高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 对数的运算性质学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 对数的运算性质学案，共6页。


大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质中，得出相应对数的运算性质吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算性质呢？
[问题] 观察下列各式，你能从中猜想出什么结论？
(1)lg2(2×4)＝lg22＋lg24＝3；
(2)lg3(3×9)＝lg33＋lg39＝3；
(3)lg2(4×8)＝lg24＋lg28＝5.



知识点 对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，b∈R，那么：
(1)lga(M·N)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMb＝blgaM．
eq \a\vs4\al()
对数运算中的常见公式及推广
(1)lgaeq \r(n,M)＝eq \f(1,n)lgaM(M>0，n∈N＋，n>1，a>0，且a≠1)；
(2)lgaeq \f(1,M)＝－lgaM(M>0，a>0，且a≠1)；
(3)lgaeq \r(p,Mn)＝eq \f(n,p)lgaM(M>0，n，p∈N＋，p，n>1，a>0，且a≠1)；
(4)lga(M·N)＝lgaM＋lgaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)可推广为lga(N1·N2·…·Nk)＝lgaN1＋lgaN2＋…＋lgaNk(k∈N＋，N1，N2，…，Nk均大于0，a>0，且a≠1)．
在积的对数运算性质中，三项的乘积式lga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？
提示：适用，lga(MNQ)＝lgaM＋lgaN＋lgaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．
1．2lg510＋lg50.25＝( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选C 原式＝lg5(100×0.25)＝lg525＝2.故选C.
2．计算：(1)lg eq \r(2)＋lg eq \r(5)＝________；
(2)lg345－lg35＝________；
(3)lg2(23×45)＝________．
解析：(1)lg eq \r(2)＋lg eq \r(5)＝lg(eq \r(2)×eq \r(5))＝lgeq \r(10)＝lg 10eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \f(1,2).
(2)lg345－lg35＝lg3eq \f(45,5)＝lg39＝lg332＝2.
(3)lg2(23×45)＝lg223＋lg245＝3＋5lg24＝3＋5lg222＝3＋5×2＝13.
答案：(1)eq \f(1,2) (2)2 (3)13
[例1] (链接教科书第100页例1)计算下列各式的值：
(1)lg2eq \r(\f(7,96))＋lg224－eq \f(1,2)lg284；
(2)lg 52＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
[解] (1)法一：原式＝lg2eq \f(\r(7)×24,\r(96)×\r(84))＝lg2eq \f(1,\r(2))＝－eq \f(1,2).
法二：原式＝eq \f(1,2)lg2eq \f(7,96)＋lg2(23×3)－eq \f(1,2)lg2(22×3×7)＝eq \f(1,2)lg27－eq \f(1,2)lg2(25×3)＋3＋lg23－1－eq \f(1,2)lg23－eq \f(1,2)lg27＝－eq \f(1,2)×5－eq \f(1,2)lg23＋2＋eq \f(1,2)lg23＝－eq \f(5,2)＋2＝－eq \f(1,2).
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
eq \a\vs4\al()
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行；
(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
[跟踪训练]
计算：(1)lg3eq \r(27)＋lg 25＋lg 4＋7eq \s\up6(eq \a\vs4\al(lg7\f(1,2)))＋(－9.8)0；
(2)2lg32－lg3eq \f(32,9)＋lg38－5eq \s\up6(eq \a\vs4\al(2lg53)).
解：(1)原式＝lg33eq \s\up6(\f(3,2))＋lg 52＋lg 22＋eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2)＋2lg 5＋2lg 2＋eq \f(3,2)＝3＋2(lg 5＋lg 2)＝3＋2lg 10＝3＋2×1＝5.
(2)原式＝2lg32－(lg325－lg332)＋lg323－5eq \a\vs4\al(lg59)
＝2lg32－5lg32＋2lg33＋3lg32－9＝2－9＝－7.
[例2] (链接教科书第100页例2)用lgax，lgay，lgaz表示下列各式：
(1)lga(x2yz)；(2)lgaeq \f(x2,yz)；(3)lgaeq \f(\r(x),y2z).
[解] (1)lga(x2yz)＝lgax2＋lgay＋lgaz＝2lgax＋lgay＋lgaz.
(2)lgaeq \f(x2,yz)＝lgax2－lga(yz)＝2lgax－(lgay＋lgaz)＝2lgax－lgay－lgaz.
(3)lgaeq \f(\r(x),y2z)＝lgaeq \r(x)－lga(y2z)＝eq \f(1,2)lgax－2lgay－lgaz.
eq \a\vs4\al()
用已知对数式表示求值问题的关键是充分利用对数运算的性质将要表示的对数式变形．
[跟踪训练]
已知a＝lg32，用a来表示lg38－2lg36为( )
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
解析：选A lg38－2lg36＝3lg32－2(lg32＋lg33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
[例3] (链接教科书第105页B组3题)方程lg2(9x－5)＝2＋lg2(3x－2)的解为x＝________．
[解析] 原方程可化为lg2(9x－5)＝lg2[4(3x－2)]，
∴9x－5＝4(3x－2)>0，3x>2，∴(3x)2－4×3x＋3＝0，∴(3x－3)(3x－1)＝0，
∵3x>2，∴3x＝3，即x＝1.
[答案] 1
[母题探究]
1．(变条件)本例条件变为“lg2(9－2x)＝3－x”，求x的值．
解：∵lg2(9－2x)＝3－x，∴lg2(9－2x)＝lg22(3－x)，∴9－2x＝2(3－x)，可化简为9－2x＝eq \f(8,2x)，
令2x＝t(t>0)，可得9－t＝eq \f(8,t)，化简为t(9－t)＝8，
即t2－9t＋8＝0，∴(t－1)(t－8)＝0，解得t1＝1，t2＝8，
∴2x＝1或8，解得x＝0或3.
2．(变条件)本例条件变为“5eq \a\vs4\al(2lg5（2x－1）)＝9”，求x的值．
解：∵5eq \a\vs4\al(2lg5（2x－1）)＝9，∴5eq \a\vs4\al(lg5（2x－1）2)＝9，且2x－1>0，
∴(2x－1)2＝9，∴2x－1＝3(2x－1＝－3舍去)，解得x＝2.
eq \a\vs4\al()
对数方程的类型及一般解法
(1)lgaf(x)＝lgag(x)：可利用对数性质化为一般方程f(x)＝g(x)>0求解；
(2)p(lgax)2＋qlgax＋r＝0：利用换元法，设t＝lgax，化为一元二次方程pt2＋qt＋r＝0求解．
[跟踪训练]
已知lg(x＋3)(x2＋3x)＝1，则实数x＝________．
解析：由对数的性质，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋3x＝x＋3，,x2＋3x>0，,x＋3>0且x＋3≠1.))
解得x＝1，故实数x的值为1.
答案：1
[例4] 分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，60～110为过渡区，110以上为有害区．
(1)试列出分贝y与声压P的函数关系式；
(2)某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？
[解] (1)由已知得y＝20lg eq \f(P,P0)(其中P0＝2×10－5)．
(2)当P＝0.002 时，
y＝20lg eq \f(0.002,2×10－5)＝20lg 102＝40(分贝)．
由已知条件知40分贝小于60分贝，
所以此地为噪音无害区，声音环境优良．
eq \a\vs4\al()
解决对数应用题的一般步骤

