中考数学一轮复习讲义第13讲《一次函数》教案

这是一份中考数学一轮复习讲义第13讲《一次函数》教案，共45页。教案主要包含了三象限，y随x的增大而增大；，四象限，y随x的增大而减小，四象限，确定一次函数解析式，一次函数的应用等内容，欢迎下载使用。

中考数学一轮复习讲义
考点十三：一次函数
聚焦考点☆温习理解
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线；一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。
k，b与函数图象所在象限：
y=kx时（即b等于0，y与x成正比，此时的图象是是一条经过原点的直线)
当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
y=kx+b（k,b为常数，k≠0）时：
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。
当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。
当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。
当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。
当b>0时，直线必通过一、二象限；
当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。
3、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
4、一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积
直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，b）;直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S△=｜｜·｜b｜=.

名师点睛☆典例分类
考点典例一、求函数自变量的取值范围
【例1】函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A. x≥-1且x≠1 B. x≥-1 C. x≠1 D. -1≤x＜1

【举一反三】
1. 函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 且x≠3 D.

2. 使得代数式有意义的的取值范围是__________．

考点典例二、函数的图象
【例2】如图，直线都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1，正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）

A. B. C. D.

【举一反三】
1.如图甲，A、B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（　 　）

A. ① B. ④ C. ①或③ D. ②或④

2.如图，矩形ABCD的对角线交于点O,∠BOC=60°,AD=3,动点P从点A出发，沿折线AD-DO以每秒1个单位长的速度运动到点O停止。设运动时间为秒，，则y与x的函数图象大致为（ ）


A. A B. B C. C D. D

考点典例三、一次函数和正比例函数的图象和性质
【例3】已知一次函数y=kx﹣k，y随x的增大而减小，则函数图象不过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【举一反三】
1. 将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A. B. C. D.

2.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（　　）
A．B． C．D．

考点典例四、确定一次函数解析式
【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线过点且与轴交于点，把点向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点.过点且与平行的直线交轴于点.

（1）求直线的解析式；
（2）直线与交于点，将直线沿方向平移，平移到经过点的位置结束，求直线在平移过程中与轴交点的横坐标的取值范围.

【举一反三】
1. 如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，⊙O经过A，B两点，已知AB=2，则的值为__________．


2. （新疆乌鲁木齐市第九十八中学2018届九年级下学期第一次模拟）在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到 .

（1）求直线的解析式；
（2）若直线与直线l相交于点C，求的面积.

考点典例五、一次函数的应用
【例5】“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示.

（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.

【举一反三】
1. （2018黄冈）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离（千米）与行驶时间（小时）的对应关系如图所示：

（1）甲乙两地相距多远？
（2）求快车和慢车的速度分别是多少？
（3）求出两车相遇后与之间的函数关系式；
（4）何时两车相距千米.

2. 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.
设小明计划今年夏季游泳次数为（为正整数）.
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
游泳次数
10
15
20
…

方式一的总费用（元）
150
175

…

方式二的总费用（元）
90
135

…

（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？
（Ⅲ）当时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.

课时作业☆能力提升
一、选择题
1.函数自变量x的取值范围是（　）
A. 全体实数 B. x＞0 C. x≥0且x≠1 D. x＞1

2. （2017黑龙江绥化）在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限

3. 在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（   ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

4.如图，放置的， ， ，…都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点， ， ，…都在直线上，则的坐标是（ ）

A. （2017，2017） B. (2017,2017)C. (2017,2018) D. (2017,2019)

5.直线y=kx+b过点（2，2）且与直线y=-3x相交于点（1，a），则两直线与x轴所围成的面积为（ ）
A. 2 B. 2.4 C. 3 D. 4.8

6. （2017内蒙古通辽）如图，点在直线上方，且，于，若线段，，，则与的函数关系图象大致是（ ）

A． B． C． D．

7. （2018海南中）以坐标原点为圆心，作半径为2的圆，若直线与相交，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．

二、填空题.
8. （2018年甘肃省武威市）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为__________．


9. 2018年重庆市两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从地出发到地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达地.甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距地还有____________千米.


10. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________．


11.一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则的值是

12. 四川省宜宾市2018年已知点A是直线y=x+1上一点，其横坐标为﹣ ，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为_____．

13.如图，将直线 沿轴向下平移后的直线恰好经过点 ，且与轴交于点，在 轴上存在一点使得的值最小，则点的坐标为 ．


三、解答题。
14.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，3），反比例函数的图象经过点D，点P是一次函数y=mx+3﹣4m（m≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算说明一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C；
（3）对于一次函数y=mx+3﹣4m（m≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围．（不必写过程）


15. A、B两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行，s（千米）表示汽车与甲地的距离，t（分）表示汽车行驶的时间，如图，L1，L2分别表示两辆汽车的s与t的关系？
（1）L1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？
（2）汽车B的速度是多少？
（3）求L1，L2分别表示的两辆汽车的s与t的关系式．
（4）2小时后，两车相距多少千米？
（5）行驶多长时间后，A、B两车相遇？


16.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图像回答以下问题：
（1）请在图中的（ ）内填上正确的值，并写出两车的速度和．
（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）请直接写出两车之间的距离不超过15km的时间范围．


17. 浙江省衢州市2018年如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）．
（1）求直线CD的函数表达式；
（2）动点P在x轴上从点（﹣10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t．
①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值．



参考答案：
考点典例一、求函数自变量的取值范围
【例1】函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A. x≥-1且x≠1 B. x≥-1 C. x≠1 D. -1≤x＜1
【来源】湖北省黄冈市2018年中考数学试题
【答案】A

点睛：本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
【举一反三】
1. 函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 且x≠3 D.
【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题
【答案】C

【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2. 使得代数式有意义的的取值范围是__________．
【来源】2018年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题
【答案】

【点评】考查二次根式和分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零,分式有意义的条件是分母不为零.
考点典例二、函数的图象
【例2】如图，直线都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1，正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）

A. B. C. D.
【来源】安徽省2018年中考数学试题
【答案】A

【详解】由正方形的性质，已知正方形ABCD的边长为，易得正方形的对角线AC=2，∠ACD=45°，
如图，当0≤x≤1时，y=2，

如图，当1
如图，当2
综上，只有选项A符合，
故选A.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，涉及到正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，结合图形正确分类是解题的关键.
【举一反三】
1.如图甲，A、B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（　 　）

A. ① B. ④ C. ①或③ D. ②或④
【答案】C
【解析】试题解析: 当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，
故答案为①③.
故选：C．
2.如图，矩形ABCD的对角线交于点O,∠BOC=60°,AD=3,动点P从点A出发，沿折线AD-DO以每秒1个单位长的速度运动到点O停止。设运动时间为秒，，则y与x的函数图象大致为（ ）


A. A B. B C. C D. D
【答案】A

∴BC=3，
∵矩形ABCD的对角线交于点O，∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，OB=OC=BC=3，
∵△BOC≌△AOD，
∴∠ADO=∠AOD=60°，DO=AO=3，
在Rt△OAF中，∠AOF=30°，OA=3，AF=，
∴由勾股定理得OF=，
在Rt△DOE中，∠ODE=30°，OD=3，
∴OE=，
由勾股定理得DE=，
∴DC=2DE=，
在Rt△DCG中，∠CDG=30°，DC=，
∴CG=，
当0⩽x<3时，y=S△POC=S△ACD−S△APO−S△PDC=×3×−×⋅x−×(3−x) =x，
即y是x的正比例函数，
当3 即y是x的一次函数，
故选：A.
点睛：此题考查动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.
考点典例三、一次函数和正比例函数的图象和性质
【例3】已知一次函数y=kx﹣k，y随x的增大而减小，则函数图象不过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
故选C．
点睛：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
【举一反三】
1. 将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题
【答案】A

【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（　　）
A．B． C．D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；[来源:学科网ZXXK]
D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选B．
考点：1．根的判别式；2．一次函数的图象．
考点典例四、确定一次函数解析式
【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线过点且与轴交于点，把点向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点.过点且与平行的直线交轴于点.

