苏教版 (2019)第4章 指数与对数4.2 对数第2课时导学案

这是一份苏教版 (2019)第4章 指数与对数4.2 对数第2课时导学案，共12页。学案主要包含了换底公式，有附加条件的对数式求值问题，对数的实际应用等内容，欢迎下载使用。

一、换底公式
问题1 上节课我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如lg48，lg927等式子的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？
提示 设lg48＝x，故有4x＝8，即22x＝23，故x＝eq \f(3,2)，而lg28＝3，lg24＝2，于是我们大胆猜测lg48＝eq \f(lg28,lg24)，同样lg927＝eq \f(lg327,lg39).
问题2 是否对任意的lgab都可以表示成lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，a≠1；b>0；c>0，c≠1)？说出你的理由．
提示 依据当a>0，a≠1时，ax＝N⇔lgaN＝x推导得出．
令eq \f(lgcb,lgca)＝x，则lgcb＝xlgca＝lgcax，
故b＝ax，
∴x＝lgab，∴lgab＝eq \f(lgcb,lgca).
知识梳理
换底公式
(1)lgaN＝eq \f(lgcN,lgca)(a>0，a≠1，N＞0，c>0，c≠1)．
(2)对数换底公式的重要推论：
①lgaN＝eq \f(1,lgNa)(N>0，N≠1；a>0，a≠1)；
②l(a>0，a≠1，b>0)．
注意点：
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义．
(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即lgab＝eq \f(lg b,lg a)或lgab＝eq \f(ln b,ln a).
例1 (1)计算：(lg43＋lg83)(lg32＋lg92)；
(2)已知lg189＝a,18b＝5，用a，b表示lg3645的值．
解 (1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,lg 4)＋\f(lg 3,lg 8)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,lg 9)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,2lg 2)＋\f(lg 3,3lg 2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,2lg 3)))＝eq \f(5lg 3,6lg 2)×eq \f(3lg 2,2lg 3)＝eq \f(5,4).
(2)方法一 ∵lg189＝a,18b＝5，∴lg185＝b.
∴lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg189×5,lg1818×2)
＝eq \f(lg189＋lg185,1＋lg182)＝eq \f(a＋b,1＋lg18\f(18,9))＝eq \f(a＋b,2－a).
方法二 ∵lg189＝a,18b＝5，∴lg185＝b.
∴lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg189×5,lg18\f(182,9))
＝eq \f(lg189＋lg185,2lg1818－lg189)＝eq \f(a＋b,2－a).
反思感悟 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
跟踪训练1 (1)eq \f(lg89,lg23)的值是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C．1 D．2
答案 A
解析 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，
即eq \f(lg89,lg23)＝eq \f(\f(lg 9,lg 8),\f(lg 3,lg 2))＝eq \f(2lg 3,3lg 2)·eq \f(lg 2,lg 3)＝eq \f(2,3).
方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，
即eq \f(lg89,lg23)＝eq \f(\f(lg29,lg28),lg23)＝eq \f(2lg23,3lg23)＝eq \f(2,3).
(2)计算：eq \f(lg5\r(2)·lg79,lg5\f(1,3)·lg7\r(3,4)).
解 原式＝eq \f(lg5\r(2),lg5\f(1,3))·eq \f(lg79,lg7\r(3,4))
＝－eq \f(1,2)·lg32·3lg23＝－eq \f(3,2).
二、有附加条件的对数式求值问题
例2 (1)设3a＝4b＝36，求eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的值；
(2)已知2x＝3y＝5z，且eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1，求x，y，z.
解 (1)方法一 由3a＝4b＝36，
得a＝lg336，b＝lg436，
由换底公式得eq \f(1,a)＝lg363，eq \f(1,b)＝lg364，
∴eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝2lg363＋lg364
＝lg369＋lg364＝lg3636＝1.
方法二 由3a＝4b＝36，两边取以6为底的对数，得alg63＝blg64＝lg636＝2，
∴eq \f(2,a)＝lg63，eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)lg64＝lg62，
∴eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝lg63＋lg62＝lg66＝1.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg5k，
∴eq \f(1,x)＝lgk2，eq \f(1,y)＝lgk3，eq \f(1,z)＝lgk5，
由eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1，
得lgk2＋lgk3＋lgk5＝lgk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝lg230＝1＋lg215，
y＝lg330＝1＋lg310，z＝lg530＝1＋lg56.
