高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时同步测试题

4.3.2　等比数列的前n项和公式

第1课时　等比数列的前n项和

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.已知数列{an}的通项公式是an=2n,Sn是数列{an}的前n项和,则S10等于(　　)

A.10 B.210

C.a10-2 D.211-2

答案D

解析∵=2,∴数列{an}是公比为2的等比数列,且a1=2.∴S10==211-2.

2.在等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为 (　　)

A.81 B.120

C.168 D.192

答案B

解析设公比为q,则=27=q3,所以q=3,a1==3,S4==120.

3.已知等比数列{an}的公比q=-2,前6项和S6=21,则a6=(　　)

A.-32 B.-16

C.16 D.32

答案D

解析因为q=-2,S6=21,则有S6==-21a1=21,

即a1=-1,所以a6=a1q5=(-1)×(-2)5=32.

4.在14与之间插入n个数组成一个等比数列,若各项总和为,则此数列的项数为(　　)

A.4 B.5

C.6 D.7

答案B

解析设公比为q,a1=14,an+2=,则Sn+2=,

解得q=-.所以an+2=14·,

解得n=3.故该数列共5项.

5.(2021四川乐山高三调研)在各项均为正数的等比数列{an}中,a2=4,a6=64,前n项和Sn=510,则n= (　　)

A.6 B.7

C.8 D.9

答案C

解析由题意知q4==16且q>0,则q=2,a1=2,

∴Sn==510,解得n=8.

6.(多选)(2021湖南衡阳高二期末)“一尺之棰,日取其半,万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》,其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半,永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺,第二天被截取剩下的一半剩下a2尺……第六天被截取剩下的一半剩下a6尺,则(　　)

A.a6= 

B.=8

C.a5+a6= 

D.a1+a2+…+a6=

答案BD

解析依题意可知,a1,a2,a3,…成等比数列,且首项与公比均为,

则a6=6==8,a5+a6=,a1+a2+…+a6=.

故选BD.

7.在等比数列{an}中,设前n项和为Sn,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=　　　　. 

答案3

解析因为a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减,得a4-a3=2a3,即a4=3a3,所以q==3.

8.已知等比数列{an}是递减数列,Sn是{an}的前n项和,若a1,a2是方程2x2-3x+1=0的两个根,则公比q=　　　　　,S5=　　　　　. 

答案

解析∵a1,a2是方程2x2-3x+1=0的两根,且等比数列{an}是递减数列,∴a1=1,a2=,则公比q=,

∴S5=.

9.已知等比数列{an}满足a3=12,a8=,记其前n项和为Sn.

(1)求数列{an}的通项公式an;

(2)若Sn=93,求n.

解(1)设等比数列{an}的公比为q,

则解得

所以an=a1qn-1=48·.

(2)Sn==96.

由Sn=93,得961-=93,解得n=5.

10.已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,方程ax2-3x+2=0的解为1和b(b≠1).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{an}满足bn=an·2n,求数列{bn}的前n项和Tn.

解(1)因为方程ax2-3x+2=0的两根为x1=1,x2=b,

可得解得所以an=2n-1.

(2)由(1)得bn=(2n-1)·2n,

所以Tn=b1+b2+…+bn=1×2+3×22+…+(2n-1)·2n, ①

2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1, ②

由①-②,得-Tn=1×2+2×22+2×23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1=2(2+22+23+…+2n)-(2n-1)·2n+1-2=2·-(2n-1)·2n+1-2=(3-2n)·2n+1-6.所以Tn=(2n-3)·2n+1+6.

关键能力提升练

11.(2021陕西宝鸡高二期中)在等比数列{an}中,an=3×2n-1,则a1+a3+…+a2k-1=(　　)

A.4k-1 B.3(2k-1)

C.2(4k-1) D.3(4k-1)

答案A

解析∵{an}是首项为3,公比为2的等比数列,

∴{a2k-1}是首项为3,公比为4的等比数列,

∴a1+a3+…+a2k-1==4k-1.

12.(2021内蒙古包头高三期末)已知等比数列{an}的各项均不相等,且满足a2+2a1=6,=2a6,则该数列的前4项的和为(　　)

A.120 B.-120

C.22.5 D.-22.5

答案A

解析设{an}的公比为q,由题意得解得

又数列{an}的各项均不相等,所以

所以a1+a2+a3+a4=-6+18-54+162=120.

13.在等比数列{an}中,a4=3a3,则+…+=(　　)

A. B.

C. D.

答案D

解析设等比数列{an}的公比为q.∵a4=3a3,∴q=3.

∴+…+=q+q2+q3+…+qn=.

14.在等比数列{an}中,a1+a2+…+a5=27,+…+=3,则a3=(　　)

A.±9 B.9

C.±3 D.3

答案C

解析(方法1)设等比数列的公比为q,则由已知可得

两式相除,得q4=9,即=9,所以a3=±3.

(方法2)设等比数列的公比为q,则a1+a2+a3+a4+a5=+a3+a3q+a3q2=a3+1+q+q2=27,

q2+q+1+=3,

两式相除可得=9,因此a3=±3.