（1）求直线的解析式；
（2）直线与交于点，将直线沿方向平移，平移到经过点的位置结束，求直线在平移过程中与轴交点的横坐标的取值范围.
【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷（A卷）
【答案】（1）（2）
【解析】【分析】（1）由题意先求出点A的坐标，再根据平移求得点C的坐标，由直线CD与y=2x平行，可设直线CD的解析式为y=2x+b，代入点C坐标利用待定系数法即可得；
（2）先求得点B坐标，根据直线平移后经过点B，可得平移后的解析式为y=2x+3，分别求得直线CD、直线BF与x轴的交点坐标即可得到平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围.

（2）将代入中，得，即，
故平移之后的直线的解析式为，
令，得，即，
将代入中，得，即，
平移过程中与轴交点的取值范围是：.
【点评】本题主要考查了一次函数的平移，待定系数法等，明确直线平移k值不变是解题的关键.
【举一反三】
1. 如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，⊙O经过A，B两点，已知AB=2，则的值为__________．

【来源】江苏省连云港市2018年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：由图形可知：△OAB是等腰直角三角形，AB=2，可得A，B两点坐标，利用待定系数法可求k和b的值，进而得到答案．
详解：由图形可知：△OAB是等腰直角三角形，OA=OB
∵AB=2，OA2+OB2=AB2，
∴OA=OB=，
∴A点坐标是（，0），B点坐标是（0，），
∵一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴将A，B两点坐标带入y=kx+b，得k=-1，b=，
∴=-.
故答案为：-.
点睛：本题主要考查图形的分析运用和待定系数法求解析，找出A，B两点的坐标对解题是关键之举．
2. （新疆乌鲁木齐市第九十八中学2018届九年级下学期第一次模拟）在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到 .

（1）求直线的解析式；
（2）若直线与直线l相交于点C，求的面积.
【答案】（1）；（2）
试题解析：解：（1）由直线l： 分别交x轴，y轴于点A、B．可知：A（3，0），B（0，4）．∵△AOB绕点O顺时针旋转90°而得到△A′OB′，∴△AOB≌△A′OB′，故A′（0，﹣3），B′（4，0）．
设直线A′B′的解析式为y=kx+b（k≠0，k，b为常数）
∴，解得： ，∴直线A′B′的解析式为；
（2）由题意得： ，解得： ，∴C（，﹣），又A′B=3+4=7，∴S△A′BC==．
考点典例五、一次函数的应用
【例5】“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示.

（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
【来源】江苏省扬州市2018年中考数学试题
【答案】（1）；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.

详解：（1）由题意得： ．
故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700，
（2）由题意，得
-10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），

w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；

点睛：此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．
【举一反三】
1. （2018黄冈）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离（千米）与行驶时间（小时）的对应关系如图所示：