反思感悟 利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
跟踪训练2 已知3a＝5b＝c，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，求c的值．
解 ∵3a＝5b＝c，∴c>0，
∴a＝lg3c，b＝lg5c，
∴eq \f(1,a)＝lgc3，eq \f(1,b)＝lgc5，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lgc15.
由lgc15＝2得c2＝15，
即c＝eq \r(15)(负值舍去)．
三、对数的实际应用
例3 一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价格降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元？(lg 2≈0.301 0，lg 9.125≈0.960 2)
解 设经过x年，这台机器的价值为8万元．
则8＝20(1－0.087 5)x，即0.912 5x＝0.4，
等号两边同时取常用对数，得x＝eq \f(lg 0.4,lg 0.912 5)＝eq \f(lg 4－1,lg 9.125－1)＝eq \f(2lg 2－1,lg 9.125－1)≈10.
所以约经过10年这台机器的价值为8万元．
反思感悟 解决对数应用题的一般步骤
跟踪训练3 某化工厂生产化工产品，今年生产成本为50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶的生产成本为20元(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，精确到1年)?
解 设x年后每桶的生产成本为20元．
1年后每桶的生产成本为50×(1－28%)．
2年后每桶的生产成本为50×(1－28%)2.
则50×(1－28%)x＝20.
即0.72x＝0.4.等号两边同时取常用对数，
得xlg 0.72＝lg 0.4.
故x＝eq \f(lg 0.4,lg 0.72)＝eq \f(lg4×10－1,lg72×10－2)
＝eq \f(lg 4－1,lg 72－2)＝eq \f(2lg 2－1,3lg 2＋2lg 3－2)
≈eq \f(0.301 0×2－1,3×0.301 0＋2×0.477 1－2)＝eq \f(－0.398 0,－0.142 8)
≈3.
所以约3年后每桶的生产成本为20元．
1．知识清单：
(1)换底公式．
(2)有附加条件的对数式求值问题．
(3)对数的实际应用．
2．方法归纳：换底公式、转化法．
3．常见误区：要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆．
1．0.25－eq \f(1,2)＋lg23·lg34的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D.eq \f(7,4)
答案 D
解析 原式＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)＋eq \f(lg 3,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)
＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)＋eq \f(lg 3,lg 2)×eq \f(2lg 2,lg 3)＝eq \f(7,4).
2．已知2x＝3，lg4eq \f(8,3)＝y，则x＋2y的值为( )
A．3 B．8 C．4 D．lg48
答案 A
解析 由2x＝3得x＝lg23，
∴x＋2y＝lg23＋2lg4eq \f(8,3)＝lg23＋eq \f(2lg2\f(8,3),lg24)
＝lg23＋(3lg22－lg23)＝3.
3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与eq \f(M,N)最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
答案 D
解析 由已知得，lg eq \f(M,N)＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.
故与eq \f(M,N)最接近的是1093.
4．若xlg32＝1，则4x的值是( )
A．9 B．3
C．2lg32 D．2lg23
答案 A
解析 因xlg32＝1，
则x＝eq \f(1,lg32)＝lg23，
所以4x＝＝32＝9.
1．化简得lg832的值为( )
A.eq \f(1,2) B．2 C．4 D.eq \f(5,3)
答案 D
解析 lg832＝eq \f(lg232,lg28)＝eq \f(lg225,lg223)＝eq \f(5,3).
2．(lg29)(lg34)等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．2 D．4
答案 D
解析 方法一 原式＝eq \f(lg 9,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(2lg 3×2lg 2,lg 2×lg 3)＝4.
方法二 原式＝2lg23×eq \f(lg24,lg23)＝2×2＝4.
3．已知正实数a，b，c满足lg2a＝lg3b＝lg6c，则( )
A．a＝bc B．b2＝ac
C．c＝ab D．c2＝ab
答案 C
解析 由题意得令lg2a＝lg3b＝lg6c＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝6k，
∴c＝6k＝(2×3)k＝2k×3k＝ab.
4.等于( )
A．lg 3 B．－lg 3 C.eq \f(1,lg 3) D．－eq \f(1,lg 3)
答案 C
解析 原式
5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
答案 A
解析 由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，
代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，
所以lg eq \f(E1,E2)＝10.1，
所以eq \f(E1,E2)＝1010.1.
