高中数学2.2 换底公式学案设计

第2课时　换底公式及对数运算的应用

课前篇·自主梳理知识

【主题1】　换底公式

1．换底公式

一般地，若a>0，b>0，c>0，且a≠1，c≠1，则

logab＝________.

这个结论称为对数的换底公式．证明过程如下：

设x＝logab，根据对数的定义，有ax＝b.

两边取以c为底数的对数，得xlogca＝logcb.

因为a≠1，即logca≠0，所以x＝，

即logab＝.

2．三个较为常用的推论

若a>0，b>0，c>0，且a≠1，b≠1，c≠1，则有：

(1)logab·logbc·logca＝________；

(2)logab＝________；

(3)logambn＝________.

答案：

1.

2．(1)1　(2)　(3)logab

【主题2】　对数运算的应用

1．利用对数的运算性质化简求值

(1)对于同底数的对数式，化简的常用方法是：

①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；

②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差)．

(2)对常用对数的化简要创设情境，要充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．

(3)对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简．

(4)当真数是形如“±”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”．

2．换底公式在对数运算中的应用

(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义．

(2)换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算或证明．

(3)换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底数，要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数．

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)logab＝＝.(　　)

(2)log52＝.(　　)

(3)logab·logbc＝logac.(　　)

答案：

(1)√　解析：底数可以是10或e.

(2)　解析：底数不能是负数．

(3)√　解析：logab·logbc＝·＝＝logac.

2.的值为(　　)

A．　　　　B．2　　　　C．　　　　D．

答案：B　

解析：＝log39＝2.

3．若ea＝2，eb＝3，则log23等于(　　)

A．a＋b        B．b－a

C．    D．

答案：D　

解析：因为ea＝2，eb＝3，所以ln 2＝a，ln 3＝b，所以log23＝＝.

4．计算：log279＝________.

答案：　

解析：log279＝＝＝.

5．log23·log34·log42＝________.

答案：1　

解析：log23·log34·log42＝··＝1.

课堂篇·重难要点突破

研习1  对数的运算及换底公式

[典例1]　计算：

(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)

[审题路线图]换底公式⇒化简求值．

解：解法一：

原式＝＝＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.

解法二：

原式＝

＝

＝＝13.

解法三：

原式＝(log2153＋log2252＋log2351)(log512＋log5222＋log5323)

＝(log52＋log52＋log52)

＝3×log25·log52＝3×＝13.

利用换底公式进行化简求值的原则和技巧

(1)原则：化异底为同底．

(2)技巧：①借助运算性质，先利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底；

②借助换底公式一次性统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值；

③利用对数恒等式或常见结论，有时可熟记一些常见结论，这样能够提高解题效率．

提醒：熟练应用换底公式的结论：(1)logab＝；

(2)logambn＝logab，可达到事半功倍的效果．

[练习1]计算：

(1)(log32＋log92)(log43＋log83)＝________；

(2)log2＋log927＋4log413＝________.

答案：(1)　(2)15

解析：(1)(log32＋log92)(log43＋log83)

＝(log32＋log322)(log223＋log233)

＝log32×log23＝.

(2)log2＋log927＋4 log413＝＋log3233＋13＝15.

研习2 　对数运算的应用

[典例2]　设3a＝4b＝36，则＋＝________.

[审题路线图]分析条件利用换底公式化简⇒利用对数的运算性质求值．

答案：1　

解析：由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，

∴＝log363，＝log364.

∴＋＝2log363＋log364

＝log369＋log364

＝log3636

＝1.

[延伸探究]　(1)本例条件变为已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.

(2)本例条件变为已知3a＝5b＝M，且＋＝2，求M的值．

(1)解：令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，

所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，

所以＝logk2，＝logk3，＝logk5，

由＋＋＝1，

得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，

所以k＝30，

所以x＝log230＝1＋log215，

y＝log330＝1＋log310，

z＝log530＝1＋log56.

(2)解：由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，

故＋＝logM3＋logM5＝logM15＝2，

所以M＝.

应用对数的运算性质解对数方程的三种方法

(1)定义法：解形如b＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的方程时，常借助对数的定义将其等价转化为f(x)＝ab求解．

(2)转化法：适合于同底型，即通过对数的运算把形如logaf(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的方程，等价转化为f(x)＝g(x)，且求解．

(3)换元法：适用于f(logax)＝0(a>0，且a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解．

[练习2](1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．

(2)方程lg x2－lg(x＋3)＝lg a(a＞0)在区间(3,4)内有解，则a的取值范围为________．

(1)答案：x＝

解析：∵log2(x－1)＝2－log2(x＋1)，

∴log2(x2－1)＝2，

∴x2－1＝4，

∴x＝±.

