2021学年3.3 抛物线当堂检测题

3.3　抛物线

3.3.1　抛物线及其标准方程

基础过关练

题组一　抛物线的定义及其应用

1.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　)

A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线

2.在平面直角坐标系内,到点(1,1)和到直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是(　　)

A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线

3.在平面内,“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又已知点A(2,2)是一个定点,则|PA|+|PF|的最小值是(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

5.(2020河北保定高二期末)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0等于(　　)

A.4 B.2 C.1 D.8

题组二　抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程

6.抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为(　　)

A. B.1 C.2 D.3

7.抛物线y=4x2的焦点坐标是(　　)

A.(0,1) B.(1,0) C. D.

8.已知抛物线的焦点为F(a,0)(a<0),则抛物线的标准方程是(　　)

A.y2=2ax B.y2=4ax

C.y2=-2ax D.y2=-4ax

9.经过点(2,4)的抛物线的标准方程为(　　)

A.y2=8x B.x2=y

C.y2=8x或x2=y D.无法确定

10.以坐标轴为对称轴,焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程为(　　)

A.x2=16y或y2=12x B.y2=16x或x2=12y

C.y2=16x或x2=-12y D.x2=16y或y2=-12x

11.抛物线y2=6x的准线方程为　　　　　　　. 

12.(2020北京通州高二上期末)已知抛物线的顶点在原点,准线方程为y=-2,那么该抛物线的标准方程是　　　　. 

题组三　抛物线的综合运用

13.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中)双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为4,一个顶点是抛物线y2=4x的焦点,则双曲线的离心率等于(　　)

A.2 B. C. D.

14.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=3p,则|PQ|等于(　　)

A.4p B.5p C.6p D.8p

15.如图,已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=(　　)

A.2∶ B.1∶2 C.1∶ D.1∶3

16.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线C:-y2=1的焦距为　　　　.若双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px (p>0)的焦点重合,则实数p的值为 　　　　. 

17.已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).

(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标;

(2)求点P到点B的距离与到直线x=-的距离之和的最小值.

能力提升练

题组一　抛物线的定义及其应用

1.(2020山东潍坊高二上期末,)已知抛物线y2=4x,F为其焦点,抛物线上两点A、B满足|AF|+|BF|=8,则线段AB的中点到y轴的距离等于(　　)

A.2 B.3 C.4 D.6

2.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中,)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线C的准线与y轴交于点A,点M(1,y0)在抛物线C上,|MF|=,则tan∠FAM=(　　)

A. B. C. D.

3.(2020四川成都高二上期末,)设点A(4,5),抛物线x2=8y的焦点为F,P为抛物线上与直线AF不共线的一点,则△PAF周长的最小值为(　　)

A.18 B.13 C.12 D.7

4.(2020天津耀华中学高二上期末,)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点,分别过A,B作l的垂线,垂足为C,D.若|AF|=3|BF|,且三角形CDF的面积为,则p的值为(　　)

A. B. C. D.

5.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)已知动圆P与定圆C:(x+2)2+y2=1外切,又与定直线l:x=1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是　　　　. 

题组二　抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程

6.()设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的标准方程为(　　)

A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x

7.()探照灯反射镜(如图)的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60 cm,灯深40 cm,求抛物线的标准方程和焦点坐标.

8.(2020辽宁凌源联合校高二上期中,)求满足下列条件的曲线的标准方程:

(1)长半轴长a=10,离心率e=,焦点在x轴上的椭圆的标准方程;

(2)顶点在原点,对称轴是坐标轴,且焦点在直线x-y+2=0上的抛物线的标准方程.

题组三　抛物线的综合运用

9.(2020广东惠州高二上期末,)定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,点M为线段AB的中点,则点M到y轴的最短距离为(　　)

A. B.1 C. D.2

10.(2020海南海口海南中学高二上期中,)点P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到点A(0,-1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值是(　　)

A. B. C.2 D.

11.()已知点E是抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线的交点,点F为抛物线C的焦点,点P在抛物线C上.在△EFP中,若sin∠EFP=t·sin∠FEP,则t的最大值为(　　)

A. B. C. D.

12.(2019重庆十一中高二期中,)已知抛物线方程为y2=-4x,直线l的方程为2x+y-4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,到直线l的距离为n,则m+n的最小值为　　　　.  

13.()河上有一抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶5 m时,水面宽为8 m,一小船宽4 m,高2 m,载货后船露出水面的部分高0.75 m,问:水面上涨到与拱桥拱顶相距多少时,小船不能继续通航?