（1）甲乙两地相距多远？
（2）求快车和慢车的速度分别是多少？
（3）求出两车相遇后与之间的函数关系式；
（4）何时两车相距千米.
【答案】（1）600千米；（2）快车速度为90千米/小时，慢车速度为60千米/小时；（3）；（4）两车2小时或6小时时，两车相距300千米．
【解析】
试题分析：（1）由图象容易得出答案；
（2）由题意得出慢车速度为=60（千米/小时）；设快车速度为x千米/小时，由图象得出方程，解方程即可；
（3）求出相遇的时间和慢车行驶的路程，即可得出答案；
（4）分两种情况，由题意得出方程，解方程即可．
试题解析：（1）由图象得：甲乙两地相距600千米；
（2）由题意得：慢车总用时10小时，
∴慢车速度为=60（千米/小时）；
想和快车速度为x千米/小时，
由图象得：60×4+4x=600，解得：x=90，
∴快车速度为90千米/小时，慢车速度为60千米/小时；
（3）由图象得：（小时），60×=400（千米），
时间为小时时快车已到达甲地，此时慢车走了400千米，
∴两车相遇后y与x的函数关系式为 ；
（4）设出发x小时后，两车相距300千米．
①当两车没有相遇时，
由题意得：60x+90x=600﹣300，解得：x=2；
②当两车相遇后，
由题意得：60x+90x=600+300，解得：x=6；
即两车2小时或6小时时，两车相距300千米．
考点：一次函数的应用．
2. 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.
设小明计划今年夏季游泳次数为（为正整数）.
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
游泳次数
10
15
20
…

方式一的总费用（元）
150
175

…

方式二的总费用（元）
90
135

…

（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？
（Ⅲ）当时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.
【来源】天津市2018年中考数学试题
【答案】（Ⅰ）200，，180，.（Ⅱ）小明选择方式一游泳次数比较多. （Ⅲ）当时，有，小明选择方式二更合算；当时，有，小明选择方式一更合算.
【解析】分析：（Ⅰ）根据题意得两种付费方式 ，进行填表即可；
（Ⅱ）根据（1）知两种方式的关系，列出方程求解即可；
（Ⅲ）当时，作差比较即可得解.

点睛：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1.函数自变量x的取值范围是（　）
A. 全体实数 B. x＞0 C. x≥0且x≠1 D. x＞1
【答案】C
【解析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分. 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解.
解：根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，得，
解得x≥0且x≠1，
故选C．
考点：函数解析式有意义的条件.
2. （2017黑龙江绥化）在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限
【答案】D

考点：两条直线相交或平行问题．
3. 在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（   ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷
【答案】C

【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，三角形的面积等，解本题的关键是确定出直线y=kx+b与x轴、y轴的交点坐标.
4.如图，放置的， ， ，…都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点， ， ，…都在直线上，则的坐标是（ ）

A. （2017，2017） B. (2017,2017)C. (2017,2018) D. (2017,2019)
【答案】D
【解析】试题分析：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，

由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC＝30°，
∴CO＝OB1cos30°＝，
∴B1的横坐标为： ，则A1的横坐标为： ，
连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，
∵点B1，B2，B3，…都在直线y＝上，AO＝2，
∴直线AA1的解析式为：y＝＋2，
∴y＝＋2＝3，
∴A1（，3），
同理可得出：A2的横坐标为： ，
∴y＝＋2＝4，
∴A2（，4），
∴A3（，5），
…
A2017（，2019）．
故选D．
点睛：本题为规律型题目，利用等边三角形和直角三角形的性质求得B1的坐标，从而总结出点的坐标的规律是解题的关键．
5.直线y=kx+b过点（2，2）且与直线y=-3x相交于点（1，a），则两直线与x轴所围成的面积为（ ）
A. 2 B. 2.4 C. 3 D. 4.8
【答案】B
【解析】解: 点（2，2）在直线y=-3x上, ∴a=-3,
又y=kx+b过点（2，2）, （1，-3）
∴，解得 ,
所以,直线为 y=5x-8,
令y=0 ,则5x-8=0 ,解得x= ,
所以,与x 轴的交点坐标为（），
∵直线y=-3x经过坐标原点,
两直线与x轴所围成的面积=×3=2.4.
故选B .
考点：一次函数.
6. （2017内蒙古通辽）如图，点在直线上方，且，于，若线段，，，则与的函数关系图象大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：∵PC⊥AB于C，∠APB=90°，
∴∠ACP=∠BCP=90°，
∴∠APC+∠BPC=∠APC+∠PAC=90°，
∴∠PAC=∠BPC，
∴△APC∽△PBC，
∴ ，
∵AB=6，AC=x，
∴BC=6﹣x，
∴PC2=x（6﹣x），
∴PC=，
∴y=AB•PC=3=3，
故选：D．
考点：动点问题的函数图象
7. （2018海南中）以坐标原点为圆心，作半径为2的圆，若直线与相交，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】

