高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.4 求导法则及其应用课后测评

【优选】6.1.4 求导法则及其应用-3作业练习

一．填空题

1．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则_________.

2．若曲线存在平行于直线的切线，则的取值范围为_________．

3．

已知直线y＝2x与函数f（x）＝﹣2lnx+xex+m的图象相切，则m＝_________.

4．

已知函数，则在点处的切线的倾斜角为___________.

5．

设曲线在处的切线斜率为1，试写出满足题设的一个___________.

6．

已知直线过定点，曲线，则过点的曲线的切线方程为______．

7．

若两曲线y＝x2+1与y＝alnx+1存在公切线，则正实数a的取值范围是_________．

8．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为________

9．

已知函数，则曲线在点处的切线方程为______．

10．曲线在点处的切线方程为________．

11．

已知函数，过点作曲线的切线，则函数的切线方程为_______________________．

12．若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数______.

13．函数y＝sinx+x在x＝0处的切线方程为　　．

14．曲线在点处的切线方程为__________．

15．

已知函数对于任意，都有，且当时，.若函数恰有3个零点，则的取值范围是___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：求出函数的导函数及，再求出可得到a．b的方程，解出可得到答案.

详解：，，得①

又，由切点在，即②，

由①②得，所以，则.

故答案为：-11.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

2．【答案】

【解析】（1）设平行于直线的切线的切点为，

，解得；

（2）若切点在直线上，则，又，从而，解得或.

当时，，此时方程有两个相等的实根，曲线不存在平行于直线的切线；

当时，，此时方程有两个不等的实根，曲线仅存在一条平行于直线的切线.

综上，的取值范围为．

3．【答案】

【解析】

因为，所以

设切点为，所以切线的斜率为

又因为切线方程为y＝2x，因此，

由，得，

因为，所以，又，

所以，得.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】

因为，

所以，

所以在点切线的斜率为，

所以在点处的切线的倾斜角为.

故答案为：.

5．【答案】，为任意常数(或，，等)

【解析】

根据题意，构造指数型函数，设，

所以，显然满足.

故答案为：，C为任意常数（答案不唯一）

6．【答案】

【解析】

由，可得，

令，解得，

所以点的坐标为，显然点在曲线上，

因为，所以过点的曲线的切线的斜率为，

所以所求切线的方程为，即．

故答案为：．

7．【答案】（0，2e]

【解析】

解：设公切线与曲线y＝x2+1和y＝alnx+1的交点分别为（x1，x12+1），（x2，alnx2+1），其中x2＞0，

对于y＝x2+1，y′＝2x，所以与曲线y＝x2+1相切的切线方程为：y﹣（x12+1）＝2x1（x﹣x1），即y＝2x1x﹣x12+1，

对于y＝alnx+1，y′＝，

所以与曲线y＝alnx+1相切的切线方程为y﹣（alnx2+1）＝（x﹣x2），即y＝x﹣a+1+alnx2，

所以，即有﹣＝alnx2﹣a，

由a＞0，可得a＝4x2﹣4x2lnx，

记f(x)＝4x2﹣4x2lnx（x＞0），f′(x)＝8x﹣4x﹣8xlnx＝4x（1﹣2lnx），

当x＜时，f′(x)＞0，即f(x)在（0，）上单调递增，当x＞时，f′(x)＜0，即f(x)在（，+∞）上单调递减，

所以f(x)max＝f（）＝2e，又x→0时，f(x)→0，x→+∞时，f(x)→﹣∞，

所以0＜a≤2e．

故答案为：（0，2e]．

8．【答案】

【解析】分析：由偶函数求时的解析式，并写出导函数，进而求．，写出切线方程即可.

详解：由是偶函数，若，则有，

∴时，，而此时，即，

∴曲线在处的切线方程为，即.

故答案为：.

9．【答案】

【解析】

，∴，

∴曲线在点处的切线方程为，

即．

故答案为：．

10．【答案】

【解析】分析：由为切点利用导数求斜率，再求切线方程.

详解：为切点时，由时，斜率k=1，所以切线方程：y -1=x – 1;

故答案为：

11．【答案】

【解析】

，设切点坐标为，则，，所以切线方程为，且该直线过点，所以，得，得，所以切线方程为.

故答案为：

12．【答案】

【解析】分析：设函数图象上切点为，利用导数的几何意义求出与直线平行的切线方程，设函数的图象上的切点为，利用导数的几何意义可求出.

详解：设函数图象上切点为，

因为，所以，得，

所以，

所以切线方程为，即，

设函数的图象上的切点为，

因为，

所以，即，

又，即，

所以，即，解得或（舍），

所以.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：利用导数的几何意义求解是解题关键.

13．【答案】y＝2x

【解析】函数y＝sinx+x的导数为y′＝cosx+1，则函数y＝sinx+x在x＝0处的切线斜率为1+cos0＝2，切点为（0，0），则切线的方程为y＝x．

14．【答案】

【解析】分析：先对求导，再求出，最后利用点斜式写出切线方程,化简即可.

详解：因为,则，∴,

又，∴所求切线方程为,即，

故答案为：.

15．【答案】

【解析】

由对任意都成立，所以函数的图像关于直线对称，

先作出函数在上的图像，再作出这部分图像关于直线对称的图像，

得函数的图像，如图所示：

令，得，令，则函数的零点个数即函数的图像与函数的图像的交点个数，

因为，所以的图像关于轴对称，

且恒过定点，当函数的图像过点时，，

过点作函数的图像的切线，

设切点为处的切线方程为，

又切线过点，所以，所以切线的斜率为，

即当时，的图像与函数的图像相切，

由图可知，当且仅当时，

和恰有3个交点，即恰三个零点.

故答案为：