2-4×1×（6-|m|）=1 +4|m|＞0，

所以关于x的方程（x-3）(x-2)=|m|总有两个不相等的实数根.

(下一步)

（2）

解：将x=1代入方程，得|m|=2，解得m=2.

（x-3）(x-2)=2，化简得x2-5x+4=0，解得x1=1，x2=4.

师：如何判定一元二次方程根的情况呢？

生：Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；

Δ＝0，方程有两个相等的实数根；

Δ＜0，方程没有实数根.

师：那么对于（1）中我们要如何证明呢？

生：说得非常好，先将（x-3）(x-2)=|m|化为一般形式，然后证明Δ＞0.

师：对于第（2）问，我们怎么做呢？

生：直接将x=1代入方程，求出m的值.然后将|m|的值代入方程求出方程的根.

“佳”题补充

选讲  某仓库有甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，丙车每小时的运输量最多，乙车每小时的运输量最少，乙车每小时运6吨，下图是甲、乙、丙三辆运输车开始工作后，仓库的库存量y（吨）与工作时间x（时）之间的函数图象，其中OA段只有甲、丙两车参与运输，AB段只有乙、丙两车参与运输，BC段只有甲、乙两车参与运输．

（1）甲、乙、丙三辆车中，谁是进货车？

（2）甲车和丙车每小时各运输多少吨？

（3）由于仓库接到临时通知，要求三车在8小时后同时开始工作，但丙车在运送10吨货物后出现故障而退出，问：8小时后，甲、乙两车又工作了几小时，使仓库的库存量为6吨．    

（1）解析：先将题中蓝色字下面划线，然后将图中“线段AB描红”，然后出示：乙、丙是进货车.

(下一步)将题中“OA段只有甲、丙两车参与运输”用绿色的线标出，同时将图中OA描成绿色，然后出示：甲必是出货车.

答案：乙、丙是进货车.

（2）解析：设甲、丙每小时运货x吨和y吨.

等量关系：

根据OA段的图象可知：甲、丙两车参与运输的2小时后，仓库的库存量为4吨；

（下一步）

根据A-B-C段的图象可知：甲，乙和丙各参与运输5小时，6小时和1小时后，仓库的库存量是10-4=6（吨）.（下一步填空）

答案：

解：

解：设甲、丙每小时运货a吨和b吨.

根据题意得解得

答：甲、丙每小时分别运货8吨和10吨.

(3）解析：设8小时后，甲、乙两车又工作了m个小时，根据丙车在运送10吨货物后出现故障而退出，再根据最后仓库的库存量为6吨列出方程求解.

(4）答案：

解：设8小时后，甲、乙又工作了m小时，仓库库存6吨.

根据题意得，解得m=7.

答：8小时后，甲、乙两车又工作了7小时，使仓库的库存量为6吨．    

1.师：请同学们仔细审题，观察函数的图象，你从中获得哪些信息？横轴表示什么数学意义？纵轴又表示什么数学意义？

生：横轴表示工作时间，纵轴表示仓库的库存量

师：很好，那么你怎么判断甲、乙、丙三辆车中，哪量是进货车？

生：根据图形及题意可知：甲为出货车，乙、丙为进货车；

2.师：如何求解甲、丙两车的运货吨位？这里的等量关系是什么？

学生分组讨论，然后指定学生说说：

生1：根据OA段的图象可知：甲、丙两车参与运输的2小时后，仓库的库存量为4吨；

生2：根据A-B-C段的图象可知：甲，乙和丙各参与运输5小时，6小时和1小时后，仓库的库存量是10-4=6（吨）.

生独立计算，然后找学生说说自己的答案.

3.如何求解8小时后，接着甲、乙两车又工作了几小时，使仓库的库存量为6吨呢？

小组协作讨论,指定小组说说自己的答案.

小结：解决此类题目，关键是要读懂函数的图象，利用数形结合的方法就可以轻松解决.

中考“佳”题

4.已知关于的一元二次方程＝0有一个非零根，则的值为

（　　）

  A．1   B．－1     C．0   D．－2

解析：“关于的一元二次方程＝0有一个非零根”下划横线，然后出示：将x=代入＝0中得=0①.

(下一步)∵≠0，∴①式左右两边同时除以b,得=0，∴=-1.

5.若不等式有解，则实数a的取值范围是（    ）

  A. a ＜-36    B.  a ≤-36    C.  a ＞-36    D.  a ≥-36

学生独立完成，指定学生讲解.

6.定义新运算：对于任意实数a、b都有a△b=ab-a-b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△3=24-2-4+1=8-6+1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x的值大于5而小于9，则x的取值范围________________.

学生独立完成，指定学生讲解.

7.已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是_______.

学生独立完成，指定学生讲解.

8.已知a、b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式

的值为         ．  

课件出示解析：因为a、b是方程x2-x-3=0的两个根，所以a2-a-3=0，b2-b-3=0.

所以a2=a+3，b2-b=3.

(下一步)

=

=

=

        =

= 23.

9.为了迎接“十一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：

已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．(分三题出示)

（1）求m的值；

（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？

（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

课件出示解析：

（1）    根据“用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同”列方程求解.

（2）根据“总利润不少于21700元，且不超过22300元”列不等式组求解即可.

（3）设总利润为w,则由题意得

=，（95≤x≤105）.

（下一步）分以下三种情况讨论w的最大值：

①50＜a＜60；② a=60，③ a＞60.

答案：

（1）由题意得，解得，经检验是原方程的根.

（下一步）

(2)设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200-x）双.

根据题意得：，解得：

所以105-95+1=11（种）.

下一步

(3) 设总利润为w,则由题意得

则由题意得=， （95≤x≤105）

①当50＜a＜60时，60-a＞0，w随x的增大而增大，所以x=105时，w有最大值，

所以此时购进甲种运动鞋105双，乙种运动鞋95双.

②当a=60时，60-a=0，w=16000，（2）中的11种方案利润都一样.

③当a＞60时，60-a＜0，w随x的增大而减小，所以当x=95时，w有最大值

所以此时购进甲种运动鞋95双，乙种运动鞋105双.

10.某汽车4S店销售某种型号的汽车，每辆进货价为15万元，该店经过一段时间的市场调研发现：当销售价为25万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出1辆．该4S店要想平均每周的销售利润为90万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车的定价应为多少万元？

解析：每辆汽车的定价应为x万元，需表示出每件的利润和销售量.

(下一步) 根据“每件的利润×销售量=90万元”列方程.

“佳”题补充（选做题）

 ※  为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室，经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．

（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？

（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需要集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a>0），则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了，求a的值．

课件出示解析：

（1）    根据“购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍”列不等式.

(下一步)

（2）    根据“参与户集资20000元”列方程求解.