[跟踪训练]
在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
解析：选A 由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，得－26.7＋1.45＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，∴lg eq \f(E1,E2)＝－10.1，lg eq \f(E2,E1)＝10.1，eq \f(E2,E1)＝1010.1.
1．以下四个式子中a>0且a≠1，x>0，m>0，n>0，其中恒成立的是( )
A．(lgax)3＝3lgax
B．lga(m＋n)＝lgam＋lgan
C．lgaeq \f(m,n)＝lgam－lgan
D.eq \f(lgax,m)＝lgaxm
解析：选C 由对数的运算性质可知，a>0且a≠1，m>0，n>0，lgaeq \f(m,n)＝lgam－lgan，故选C.
2．计算eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lg64＋lg63))(lg312－2lg32)＝( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选B eq \f(1,2)lg64＋lg63＝lg64eq \s\up6(\f(1,2))＋lg63＝lg62＋lg63＝lg66＝1，lg312－2lg32＝lg312－lg34＝lg33＝1，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lg64＋lg63))(lg312－2lg32)＝1，故选B.
3．若lg x－lg y＝t，则lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))eq \s\up12(3)－lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))eq \s\up12(3)＝( )
A．3t B．eq \f(3,2)t
C．t D.eq \f(t,2)
解析：选A lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))eq \s\up12(3)－lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))eq \s\up12(3)＝3lgeq \f(x,2)－3lgeq \f(y,2)＝3lgeq \f(x,y)＝3(lg x－lg y)＝3t.
4．方程lg(2x＋1)＋lg x＝1的解为________．
解析：由题得lg[(2x＋1)x]＝1＝lg 10，所以x(2x＋1)＝10，所以2x2＋x－10＝0，解得x＝2或x＝－eq \f(5,2).
经检验，当x＝－eq \f(5,2)时，原方程没有意义，x＝2满足方程．
答案：x＝2
新课程标准解读
核心素养
理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算
数学抽象、数学运算
对数式的运算
用已知对数式表示求值问题
对数方程
对数式的实际应用