第2讲《一次函数与反比例函数》第2课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

教学路径

方案说明

师：上节课我们主要学习了一次函数和反比例函数的有关概念以及确定函数解析式的求法以及反比例函数中k的几何意义.下面我们接着学习一次函数与反比例函数的综合型题目的解答思想和方法.

 “佳”题探究之六  一次函数、反比例函数综合

例6. 如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线相交于          A（﹣1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．

（1）求m、n的值；

（2）求直线AC的解析式．

师：本题从题设条件上看，好象很复杂，因为两个函数解析式都不知道，且给的一个点A（-1，a）坐标也不全，那么若要求m、n的值，应该从哪里入手呢？

生：应该从△AOC的面积=1，入手可能好一些.但是只知道面积不知道△AOC的底或高....

师：同学们有没有发现一次函数的图象有何特征？

生：一次函数图象经过原点,.....

一次函数是正比例函数，

师：正比例函数图象与反比例函数图象两个交点是关于原点成中心对称.

生：那么A点和B点是关于原点对称的....

现在问题都可以解决了....

师：看来对函数图象的性质理解一定要透彻.

师：一次函数与反比例函数综合题中一般都是知道一点求另一点的坐标或是

求某种函数的解析式，再或者是求相关几何图形的面积等问题. 以及比

较两个函数值的大小.

解析：小手画A点（﹣1，a），   画AB变红.

（1）由A点和B点关于原点对称，BC⊥x轴.

得到点B的横坐标为1，则OC=1.

下一步 △AOC涂蓝色

由△AOC的面积=1，得到a的值，求出A点坐标，

下一步   小手画双曲线涂红色

利用A点坐标可求出 m、n的值.

下一步  小手画直线AC涂蓝

（2）利用A点、C点求出直线AC的解析式.

答案：

（1）因为A点与B点是关于原点对称，点A的横坐标为-1，所以点B的横坐标为1，则OC=1，又△AOC的面积=1，所以高a为2，即A（-1,2）

将点A的坐标分别代人y=mx和中，解得：m=-2,n=-2.

下一步

（2）设直线AC：y=kx+b将A(-1，2),C(1，0)代人，得：

解之得：  ，所以，

师小结：正比例函数图象与反比例函数图象两个交点是关于原点成中心对称.是解决本题的关键所在.

例7. 已知：如图所示，反比例函数的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（-4，n）.分三题

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

解析：小手画 直线、曲线闪变红 标点A（点A画个点）.

把点A代入反比例函数与一次函数y=x+b求解.

答案：点A（1，4）代入反比例函数得：，即.

点A（1，4）代入一次函数y=x+b得：，即：y=x+3.

（2）求△OAB的面积；

解析：小手画直线， x轴蓝色，出点C， ，

求出直线与 x轴的交点C坐标，及点B坐标.

下一步    △OCB涂红   △OCA涂蓝

把△AOB的面积分成△OCB和△OCA求解.

答案：点B（-4，n）代入得：.即：点B（-4，-1）.

       y=x+3与 x轴的交点C坐标（-3,0）.

      △OCB的面积=3×1×=，△OCA的面积=3×4×=6.

△AOB的面积= △OCB的面积+△OCA的面积=+6=.

（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.

解析：

利用函数图象判断， 一次函数值大于反比例函数值，就看一次函数图象在反比例函数图象上方区域所对应的x的范围即可.

答案：-4＜x＜0或x＞1.

师：（1）如何求k的值？如何确定n的值？

生：运用点A的坐标即可确定k的值和n的值，进而可以解得一次函数和反比例函数解析式；

师：（2）中△AOB的面积能否直接求得？如不可以，应该怎样求解？

生：把△AOB分割成两个三角形面积之和求解，只需求出直线与x轴的交点坐标即可得；(求出直线与y轴的交点也可求得.)

师：如何确定一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围？

比较两个函数值大小时，只需求出函数图象交点的横坐标，然后根据图象上、下位置判断即可.

生：看图象来判断：-4＜x＜0或x＞1.

师：同学们自己解答，但是要注意解题的过程与格式要规范.

师小结：求不规则图形面积时一般会采用割补法求解，比较两个函数值大小时，只需求出函数图象交点的横坐标，然后根据图象上、下位置判断即可.

（选作）

如图所示，正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，反比例函数 在第一象限的图象经过顶点A(m，2)和CD边上的点E(n，)．过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G(0，﹣2)，则点F的坐标是(    )

 A.(，0)    B.(，0)     C.(，0)   D.(，0)

师：分小组完成选做题，老师巡视，给予适当提示.

提示：点A和点E在反比例函数图象上，代入联立后可求出点E 坐标.

接下来求出直线EG解析式，即可求出点F坐标.

师：找学生代表说说自己的解题思路.老师点评总结.