答案全解全析

基础过关练

1.D　如图,设点P为满足条件的一点,由题意可得点P到点A的距离等于点P到y轴的距离,所以点P在以点A为焦点,y轴为准线的抛物线上,故点P的轨迹为抛物线,故选D.

2.A　经过验证,点(1,1)在直线x+2y=3上,所以满足条件的点的轨迹是直线.故选A.

3.B　当定点在定直线上时,点P的轨迹是过该定点且与定直线垂直的直线;若点P的轨迹为抛物线,由抛物线的定义知点P到某定点的距离等于其到某定直线的距离.故选B.

4.B　根据抛物线方程y2=4x,

可得F(1,0),则准线l的方程为x=-1,

作PM⊥l,M为垂足,

则由抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|,

所以当A,P,M三点共线时,|PA|+|PM|取得最小值,且|AM|min=2-(-1)=3,

所以|PA|+|PF|的最小值是3,故选B.

5.C　如图,易知F,准线l的方程为x=-.

过A作AA'⊥l,垂足为A',则|AF|=|AA'|,

即x0=x0+=x0+,∴x0=1.

6.B　由题意得,焦点坐标为,准线方程为x=- ,故焦点到准线的距离为1.故选B.

7.C　抛物线方程可化为x2=y,因此,抛物线开口向上,焦点坐标为.故选C.

8.B　因为抛物线的焦点为F(a,0)(a<0),所以抛物线的标准方程为y2=4ax,故选B.

9.C　由题设知抛物线开口向右或开口向上,设其方程为y2=2p1x(p1>0)或x2=2p2y(p2>0),将(2,4)代入可得p1=4或p2=,所以所求抛物线的标准方程为y2=8x或x2=y,故选C.

10.C　直线3x-4y-12=0与x轴,y轴的交点分别是(4,0),(0,-3),所以所求抛物线的焦点为(4,0)或(0,-3),因此,所求抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-12y.

11.答案　x=-

解析　因为抛物线的焦点在x轴上,且2p=6,所以其准线方程为x=-.

12.答案　 x2=8y

解析　依题意设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),

则抛物线的准线方程为y=-,因此-=-2,解得p=4,∴抛物线的标准方程为x2=8y.

13.A　因为双曲线的焦距为4,所以c=2,

易知抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以a=1,因此离心率为=2,故选A.

14.A　设焦点为F,则|PQ|=|PF|+|QF|=+=x1+x2+p,

∵x1+x2=3p,

∴|PQ|=4p.

15.C　易知抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),∴抛物线的准线方程l:y=-1,又∵点A的坐标为(2,0),∴直线AF的斜率k==-.如图,过点M作MG⊥l于点G,根据抛物线的定义知|FM|=|MG|.

在Rt△MNG中,易知tan ∠MNG=-k=,

∴=,即|NG|=2|MG|,

∴|MN|==|MG|,

∴|FM|∶|MN|=1∶.故选C.

16.答案　4;4

解析　在双曲线C:-y2=1中,a2=3,b2=1,∴c2=a2+b2=4,即c=2,因此焦距2c=4.∵双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,∴在抛物线y2=2px(p>0)中,=c⇒p=4.

17.解析　(1)将x=3代入y2=2x,得y=±.

∵>2,∴点A在抛物线的内部.

过点P作PQ垂直抛物线的准线l:x=-,垂足为Q,

结合抛物线的定义,知|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|,

当P,A,Q三点共线时,|PA|+|PQ|的值最小,最小值为,

即|PA|+|PF|的最小值为.

此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,∴点P的坐标为(2,2).

(2)易知点B在抛物线的外部.设点P到准线l:x=-的距离为d.

结合抛物线的定义,得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,当且仅当B,P,F三点共线(P在线段BF上)时取等号.

又|BF|==2,

∴所求距离之和的最小值为2.

能力提升练

1.B　设线段AB的中点为M,如图所示,l是抛物线的准线,过A点作AA1⊥l于A1点,过M点作MM1⊥l于M1点,交y轴于N点,过B点作BB1⊥l于B1点,∵|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,∴|AA1|+|BB1|=8.

由点M是线段AB的中点知,

|MM1|=(|AA1|+|BB1|)=4.

∵2p=4,∴p=2.

因此|M1N|=1,

∴|MN|=3,故选B.

2.D　过M向抛物线的准线作垂线,垂足为N,则|MN|=y0+=,故y0=2p.

又M(1,y0)在抛物线上,故y0=,于是2p=,解得p=,∴|MN|==,

∴tan∠FAM=tan∠AMN==.

故选D.

