人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线精品当堂检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线精品当堂检测题，共6页。试卷主要包含了抛物线y2＝－8x的焦点坐标是，若动点P与定点F和直线l，故选D等内容，欢迎下载使用。

基 础 练


巩固新知 夯实基础


1．在平面内，“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不充分也不必要条件


2.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )


A.(2，0) B.(－2，0)C.(4，0) D.(－4，0)


3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为( )


A．－2 B．2 C．－4D．4


4.顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )


A.x2＝±3y B.y2＝±6xC.x2＝±12y D.x2＝±6y


5．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )


A．－eq \f(4,3) B．－1 C．－eq \f(3,4)D．－eq \f(1,2)


6.若抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为________.





7.若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝________；准线方程是________.





8.如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.


(1)求抛物线的方程；


(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．














能 力 练


综合应用 核心素养


9．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )


A．2eq \r(3) B．4 C．6D．4eq \r(3)


10.如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2eq \r(3) km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)( )


A．(2＋eq \r(3))aB．2(eq \r(3)＋1)a


C．5aD．6a


11.若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )


A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.直线


12.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )


A.eq \f(3,4) B.1 C.eq \f(5,4) D.eq \f(7,4)


13.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0＝( )


A.4 B.2C.1 D.8


14．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若eq \(FA,\s\up8(→))＋eq \(FB,\s\up8(→))＋eq \(FC,\s\up8(→))＝0，则|eq \(FA,\s\up8(→))|＋|eq \(FB,\s\up8(→))|＋|eq \(FC,\s\up8(→))|＝________.


15.以椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为______________.


16.已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________.


17.如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，准线为l，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标.











18.已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1).


(1)求抛物线C的方程及其准线方程.


(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.





【参考答案】


1. B [当定点在定直线上时，其动点轨迹不是抛物线，反过来抛物线上的点满足到焦点的距离等于到准线的距离，故应选B.]


2. B 解析 ∵y2＝－8x，∴p＝4，∴焦点坐标为(－2，0).


3. D [y2＝2px的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，而椭圆的右焦点为(2,0)，由eq \f(p,2)＝2得p＝4.故选D.]


4. C 解析 ∵顶点与焦点的距离等于3，∴2p＝12，又∵对称轴是y轴，∴抛物线的方程为x2＝±12y.


5. C [抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2,0)．从而kAF＝eq \f(3－0,－2－2)＝－eq \f(3,4).]


6. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,16)，0)) 解析 方程化为y2＝－eq \f(7,4)x，抛物线开口向左，2p＝eq \f(7,4)，eq \f(p,2)＝eq \f(7,16)，故焦点坐标为


7. 2 x＝－1解析 由y2＝2px得焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，∴eq \f(p,2)＝1⇒p＝2，准线方程x＝－1.


8. [解] (1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，于是4＋eq \f(p,2)＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.


(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．


又F(1,0)，所以kAF＝eq \f(4,3)，则FA的方程为y＝eq \f(4,3)(x－1)．因为MN⊥FA，所以kMN＝－eq \f(3,4)，


则MN的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋2.解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(3,4)x＋2，,y＝\f(4,3)x－1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(4,5)，))所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(4,5))).


D [如图，∵△FPM是等边三角形，∴由抛物线的定义知PM⊥l.在Rt△MQF中，|QF|＝2，∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，∴S△PMF＝eq \f(\r(3),4)×42＝4eq \r(3).故选D.]


C [依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2eq \r(3) km处，


∴B到点A的水平距离为3(km)，∴B到直线l距离为：3＋2＝5(km)，


那么修建这两条公路的总费用最低为：5a(万元)，故选C.]


11. D 解析 方法一 设动点P的坐标为(x，y).则eq \r(（x－1）2＋（y－1）2)＝eq \f(|3x＋y－4|,\r(10)).


整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.所以动点P的轨迹为直线.


方法二 显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.


12.C 解析 ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋eq \f(1,2)＝3，∴xA＋xB＝eq \f(5,2).∴线段AB的中点到y轴的距离为eq \f(xA＋xB,2)＝eq \f(5,4).


C 解析 如图，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，过A作AA′⊥准线l，∴|AF|＝|AA′|，∴eq \f(5,4)x0＝x0＋eq \f(p,2)＝x0＋eq \f(1,4)，∴x0＝1.


14. 6 [因为eq \(FA,\s\up8(→))＋eq \(FB,\s\up8(→))＋eq \(FC,\s\up8(→))＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以|eq \(FA,\s\up8(→))|＋|eq \(FB,\s\up8(→))|＋|eq \(FC,\s\up8(→))|＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.


15.y2＝4eq \r(2)x 解析 由eq \f(x2,3)＋y2＝1得，右焦点为(eq \r(2)，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝4eq \r(2)x.


16. y2＝12x 解析 设动点M(x，y)，设圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A(3，0)和定直线l：x＝－3的距离相等，且点A不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，∴eq \f(p,2)＝3，∴p＝6.∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.


17.解 如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，


抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题.


将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±eq \r(6).


∵eq \r(6)>2，∴A在抛物线内部.


设抛物线上动点P到准线l：x＝－eq \f(1,2)的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为eq \f(7,2)，即|PA|＋|PF|的最小值为eq \f(7,2)，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.


∴点P坐标为(2，2).


18.(1)解 由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)得p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.


(2)证明 抛物线C的焦点为F(0，－1).设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0).


由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2＝－4y))得x2＋4kx－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.直线OM的方程为y＝eq \f(y1,x1)x.


令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－eq \f(x1,y1)，同理得B的横坐标xB＝－eq \f(x2,y2).


设点D(0，n)，则eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x1,y1)，－1－n))，eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x2,y2)，－1－n))，


eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(x1x2,y1y2)＋(n＋1)2＝eq \f(x1x2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(xeq \\al(2,1),4)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(xeq \\al(2,2),4))))＋(n＋1)2＝eq \f(16,x1x2)＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.


令eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3.


综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3).