解析：小手画反比例函数（即图中弯的线）染红，  正方形ABCD涂浅色.

由题意得：正方形边长为2，即BC=AB=2.

因为点A和E都在反比例函数图象上，

所以： 解得：  所以E(3，).

下一步  小手直线EG涂蓝   标出点E，点G，点F（画圆点）

设直线EG：y=kx+b，将E(3，)和G(0，-2)点的坐标代人得：

，解之得：  ，所以，，

当y=0时，x=,所以F（，0），

答案： C

中考“佳”题

1.已知整数x满足-5≤x≤5，，对任意一个x，m都取 ，中的较小值，则m的最大值是（       ）

   A.     1       B.     2       C.   24      D.  -9

师：学生独立完成此题，老师指定学生讲解.

提示：可画图，分情况讨论.

解析：分两种情况讨论.

2.如图所示，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1,2,3,4,5，分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y=ax，y=(a+1)x，y=(a+2)x,相交，其中a＞0，则图中阴影部分的面积是（       ）

A.  12.5      B.   25      C.   12.5a      D.   25a

师：学生独立完成，老师可提示.

提示：根据等底等高的三角形、梯形面积相等的性质，图中阴影部分能拼成三角形.

解析：第二行阴影闪两下平移到第一行组成三角形.

根据等底等高的三角形、梯形面积相等的性质可知，图中阴影部分的面积是、、x=5三直线围成三角形的面积.

3.如图所示，把直线向上平移后得到直线AB，直线AB经过点（a,b)，且2a+b=6，则直线AB的解析式是（      ）

   A.      B.    C.      D.

师：学生独立完成此题，老师指定学生讲解.

解析：小手动画直线变红再平移到AB

由于两直线平行, 故直线AB的k=-2，

设AB所在直线的解析式为 y=-2x+m，

将点(a,b)代入,有 -2a+m=b  ① 又 2a+b=6 ②

由①+②得 m-b=6-b 解得 m=6.

故AB所在直线的解析式为 y=-2x+6.

4. 如图所示，反比例函数在第二象限的图象上有两点A、B，它们横坐标分别为－1、－3，直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（    ）

A．8      B．10       C．12       D．24

师：先求直线AB的解析式，再求点C坐标即可.

解析: 过A B分别作x轴垂线标-1 -3.   小手反比例函数涂红色.

利用反比例函数的图象求出A、B两点的坐标.

下一步

小手画直线AB 涂蓝色

      由 A、B两点求出直线AB的解析式，

下一步

      小手画 x轴与直线AB 交于点C涂色 标点C.

      求出直线AB与x轴交于点C坐标，

下一步  △AOC的面积涂色

△AOC的面积可求.

5. 如图所示，已知直线y＝－x＋2，分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y＝交于E，F两点.若AB＝2EF，则k的值是（　　）

      A.－1       B.1        C.         D.

师：先让学生尝试独立解题.

提示学生：做辅助线，求出AB  EF  FD  DE的长度，设出F点、E点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k.

解析：动画作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，

作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，

      下一步   △AOB涂色   △DEF涂色

OA=OB=2，△AOB为等腰直角三角形，△DEF为等腰直角三角形，

利用勾股定理可求AB=，EF=   FD=DE=1.

下一步   小手画反比例函数变色   直线涂色  

设F点坐标为（t，-t+2），则E点坐标为（t+1，-t+1），

根据反比例函数图象上点的坐标特征得到t（-t+2）=（t+1）•（-t+1），

求t值，确定E点坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k.

6．如图所示，直线y＝−x+2与x轴交于C，与y轴交于D，以CD为边作矩形CDAB，点A在x轴上，双曲线y＝(k＜0)经过点B与直线CD交于E，EF⊥x轴于F，则k=______；S四边形BEFC=___________．

师：先让学生尝试独立解题.

提示学生：根据D、C坐标求出A、B坐标，再求E点坐标，求出k.

           求S四边形BEFC时，将S四边形BEFC转化为求S△BEC和S△EMC.

解析：小手画直线DC，x轴，y轴涂红色，标点D、C

直线y＝−x+2与x轴交于C，与y轴交于D，求出D、C坐标，

下一步 小手直线AD AB闪两下涂色    标A、B点

又AD⊥DC且过点D，所以直线AD所在函数解析式为：y=2x+2，

即可求出点A（-1，0），同理可得B点的坐标为B（3，-2），

双曲线y＝(k＜0)经过点B，可求k.

下一步    小手画双曲线与直线DC变色  标点E

双曲线y＝与直线DC联立，求出点E坐标.

下一步  S△BEC和S△EMC涂色.

将S四边形BEFC化为求S△BEC和S△EFC，即可

7.如图所示，若双曲线与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C，D两点，且OC＝3BD，则实数的值为________．

师：学生尝试独立解题，找学生说说解题思路.

