高中数学4.3 等比数列同步测试题

课时跟踪检测 （九）  等比数列的前n项和

1．已知等比数列{an}的公比为2，前4项和是1，则该数列的前8项和为(　　)

A．15  B.17

C．19  D.21

解析：选B　由题意得＝1，解得a1＝，所以该数列的前8项和为＝17.

2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　)

A．1  B.0

C．1或0  D.－1

解析：选A　因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1.

3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝3，S4＝15，则S3＝(　　)

A．7  B.－9

C．7或－9  D.

解析：选C　设等比数列{an}的公比为q.由题意，得S2＝a1＋a2＝3，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋q2)S2＝3(1＋q2)＝15，

解得q＝－2或2，

当q＝2时，S2＝a1＋a2＝a1(1＋q)＝3，解得a1＝1，所以S3＝7；

当q＝－2时，S2＝a1＋a2＝a1(1＋q)＝3，解得a1＝－3，所以S3＝－9.故选C.

4．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝(　　)

A．40  B.60

C．32  D.50

解析：选B　由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S9－S6＝16，S6＝12，S12－S9＝32，S12＝32＋16＋12＝60.

5．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且<1，若a3＋a5＝20，a3a5＝64，则S4＝(　　)

A．63或120  B.256

C．120  D.63

解析：选C　由题意得解得或又<1，所以数列{an}为递减数列，故设等比数列{an}的公比为q，则q2＝＝，因为数列为正项等比数列，所以q＝，从而a1＝64，所以S4＝＝120.选C.

6．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．

解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y.由等比数列前n项和性质知：＝q＝，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.

答案：80

7．在14与之间插入n个数，组成等比数列，若所有项的和为，则此数列的项数为________．

解析：设此数列的公比为q，

则⇒故此数列共有5项．

答案：5

8．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.

解析： 由题意，得

解得所以q＝＝＝2.

答案：2

9．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.

解：(1)设q(q＞0)为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，

所以{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n.

(2)由(1)及已知得an＋bn＝2n＋(2n－1)，

所以Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.

10．在等比数列{an}中，a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝a2n－1－a2n，求数列{bn}的前2n项和T2n.

解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，

则由得

解得则an＝a1qn－1＝2n－3.

(2)bn＝a2n－1－a2n＝－22n－3＝－22n－4，

故数列{bn}是首项为－，公比为4的等比数列，

故数列{bn}的前2n项和T2n＝＝

(1－42n)．

1．已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3a3，则S5＝(　　)

A．1  B.5

C.  D.

解析：选D　由题意得＝3a1q2，解得q＝－或q＝1(舍去)，所以S5＝＝＝.

2．已知数列{an}满足a1≠0，an＋1＝2an，Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝a2，则n＝(　　)

A．6  B.7

C．8  D.9

解析：选B　由于an＋1＝2an，故数列{an}是公比为2的等比数列．由Sn＝a2，得＝×2a1，解得n＝7.故选B.

3．已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)，且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝(　　)

A．1－4n  B.4n－1

C.  D.

解析：选B　因为q＝an－an－1＝－4，b1＝a2＝－3，

所以bn＝b1qn－1＝－3×(－4)n－1，

所以|bn|＝|－3×(－4)n－1|＝3×4n－1，

即{|bn|}是首项为3，公比为4的等比数列，

所以|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＝4n－1，故选B.

4．如图，一个小球从10 m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的.

(1)小球第10次落地时，经过的路程是多少米？

(2)小球第几次落地时，经过的路程为 m?

解：(1)设小球从第n－1次落地到第n次落地时经过的路程为an m，则

a1＝10，a2＝10××2，a3＝10××2，….

而且，当n≥2时，我们可以得到递推关系

an＋1＝an，a2＝.

这是一个首项为，公比为的等比数列．

因此an＝a2·n－2＝(n≥2)，且a1＝10.

所以小球第10次落地时，经过的路程为

S10＝a1＋a2＋…＋a10

＝10＋20

＝20－(m)．

(2)设小球第n次落地时，经过的路程为 m，

由于Sn＝a1＋a2＋…＋an

＝10＋20

＝20－，

因此20－＝，解得n＝4.

所以当小球第4次落地时，经过的路程为 m.

5．将数列{an}中的所有项按第一行三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a1　　a2　　a3

a4　　a5　　a6　　a7

a8　　a9　　a10　a11　　a12

…

记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知：

①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有(n＋1)bn＋1－nbn＝0；

②表中每一行的数从左到右均构成公比为q(q＞0)的等比数列；

③a66＝.

请解答以下问题：

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)求上表中第k(k∈N*)行所有项的和S(k)．

解：(1)由(n＋1)bn＋1－nbn＝0，得数列{nbn}为常数列，

故nbn＝1·b1＝1，∴bn＝.

(2)∵3＋4＋…＋11＝63，∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63项，a66在表中第十行第三列．

故a66＝b10·q2，又a66＝，b10＝，q＞0，∴q＝2，

故S(k)＝＝(2k＋2－1)．