数学必修 第一册第四章 对数运算和对数函数2 对数的运算2.2 换底公式教学设计

换底公式

【教学目标】

1．通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养。

2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养。

【教学重难点】

1．能推导出对数的换底公式。(重点)

2．会用对数换底公式进行化简与求值。(难点、易混点)

【教学过程】

一、问题引入

换底公式：

logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)。特别地，logab·logba＝1，logba＝

思考：换底公式的作用是什么？

[提示]  换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算。

二、新知探究

1．利用换底公式化简求值

【例1】  计算：log1627log8132．

[思路探究]  在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值。

[解]  log1627log8132＝·＝·＝·＝。

【教师小结】

（1）换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底。

（2）换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；

loganbm＝logaB．

2．用已知对数表示其他对数

【例2】  已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645．

[解]  法一：因为log189＝a，所以9＝18a，

又5＝18b，

所以log3645＝log2×18(5×9)

＝log2×1818a＋b

＝(a＋b)·log2×1818．

又因为log2×1818＝

＝＝

＝＝，

所以原式＝。

法二：∵18b＝5，

∴log185＝b，

∴log3645＝＝

＝＝

＝

＝。

法三：∵log189＝a，18b＝5，

∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，

∴log3645＝

＝＝

＝。

【教师小结】

用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：

（1）增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；

（2）巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；

（3）注意一些派生公式的使用。

3．对数的实际应用

[探究问题]

（1）光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y。试写出y关于x的函数关系式。

提示：依题意得y＝a＝a，其中x≥1，x∈N。

（2）探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的以下？(根据需要取用数据lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)

提示：依题意得ax≤a×⇒x≤

⇒x(2lg 3－1)≤－lg 2⇒x≥≈6．572，

∴xmin＝7．

即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的以下。

【例3】  某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1．2%，试解答下面的问题。

(1)写出该城市x年后的人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；

(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg 1．012≈0.005 2，lg 1．2≈0.079 2)

[思路探究]  先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数求值。

[解]  (1)由题意y＝100(1＋1．2%)x＝100·1．012x(x∈N＋)。

(2)由100·1．012x＝120，得1．012x＝1．2，

∴x＝log1．0121．2＝≈≈16，

故大约16年以后，该城市人口将达到120万。

【教师小结】

解对数应用题的步骤

三、课堂总结

1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简。

2．运用对数的运算性质应注意：

(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质。

(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用。

(3)在运算过程中避免出现以下错误：

①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，

③logaM±logaN＝loga(M±N)。

四、课堂检测

1．思考辨析

(1)logab＝＝。(    )

(2)log52＝。(    )

(3)loga b·logb c＝loga C．(    )

[答案]  (1)√  (2)×  (3)√

2．若lg 3＝a，lg 5＝b，则log53等于(    )

A．          B．      C．ab     D．ba

B  [log5 3＝＝。]

3．log332·log227＝________。

15  [log332·log227＝·＝·＝15．]

4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半。(结果保留1个有效数字)

[解]  设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则y与x的关系式为y＝0.84x。依题意得0.84x＝0.5，化为对数式，得log0.840.5＝x，由换底公式知x＝，用科学计算器计算得x≈3．98，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。