15.(多选)已知等比数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,若a2+a4=10,a2a3a4=64,则(　　)

A.Sn+1-Sn=2n+1 B.an=2n-1

C.Sn=2n-1 D.Sn=2n-1-1

答案BC

解析设等比数列{an}的公比为q(q≠0),由a2a3a4=64,得=43,则a3=4,由a2+a4=10,得+4q=10,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.又因为数列{an}是递增数列,所以q=2,所以2a1+8a1=10,解得a1=1.

所以an=2n-1,Sn==2n-1,所以Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n.故选BC.

16.(多选)(2020江苏启东中学高二开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-2,若存在两项am,an,使得aman=64,则(　　)

A.数列{an}为等差数列

B.数列{an}为等比数列

C.+…+

D.m+n为定值

答案BD

解析由题意,当n=1时,S1=2a1-2,解得a1=2,

当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,所以Sn-Sn-1=an=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1,

所以=2,所以数列{an}是以首项a1=2,公比q=2的等比数列,an=2n,故选项A错误,选项B正确;

数列{}是以首项=4,公比q1=4的等比数列,

所以+…+,故选项C错误;

aman=2m2n=2m+n=64=26,所以m+n=6为定值,故选项D正确.

故选BD.

17.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=2S2,则数列{an}的公比q=　　　　　. 

答案±1

解析由S4=2S2,得a3+a4=q2(a1+a2)=a1+a2,故a1+a2=0或q2=1.若a1+a2=0,则q=-1,若q2=1,则q=±1.

18.如果若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”,已知数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是数列{an}的前n项和.在下列关于{an}的三组量中,一定能成为数列{an}的“基本量”的是　　　　　　　　　　.(写出所有符合要求的序号) 

①S1与a3;②S2与S3;③q与S3.

答案③

解析①S1=a1,因为a3=a1q2,可以确定q2,q有两个值,不唯一;

②若q=1,则可唯一确定,若q不为1,S2=a1+a2=,S3=a1+a2+a3=,

由,得到关于q的一元二次方程,无法具体确定q;

③已知q,代入S3=可求出a1,所以唯一确定了数列.

19.若等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3+S6=2S9,则公比q等于　　　　　. 

答案-

解析若q=1,S3+S6=3a1+6a1=9a1≠2S9.

∴q≠1,∴,

即 2q9-q6-q3=0,∴q3(2q6-q3-1)=0.

∵q≠0,∴2q6-q3-1=0,∴(q3-1)(2q3+1)=0,

∴q3=-或q3=1(舍),∴q=-.

20.(2021湖南长沙高二期末)条件①:设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+k(n∈N*,k∈R),a1=1.

条件②:对∀n∈N*,有=q>1(q为常数),a3=4,并且a2-1,a3,a4-1成等差数列.

在以上两个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并作答.

在数列{an}中,　　　　　　. 

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记Tn=a1+2a2+3a3+…+nan,求T10的值.

解(1)选条件①,由S1=2+k=a1=1,得k=-1,

∴Sn=2n-1.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,

a1=1符合上式,

∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.

选条件②,由=q知数列{an}是公比为q的等比数列,

则a2=,a4=a3q=4q,由2a3=a2-1+a4-1,

得8=+4q-2,解得q=2或q=(舍去).

∴a1==1,∴an=2n-1.

(2)T10=1+2×2+3×22+4×23+…+10×29,

∴2T10=2+2×22+3×23+4×24+…+9×29+10×210,

两式相减,得-T10=1+2+22+23+…+29-10×210=-10×210.

∴T10=9×210+1.

学科素养创新练

21.(2021安徽亳州高二期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q>0,a1=1,a12=9a10,要使数列{λ+Sn}为等比数列,则实数λ的值为(　　)

A. B.

C.2 D.不存在

答案B

解析由公比q>0,a12=9a10可得q=3,而a1=1,

∴Sn=.

若数列{λ+Sn}为等比数列,则有(λ+S2)2=(λ+S1)(λ+S3),

即(λ+4)2=(λ+1)(λ+13),解得λ=,

于是λ+Sn=×3n,而=3,

故当λ=时,数列{λ+Sn}为等比数列.

22.(2021东北三省四市教研联合体高三模拟)5G是第五代移动通信技术的简称,其意义在于万物互联,即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中,它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信,将给社会生活与生产方式带来巨大的变化.目前我国最高的5G基站海拔6 500米.从全国范围看,中国5G发展进入了全面加速阶段,基站建设进度超过预期.现有8个工程队共承建10万个基站,从第二个工程队开始,每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少,则第一个工程队承建的基站数(单位:万)约为(　　)

A. B.

C. D.

答案B

解析设第一个工程队承建的基站数为a1万个,因为从第二个工程队开始,每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少,所以a2=a1,a3=a2,…

即数列{an}是以为公比的等比数列,设其前n项和为Sn,

所以S8=a1+a2+…+a8==10,解得a1=.

故选B.