3.C　由题意得抛物线的焦点F(0,2),准线方程为y=-2,过P作PP1垂直于准线,交准线于P1,过A作AA1垂直于准线,交准线于A1,如图所示,

根据抛物线的定义可知|PF|=|PP1|,

∵A(4,5),∴|AF|==5,

|AA1|=5-(-2)=7,

C△PAF=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PP1|≥|AF|+|AA1|=5+7=12,故选C.

4.C　如图所示,过点B作BM⊥AC于点M,设|BD|=x,则|AC|=3x,从而p=x,

∴|AM|=2x,|AB|=4x,

因此,|BM|=2x,

∴S△CDF=|CD|·p=|BM|·p

=×2x·p=×2×p2=,

∴p2=,

解得p=(负值舍去),故选C.

5.答案　 y2=-8x

解析　如图所示,设点P到直线l的距离为d,则|PC|=d+1,设P(x,y),

则=|x-1|+1.

由图形知,x≤1,∴x-1≤0.

因此,=2-x.

化简得,y2=-8x.

6.C　因为抛物线C的方程为y2=2px(p>0),所以焦点F,设M(x,y),由抛物线的定义,知|MF|=x+=5,解得x=5-.因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式,可得圆心的横坐标为,圆的半径也为,故该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心的纵坐标为2,则点M的纵坐标为4,即M,代入抛物线方程,得p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,所以抛物线C的标准方程为y2=4x或y2=16x.故选C.

7.解析　如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系,使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x轴垂直于灯口直径.

设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),由已知条件可得点A的坐标是(40,30),且在抛物线上,代入方程,得302=2p·40,解得p=.

故所求抛物线的标准方程为y2=x,焦点坐标是.

8.解析　(1)由a=10,e=,得c=6,所以b2=a2-c2=100-36=64,

故所求椭圆的标准方程为+=1.

(2)直线x-y+2=0与坐标轴的交点坐标分别是(-2,0),(0,2),

当焦点坐标为(-2,0)时,设抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0),则p1=-4,此时抛物线的标准方程是y2=-8x.

当焦点坐标为(0,2)时,设抛物线的标准方程为x2=2p2y(p2>0),则p2=4,此时抛物线的标准方程为x2=8y.

综上,顶点在原点,对称轴是坐标轴,且焦点在直线x-y+2=0上的抛物线的标准方程是y2=-8x或x2=8y.

9.B　如图所示,抛物线y2=2x的准线为l:x=-,过A、B、M分别作AA'、BB'、MM'垂直于l,垂足分别为A'、B'、M'.由抛物线定义知|AA'|=|FA|,|BB'|=|FB|.

由点M为线段AB的中点及梯形中位线定理得|MM'|=(|AA'|+|BB'|)=(|FA|+|FB|)≥|AB|=×3=,

则M到y轴的距离d≥-=1(当且仅当线段AB过抛物线的焦点时取“=”),

所以dmin=1,即点M到y轴的最短距离为1.故选B.

10.D　由y2=4x得抛物线的焦点为F(1,0),准线为l:x=-1.如图,作PP'⊥l于点P',所以P到直线x=-1的距离|PP'|等于|FP|.连接AF交抛物线于点Q,由图形知,当点P在点Q时,点P到点A的距离与点P到直线x=-1的距离之和最小,最小值为=,故选D.

11.A　由题意得,准线l:x=-,E,F,

假设点P在x轴上方,过点P作PH⊥l,垂足为H,则由抛物线定义可知|PH|=|PF|,

于是t=====,

∵y=cos x在(0,π)上为减函数,

∴当∠PEF取到最大值时(此时直线PE与抛物线相切),cos∠PEF取最小值,计算可得直线PE的斜率为1,从而∠PEF=45°,∴tmax==.

12.答案　-1

解析　易知抛物线的焦点F(-1,0),准线方程为x=1.如图,过A作AH⊥l,AN垂直于抛物线的准线,H,N为垂足,

则|AH|+|AN|=m+n+1,

连接AF,则|AF|+|AH|=m+n+1,

由平面几何知识知,当A,F,H三点共线时,|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值,最小值为点F到直线l的距离,即=,

所以m+n的最小值为-1.

13.解析　如图,以拱桥的拱顶为原点,过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系.

设抛物线方程为x2=-2py(p>0),

由题意可知,点B(4,-5)在抛物线上,

故p=,得x2=-y.

当船面两侧和抛物线接触时,船不能继续通航,

设此时船面宽为|AA'|,则A(2,yA)(yA<0),

由22=-yA,得yA=-.

又知船露出水面的部分高为0.75 m,

所以h=|yA|+0.75=2(m).

所以水面上涨到与拱桥拱顶相距2 m时,小船开始不能通航.