提示：设OC=3m，则BD=m，求出点C、点D含m的坐标，

利用点C、D在反比例函数图象上求出m的值.

解析：

动画

过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，

下一步     Rt△OCE  Rt△BDF  涂色  反比例函数涂色

设OC=3m，则BD=m，

在Rt△OCE中，求出点C含m坐标，在Rt△BDF中，求出点D含m的坐标.

利用点C、D在反比例函数图象上求出m的值，即可求的值.

8. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形.如图中的一次函数的图象与x，y轴分别交于点A，B， 则△OAB为此函数的坐标三角形.

(1) 求函数的坐标三角形的三条边长；                                                    

   （2）若函数（b为常数）的坐标三角形的周长为16，求此三角形的面积.

师：学生尝试独立解题.

提示第（2）问分当b>0时，当b<0时，两种情况分析.

答案：

（1）

解：

∵直线y=x+3与x轴的交点坐标为（4，0），与y轴交点坐标为（0，3），

下一步  在坐标系里面动画画图 ，标（4，0），（0，3）连接成一条直线.

三角形涂色

∴函数y=x+3的坐标三角形的三条边长分别为3，4，5.

（2）

直线y=x+b与x轴的交点坐标为（，0），与y轴交点坐标为（0，b），

下一步  在坐标系里面动画画图 ，标（，0） ，（0，b）连接成一条直线.

三角形涂色   

当b>0时，，得b=4，此时，坐标三角形面积为； 

下一步  在坐标系里面动画画图 ，标（，0） ，（0，b）连接成一条直线.

三角形涂色

当b<0时，，得b=-4，此时，坐标三角形面积为，

综上，当函数y=x+b的坐标三角形周长为16时，面积为.

9．盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．

（1）a=_______，b=________；

（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；

（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？

师：学生尝试独立解题，老师找学生说说思路.

答案：

解：

（1）a=6；b=8；

（2），

（3）设A团有n人，则B团有（50-n）人， 

分当0≤n≤10时，当n＞10时两种情况，根据（2）的函数关系式列出

方程求解即可.

10.如图所示，双曲线经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为(2，3).

（1）确定k的值；

（2）若点D(3，m)在双曲线上，求直线AD的解析式；

（3）计算△OAB的面积.

师：第（1）（2）问学生独自解决.

提示第（3）问：构造相似三角形，利用相似三角形面积之比求解.

解析：画反比例函数点A

（1）将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可；

下一步

（2）将D坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出D坐标，设直线AD解析式为y=kx+b，将A与D坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AD解析式；

下一步

（3）

过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，

下一步  三角形OCN  三角形OBM涂色

CN与BM平行，三角形OCN与三角形OBM相似，根据C为OB的中点，得到相似比为1：2，确定出三角形OCN与三角形OBM面积比为1：4，利用反比例函数k的意义确定出三角形OCN与三角形AOM面积，根据相似三角形面积之比为1：4，求出三角形AOB面积即可．

“佳”题补充（选做题）

※如图，直线：y=-x+3与两坐标轴分别相交于点A、B.

（1）当反比例函数(m＞0,x＞0)的图象在第一象限内与直线至少有一个交点时，求m的取值范围.

（2)若反比例函数(m＞0,x＞0)在第一象限内与直线相交于点C、D，当CD=时，求m的值.

（3）在（2）的条件下，请你直接写出关于x的不等式-x+3＜的解集.

师：留作课后思考题，让学生课下完成.下节课找学生说解题思路.

解析：

（1）小手画曲线与直线一个交点，

当反比例函数（m＞0，x＞0）的图象在第一象限内与直线L至少有一个交点，得，整理得：△=（-3）2-4m≥0，

解得：0＜．

（2）画曲线与直线交点C、D.标CD=

设该方程的两根是x1、x2．∴x1+x2=3，x1•x2=m，

，.

即 2（9-4m）=8，解得：

（3） 当时，解得，.

由反比例函数图象在直线上方的区域得或.

课堂小结：

（1） 一次函数图象的分布是和k和b的符号有关，在题设条件中没有给定k和b的符号，就要进行分类讨论.

①k＞0,b＞0时，图象分布在一、二、三象限，不经过第四象限；

②k＞0,b＜0时，图象分布在一、三、四象限，不经过第二象限；

③k＜0,b＞0时，图象分布在一、二、四象限，不经过第三象限；

④k＜0,b＜0时，图象分布在二、三、四象限，不经过第一象限.

（2）正比例函数图象与反比例函数图象两个交点是关于原点成中心对称.

（3）求不规则图形面积时一般会采用割补法求解.

（4）比较两个函数值大小时，只需求出函数图象交点的横坐标，然后根据图象上、下位置判断即可.