北师大版九年级上册1 反比例函数学案及答案

反比例函数

【学习目标】

1．从具体情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解。

2．经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。

3．进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象。

4．体会函数的三种表示方法的相互转化，对函数进行认识上的整合。

5．逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。

6．会用反比例函数的知识解决简单的面积问题。

7．能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题。

8．经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程培养分析问题，解决问题的能力。

【学习重难点】

1．运用待定系数法确定反比例函数解析式。

2．反比例函数的图象和性质。

3．面积问题。

4．运用反比例函数的意义和性质解决实际问题。

【学时安排】

4学时

【第一学时】

【学习过程】

一、自主预习

任务一：

1．思考下列问题。

（1）校园中要划出一块面积为84m2的矩形土地作为花圃。设这个矩形的长为x（m），宽为y（m），写出y与x之间的函数解析式_____________________。

（2）甲、乙两地相距200km，一辆汽车从甲地驶往乙地。设汽车的平均速度为v（km/h），汽车行驶的时间为t（h），写出t与v之间的函数解析式为_________。

（3）已知两个实数的乘积为-10。如果设其中的一个因数为p，另一个因数为q，写出q与p之间的函数解析式为_________________________。

2．一般地，如果两个变量、之间的关系可以表示成__________（_________，________）的形式，那么称是的反比例函数，其中______表示自变量。

3．反比例函数的自变量的取值不能为________。

任务二：

1．写出下列问题中y与x之间的函数解析式，并判断是否为反比例函数。

（1）三角形的面积为36cm2，底边长y（cm）与该底边上的高x（cm）。

（2）圆锥的体积为60cm3，它的高y（cm）与底面的面积x（cm2）。

2．某县现有人口82万，人均占有耕地面积为0.125公顷。如果该县的总耕地面积不变，

（1）写出该县人均占有耕地面积y（公顷/人）与人口总数x（人）之间的函数解析式。它是反比例函数吗？

（2）当该县人口增加到100万时，人均占有耕地面积是多少公顷？

3．已知y与x成反比例，并且当x=3时，y=7。

（1）写出y与x之间的函数解析式。

（2）当x=1时，求y的值。

（3）当y=1时，求x的值。

二、自主拓展

独立完成课本相关的挑战自我。

三、自主总结

我学会了_____________________________________________________。

我不明白的地方_______________________________________________。

【达标检测】

1．下列函数中，是反比例函数的是（    ）

A．

B．

C．

D．

2．（湘西自治州）函数是（    ）

A．一次函数

B．二次函数

C．反比例函数

D．正比例函数

3．已知某气体的质量为5kg，则其密度（kg/m3）与体积V（m3）之间的关系式为_______，是V的________函数。

4．若为反比例函数，则的值为_____________。

【第二学时】

【学习过程】

一、自主预习

画出反比例函数与的图象，回答下列问题。

1．比较两个函数图象，可以发现它们都由两支_____组成，并且当x的绝对值不断增大或接近于0时，曲线越来越接近_______，但永远不会与______相交。

2．反比例函数的图象是__________。

3．反比例函数具有如下性质：

（1）当时，图象的两个分支分别位于____________象限内，在这两个象限内，y随x的增大而______；

（2）当时，图象的两个分支分别位于____________象限内，在这两个象限内，y随x的增大而________。

4．反比例函数的图象是轴对称图形，其对称轴为____________；反比例函数的图象也是中心对称图形，其对称中心为___________。

二、自主拓展

1．已知反比例函数，分别根据下列条件求出的取值范围。

（1）函数图象位于第二、四象限；

（2）在可以取值的范围内，随的增大而减小。

2．完成课本相关的挑战自我。

三、自主总结

我学会了_____________________________________________________。

我不明白的地方_______________________________________________。

【达标检测】

1．填空。

（1）对于函数，当时，____0，此时图象在第_______象限内；对于函数，当时，_____0，此时图象在第_______象限内。

（2）函数的图象在第______象限内，在每一个象限内，y随x的增大而______。

（3）函数的图象在第______象限内，在每一个象限内，y随x的增大而_____。

2．（佛山）下列函数的图象在每一个象限内，值随值的增大而增大的是（    ）

A．

B．

C．

D．

3．（铜仁）反比例函数的大致图象是（    ）

A．            B．           C．         D．

【第三学时】

【学习过程】

一、自主预习

任务一：认真学习课本相关内容完成下列问题。

1．如下图，过双曲线上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=__________·__________=_________。

∵y=，∴xy=__________，∴S=_________。

2．在上左图中，易知S△POM=S△PON=_________。所以过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，则以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为常数_________。

3．k的几何意义：反比例函数图象上的点（x，y）具有两数之积（xy=k）为__________这一特点，则过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为常数__________。

任务二：认真学习相关内容完成下列问题。

如上右图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B。

（1）求k和b的值。

（2）求△OAB的面积。

二、自主拓展

完成课本相关的挑战自我。

三、自主总结

我学会了_____________________________________________________。

我不明白的地方_______________________________________________。

【达标检测】

1．如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=的图象上，OA＝1，OC＝6，则正方形ADEF的边长为__________。

2．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y=的图象经过点A，则k的值是（    ）

A．2

B．-2

C．4

D．-4

3．如图，M为反比例函数y=的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为__________。

4．如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4。反比例函数y=（x<0）的图象经过顶点C，则k的值为__________。

5．如图，点A、B在反比例函数y=（k>0，x>0）的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，△AOC的面积为6，则k的值为__________。

【第四学时】

【学习过程】

一、自主预习

任务一：复习回顾。

1．在下列函数表达式中，不属于反比例函数的是（    ）

A．y=-x-1

B．y=

C．y=3x

D．xy=3

2．反比例函数的图象既是______对称图形，又是______对称图形。

3．甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间y（h）表示为汽车的平均速度x（km/h）的函数，则这个函数的图象大致是（    ）

任务二：认真学习课本相关内容，独立完成下题。

小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）。

（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？

（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？

（3）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？

任务三：认真学习相关内容，独自解答下列问题。

1．药物燃烧时，y关于x的函数关系式为：________，自变量x的取值范围是：_______，药物燃烧后y关于x的函数关系式为_______。

2．研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室。

3．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

二、自主拓展

制作一种产品，需先将材料加热到60°C后，再进行操作，设该材料温度为y（°C），从加热开始计算的时间x（分），据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例函数，如上图，已知该材料加热前的温度为15°C，加热5分钟后，达到60°C。

（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；

（2）根据工艺要求，当材料温度低于15°C时，需停止操作，那么从开始加热到停止操作共经历了多少时间？

三、自主总结

写出本节课的收获和疑问：___________________________________________。

【达标检测】

1．已知甲、乙两地相s（千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a（升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y（升）与汽车的行驶速度v（千米/时）的函数图象大致是（    ）（2分）

2．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完。若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天。

（1）则y与x之间有怎样的函数关系？

（2）画函数图象。

（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？（4分）

3．一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3，如果将雨水全部排完需t分钟，排水量为am3/min，且排水时间为5～10分钟。

（1）试写出t与a的函数关系式，并指出a的取值范围。

（2）请画出函数图象。

（3）根据图象回答：当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长？（4分）