经检验x＝－是增根，舍去．

∴方程的解为x＝.

(2)答案：　

解析：∵lg x2－lg(x＋3)＝lg a在(3,4)内有解，

整理得lg＝lg a，

∴x2－ax－3a＝0在(3,4)内有解．

设f(x)＝x2－ax－3a.

该函数恒过点(0，－3a)，

∴f(x)在(3,4)内只有一解．

故只需

∴<a<.

研习3  　换底公式的实际应用

[典例3]　截止到2010年底，我国人口约14亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么大约经过多少年，我国人口数翻一番(精确到个位)？(lg 2≈0.301 0，lg 1.01≈0.004 3，lg 14≈1.146 1，lg 15≈1.176 1)

[审题路线图]分析题意列出函数关系式⇒利用换底公式求解．

解：设经过x年后，我国人口数为y亿，

则y＝14(1＋1%)x，

由于人口数翻一番是原来的2倍，

依题意，得(1＋1%)x＝2，

1．01x＝2，x＝log1.012，

由换底公式，得x＝≈＝70(年)．

答：大约经过70年，我国人口数翻一番．

[延伸探究]　(1)本例条件变为：若人口年平均增长率控制在2%，那么大约经过多少年，我国人口数翻一番(精确到个位)? (lg 2≈0.301 0，lg 1.02≈0.008 6)

(2)本例条件不变，那么大约经过多少年，我国人口数达到15亿？

(1)解：设经过x年后，我国人口数为y亿，则y＝14(1＋2%)x，

由于人口数翻一番是原来的2倍，依题意，得

(1＋2%)x＝2，

1．02x＝2，x＝log1.022，

由换底公式，得x＝≈＝35(年)，

答：大约经过35年，我国人口数翻一番．

(2)解：设经过x年后，我国人口数为15亿，

则14(1＋1%)x＝15，

x＝≈≈7(年)．

答：大约经过7年，我国人口数达到15亿．

解决对数应用题的一般步骤

课后篇·演练提升方案

1．若log32＝log23x，则x＝(　　)

A．－1        B．1

C．(log32)2      D．(log23)2

答案：C　

解析：∵log32＝log23x，∴log32＝x·log23，

∴x＝＝(log32)2.故选C．

2．下列各式中，正确的式子有(　　)

①lg(lg 10)＝0；

②ln(ln e)＝0；

③若10＝lg x，则x＝10；

④若e＝ln x，则x＝ee.

A．1个        B．2个

C．3个        D．4个

答案：C　

解析：①∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝0；

②∵ln e＝1，∴ln(ln e)＝0；

③∵lg x＝10，∴x＝1010≠10；

④∵ln x＝e，∴x＝ee.

∴正确的有3个．故选C．

3．已知log89＝a，log25＝b，则lg 3＝(　　)

A．    B．

C．    D．

答案：C 　

解析：∵log89＝a，∴log2332＝a，∴log23＝a，又log25＝b，∴lg 3＝＝＝＝.故选C．

4．(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的值为(　　)

A．0        B．1

C．2－lg 5      D．2

答案：D　

解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋2lg 5＝lg 2·lg 100＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.

故选D．

5．计算：

(1)log2＋log212－log242；

(2)(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2·lg 5.

解：(1)log2＋log212－log242

＝log2

＝log2＝log22＝－.

(2)原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5

＝lg 10·[(lg 2＋lg 5)2－3lg 2·lg 5]＋3lg 2·lg 5

＝12－3lg 2·lg 5＋3lg 2·lg 5＝1.

[方法技巧]　巧用辅助量化指数式为对数式

对数的概念实质上是给出了对数式与指数式间的关系，对此内容的考查往往是依据指数式与对数式的互化进行求值．如果条件涉及指数幂的连等式时，常引入辅助变量，简化求解过程．

[典例]　已知2x＝3y＝6z，证明：＝＋或x＝y＝z.

[思路点拨]　要想证明＝＋或x＝y＝z，需将条件中x，y，z表示出来，可引入参数2x＝3y＝6z＝k，进行指数式与对数式的互化．

[证明]　令2x＝3y＝6z＝k＞0，

则x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k.

(1)若k＝1，则x＝y＝z＝0.

(2)若k≠1，则＝logk2，＝logk3，＝logk6，

∴＋＝logk2＋logk3＝logk6，

故＝＋，

综上(1)(2)知，＝＋或x＝y＝z.

[题后反思]　(1)巧妙引入辅助量k，顺利完成指数式与对数式的转化是解题的关键．

(2)注意分类讨论思想的应用以及logab·logba＝1的应用．