则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2＜b＜2．故选D

考点：1.直线与圆的位置关系；2.一次函数图象与系数的关系．
二、填空题.
8. （2018年甘肃省武威市）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为__________．

【答案】

【点评】考查一次函数与一次不等式，会数形结合是解题的关键.
9. 2018年重庆市两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从地出发到地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达地.甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距地还有____________千米.

【答案】90
【解析】【分析】观察图象可知甲车40分钟行驶了30千米，由此可求出甲车速度，再根据甲车行驶小时时与乙车的距离为10千米可求得乙车的速度，从而可求得乙车出故障修好后的速度，再根据甲、乙两车同时到达B地，设乙车出故障前走了t1小时，修好后走了t2小时，根据等量关系甲车用了小时行驶了全程，乙车行驶的路程为60t1+50t2=240，列方程组求出t2，再根据甲车的速度即可知乙车修好时甲车距B地的路程.
【详解】甲车先行40分钟（），所行路程为30千米，
因此甲车的速度为（千米/时），
设乙车的初始速度为V乙，则有
，
解得：（千米/时），
因此乙车故障后速度为：60-10=50（千米/时），
设乙车出故障前走了t1小时，修好后走了t2小时，则有
，解得：，
45×2=90（千米），
故答案为：90.
【点评】 本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，求出速度后能从题中找到必要的等量关系列方程组进行求解是关键.
10. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________．

【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷
【答案】

把y=0代入 y = − x + 4 得出x=,
∴A(,0);
∴OA=,

点睛: 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了菱形的性质.学科&网
11.一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则的值是
【答案】2或-7
【解析】
试题分析：由于k的符号不能确定，故应对k＞0和k＜0两种情况进行解答．
试题解析：当k＞0时，此函数是增函数，
∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴当x=1时，y=3；当x=4时，y=6，
∴，
解得，
∴=2；
当k＜0时，此函数是减函数，
∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴当x=1时，y=6；当x=4时，y=3，
∴，
解得，
∴=-7．
考点：一次函数的性质．
12. 四川省宜宾市2018年已知点A是直线y=x+1上一点，其横坐标为﹣ ，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为_____．
【答案】(,)
【解析】分析：利用待定系数法求出点A坐标，再利用轴对称的性质求出点B坐标即可；
详解：由题意A（-，），
∵A、B关于y轴对称，
∴B（，），
故答案为（，）．
点睛：本题考查一次函数的应用、轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13.如图，将直线 沿轴向下平移后的直线恰好经过点 ，且与轴交于点，在 轴上存在一点使得的值最小，则点的坐标为 ．

【答案】（，0）
【解析】
试题分析：如图所示，作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求，
设直线y=﹣x沿y轴向下平移后的直线解析式为y=﹣x+a，
把A（2，﹣4）代入可得，a=﹣2，
∴平移后的直线为y=﹣x﹣2，
令x=0，则y=﹣2，即B（0，﹣2）
∴B'（0，2），
设直线AB'的解析式为y=kx+b，
把A（2，﹣4），B'（0，2）代入可得， ，解得 ，
∴直线AB'的解析式为y=﹣3x+2，
令y=0，则x= ，∴P（，0）.

