人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列同步练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列同步练习题，共5页。试卷主要包含了下列说法中正确的是，给出下列各组等差数列的通项公式，已知等差数列{an}等内容，欢迎下载使用。
课时跟踪检测 （三）  等差数列的概念及通项公式1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为(　　)A．2  B.3C．－2  D.－3解析：选C　∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选C.2．等差数列{an}中，a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于(　　)A．50  B.49C．48  D.47解析：选A　由题得2a1＋5d＝4，将a1＝代入得，d＝，则an＝＋(n－1)．令an＝33，得n＝50，故选A.3．已知在等差数列{an}中，a2＋a9＋a12－a14＋a20－a7＝8，则a9－a3＝(　　)A．8  B.6C．4  D.3解析：选D　由题意，设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a9＋a12－a14＋a20－a7＝2a1＋20d＝2(a1＋10d)＝8，即a1＋10d＝4，所以a9－a3＝a1＋8d－(a1＋2d)＝(a1＋10d)＝3，故选D.4．下列说法中正确的是(　　)A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列解析：选C　对于A,1,2,3成等差数列，但1,4,9不成等差数列，故A错误；对于B,1,2,3成等差数列，但log21，log22，log23为0,1，log23，不成等差数列，故B错误；对于D,1,2,3成等差数列，但2,22,23不成等差数列，故D错误；C显然正确，故选C.5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差是(　　)A．－2  B.－3C．－4  D.－5解析：选C　设等差数列{an}的公差为d，∴a6＝23＋5d，a7＝23＋6d，∵数列前6项均为正数，从第7项起为负数，∴23＋5d＞0,23＋6d＜0，∴－＜d＜－.又数列是公差为整数的等差数列，∴d＝－4，故选C.6．给出下列各组等差数列的通项公式：①1,4,7，…，an＝3n－2；②21,17,13，…，an＝4n－17；③1，，－，…，an＝n＋；④1,2＋，3＋2，…，an＝(1＋)n－.其中正确的序号是________．解析：由d＝a2－a1求得公差，结合a1即可写出通项公式，验证知①④正确．②中an＝25－4n，③中an＝－n.答案：①④7．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________.解析：由an－1＋an＋1＝2an(n≥2)知，数列{an}是等差数列，∴a2，a5，a8成等差数列．∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.答案：218．已知b是a，c的等差中项，且a＞b＞c，若lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，a＋b＋c＝15，则a的值为________．解析：由题意，知解得答案：79．已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn＋r(p，q，r∈R，且p，q，r为常数)．(1)当p，q，r满足什么条件时，数列{an}是等差数列？(2)设bn＝an＋1－an，求证数列{bn}是等差数列．解：(1)欲使{an}是等差数列，则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)＋r]－(pn2＋qn＋r)＝2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0时，数列{an}是等差数列．此时q，r∈R.(2)证明：因为bn＝an＋1－an＝2pn＋p＋q，所以bn＋1－bn＝2p(n＋1)＋p＋q－2pn－p－q＝2p为常数，所以{bn}是等差数列．10．已知等差数列{an}：3,7,11,15，….(1)求{an}的通项公式．(2)135,4m＋19(m∈N*)是数列{an}中的项吗？请说明理由．(3)若am，at(m，t∈N*)是数列{an}中的项，那么2am＋3at是数列{an}中的项吗？请说明理由．解：(1)设数列{an}的公差为d.依题意，有a1＝3，d＝7－3＝4，∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1.(2)令4n－1＝135，得n＝34，∴135是数列{an}的第34项．∵4m＋19＝4(m＋5)－1，且m∈N*，∴4m＋19是数列{an}的第m＋5项．(3)∵am，at是数列{an}中的项，∴am＝4m－1，at＝4t－1，∴2am＋3at＝2(4m－1)＋3(4t－1)＝4(2m＋3t－1)－1.∵2m＋3t－1∈N*，∴2am＋3at是数列{an}的第2m＋3t－1项． 1．[多选]设数列{an}，{bn}均是公差为d(d≠0)的等差数列，则下列数列中是等差数列的是(　　)A．{man}(m为常数)  B.{a－b}C．{an－bn}  D.{anbn}解析：选ABC　等差数列{an}，{bn}的公差均为d(d≠0)，对于A，由man＋1－man＝m(an＋1－an)＝md(常数)，知数列{man}是等差数列；对于B，由(a－b)－(a－b)＝(an＋1－an)(an＋1＋an)－(bn＋1－bn)(bn＋1＋bn)＝d[2a1＋(2n－1)d]－d[2b1＋(2n－1)d]＝2d(a1－b1)为常数，知数列{a－b}是等差数列；对于C，由an＋1－bn＋1－(an－bn)＝(an＋1－an)－(bn＋1－bn)＝0为常数，知数列{an－bn}是等差数列；对于D，由an＋1bn＋1－anbn＝(an＋d)(bn＋d)－anbn＝d2＋d(an＋bn)不为常数，知数列{anbn}不是等差数列．故选A、B、C.2．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q＝(　　)A．p＋q  B.0C．－(p＋q)  D.解析：选B　法一：设数列{an}的公差为d，由ap＝q，aq＝p，得得(p－q)d＝q－p.∵p≠q，∴d＝－1，∴a1－(p－1)＝q，∴a1＝p＋q－1，∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1－(p＋q－1)＝0.故选B.法二：设数列{an}的公差为d.∵ap＝aq＋(p－q)d，∴q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d.∵p≠q，∴d＝－1.∴ap＋q＝ap＋[(p＋q)－p]d＝q－q＝0.故选B.3．下表为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列.234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137…………………… 若记第i行第j列的数为aij，则a99＝________，表中数2 019共出现________次．解析：因为记第i行第j列的数为aij，所以每一组i与j的解就对应表中的一个数．因为第1行的数组成的数列{a1j}(j＝1,2,3，…)是以2为首项，公差为1的等差数列，所以a1j＝2＋(j－1)×1＝j＋1.又第j列数组成的数列{aij}(i＝1,2,3，…)是以j＋1为首项，公差为j的等差数列，所以aij＝j＋1＋(i－1)×j＝ij＋1.所以a99＝9×9＋1＝82.令aij＝2 019，则ij＝2 018，又因为2 018的公约数为1,2,1 009,2 018，共4个，所以数字2 019在表中出现的次数为4.答案：82　44．已知等差数列8,5,2，….(1)求该数列的第20项．(2)试问－121是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由．(3)该数列共有多少项位于区间[－200,0]内？解：记该等差数列为{an}，公差为d，由a1＝8，d＝5－8＝－3，得数列的通项公式是an＝8－3(n－1)＝－3n＋11.(1)该数列的第20项a20＝－3×20＋11＝－49.(2)如果－121是这个数列的项，则方程－3n＋11＝－121有正整数解．解这个方程，得n＝44，故－121是该等差数列的第44项．(3)解不等式－200≤－3n＋11≤0，得≤n≤，因此，该数列位于区间[－200,0]内的项从第4项起直至第70项，共有67项．5．已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{0bn}．(1)求b1和b2.(2)求{bn}的通项公式．(3){bn}中的第503项是{an}中的第几项？解：(1)∵a1＝3，d＝－5，∴an＝8－5n.数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，即{bn}的通项公式为bn＝13－20n.(3)设所求为{an}的第m项，则m＝503×4－1＝2 011，即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项．