考点：1.最短路线问题；2.一次函数图象与几何变换的运用.
三、解答题。
14.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，3），反比例函数的图象经过点D，点P是一次函数y=mx+3﹣4m（m≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算说明一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C；
（3）对于一次函数y=mx+3﹣4m（m≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围．（不必写过程）

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）＜x＜4．
试题解析：
解：（1）∵B（4，1），C（4，3），
∴BC∥y轴，BC=2，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，AD∥y轴，而A（1，0），
∴D（1，2），
∴由反比例函数y=的图象经过点D，可得k=1×2=2，
∴反比例函数的解析式为y=.
（2）∵在一次函数y=mx+3﹣4m中，y=m(x-4)+3,当x=4时，y=4m+3﹣4m=3，
∴一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C（4，3）.
（3）点P的横坐标的取值范围： ＜x＜4．

由点C的横坐标为4，可得F的横坐标为4，
∵一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C（4，3），且y随x的增大而增大，
∴直线y=mx+3﹣4m与双曲线的交点P落在EF之间的双曲线上，
∴点P的横坐标的取值范围是＜x＜4．

15. A、B两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行，s（千米）表示汽车与甲地的距离，t（分）表示汽车行驶的时间，如图，L1，L2分别表示两辆汽车的s与t的关系？
（1）L1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？
（2）汽车B的速度是多少？
（3）求L1，L2分别表示的两辆汽车的s与t的关系式．
（4）2小时后，两车相距多少千米？
（5）行驶多长时间后，A、B两车相遇？

【答案】（1）L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；（2）1.5千米/分；（3）s1=﹣1.5t+330；s2=t；（4）2小时后，两车相距60千米；（5）行驶132分钟，A、B两车相遇
（4）结合（3）中函数图象求得时s的值，做差即可求解；
（5）求出函数图象的交点坐标即可求解．
试题解析：（1）函数图形可知汽车B是由乙地开往甲地，故L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；
（2）（330﹣240）÷60=1.5（千米/分）；
（3）设L1为 把点（0，330），（60，240）代入得
所以
设L2为 把点（60，60）代入得

所以
（4）当时，
330﹣150﹣120=60（千米）；
所以2小时后，两车相距60千米；
（5）当时，
解得
即行驶132分钟，A、B两车相遇．
16.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图像回答以下问题：
（1）请在图中的（ ）内填上正确的值，并写出两车的速度和．
（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）请直接写出两车之间的距离不超过15km的时间范围．

【答案】（1）900；225km∕h.（2）yBC=225x-900（4≤x≤6）；（3）
【解析】试题分析：（1）设直线的解析式为： 把点代入，求出解析式，当时， 4小时后两车相遇，即可求出它们的速度和.
分别让解析式中的即可求出两车之间的距离不超过15km的时间范围．
试题解析：（1）设直线的解析式为： 把点代入得：

解得：
直线的解析式为：
当时，
图中括号里应填900，两车的速度和为：
（2）快车与慢车的速度和为：900÷4=225km/h，
慢车的速度为：900÷12=75km/h，
快车的速度为：225−75=150 km/h.
由题意得快车走完全程的时间为：900÷150=6h，
6时时两车之间的距离为：225×(6−4)=450km.
则C(6,450).
设线段BC的解析式为y=kx+b，由题意，得

解得：
则y=225x−900，自变量x的取值范围是
（3）
17. 浙江省衢州市2018年如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）．
（1）求直线CD的函数表达式；
（2）动点P在x轴上从点（﹣10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t．
①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值．

【答案】（1）直线CD的解析式为y=﹣x+6；（2）①满足条件的点P坐标为（，0）或（，0）．②满足条件的t的值为或．

详解：（1）设直线CD的解析式为y=kx+b，则有
，
解得，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+6．
（2）①如图1中，作DP∥OB，则∠PDA=∠B．

∵DP∥OB，
∴，
∴，
∴，
∴OP=6﹣，
∴P（，0），
根据对称性可知，当AP=AP′时，P′（，0），
∴满足条件的点P坐标为（，0）或（，0）．
②如图2中，当OP=OB=10时，作PQ∥OB交CD于Q．


如图3中，当OQ=OB时，设Q（m，﹣m+6），


点睛：本题考查了一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标．