6．(多选)若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的有( )
A.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1 B.eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝lg 20
C.eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝2 D.eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,2)
答案 AB
解析 a＝lg210，b＝lg510，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,lg210)＋eq \f(1,lg510)＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确；
eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(2,lg210)＋eq \f(1,lg510)＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故B正确；
eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,lg210)＋eq \f(2,lg510)＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C，D不正确．
7．lg23·lg34·lg42＝________.
答案 1
解析 原式＝eq \f(lg 3,lg 2)·eq \f(lg 4,lg 3)·eq \f(lg 2,lg 4)＝1.
8．若lg 2＝a，lg 3＝b，则lg916＝________(用a，b的代数式子表示)
答案 eq \f(2a,b)
解析 lg916＝eq \f(lg 16,lg 9)＝eq \f(lg 24,lg 32)＝eq \f(4lg 2,2lg 3)＝eq \f(2a,b).
9．计算下列各式的值：
(1)lg535＋－lg5eq \f(1,50)－lg514；
(2)(lg2125＋lg425＋lg85)·(lg52＋lg254＋lg1258)．
解 (1)原式＝lg535＋lg550－lg514＋
＝lg5eq \f(35×50,14)＋
＝lg553－1＝2.
(2)方法一 原式
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg253＋\f(lg225,lg24)＋\f(lg25,lg28)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg52＋\f(lg54,lg525)＋\f(lg58,lg5125)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3lg25＋\f(2lg25,2lg22)＋\f(lg25,3lg22)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg52＋\f(2lg52,2lg55)＋\f(3lg52,3lg55)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋1＋\f(1,3)))lg25·3lg52
＝13lg25·eq \f(lg22,lg25)＝13.
方法二 原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 125,lg 2)＋\f(lg 25,lg 4)＋\f(lg 5,lg 8)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 5)＋\f(lg 4,lg 25)＋\f(lg 8,lg 125)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3lg 5,lg 2)＋\f(2lg 5,2lg 2)＋\f(lg 5,3lg 2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 5)＋\f(2lg 2,2lg 5)＋\f(3lg 2,3lg 5)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13lg 5,3lg 2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(lg 2,lg 5)))＝13.
10．设xa＝yb＝zc，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,c)，求证：z＝xy.
证明 设xa＝yb＝zc＝k，k>0，
则a＝lgxk，b＝lgyk，c＝lgzk.
因为eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,c)，
所以eq \f(1,lgxk)＋eq \f(1,lgyk)＝eq \f(1,lgzk)，
即lgkx＋lgky＝lgkz.
所以lgk(xy)＝lgkz，即z＝xy.
11．设lg83＝p，lg35＝q，则lg 5等于( )
A．p2＋q2 B.eq \f(1,5)(3p＋2q)
C.eq \f(3pq,1＋3pq) D．pq
答案 C
解析 ∵lg83＝eq \f(lg 3,lg 8)＝eq \f(lg 3,3lg 2)＝p，
∴lg 3＝3plg 2.
∵lg35＝eq \f(lg 5,lg 3)＝q，
∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，
∴lg 5＝eq \f(3pq,1＋3pq).
12．计算lg89×lg910×lg1011×…×lg3132的结果为( )
A．4 B.eq \f(5,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(3,5)
答案 B
解析 lg89×lg910×lg1011×…×lg3132
＝eq \f(lg 9,lg 8)×eq \f(lg 10,lg 9)×eq \f(lg 11,lg 10)×…×eq \f(lg 32,lg 31)＝eq \f(lg 32,lg 8)
＝eq \f(5lg 2,3lg 2)＝eq \f(5,3).
13．根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与eq \f(M,N)最接近的是( )
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A.eq \f(1,10) B.eq \f(1,100) C.eq \f(1,1 000) D.eq \f(1,10 000)
答案 B
解析 ∵汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.
∴eq \f(M,N)＝eq \f(1010,36×230)，等号两边取常用对数，
可得lg eq \f(M,N)＝lg 1010－lg 36－lg 230
≈10－6×0.48－30×0.30＝－1.88.
∴eq \f(M,N)≈10－1.88≈eq \f(1,100).
14．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))a＝eq \f(1,3)，lg74＝b，则lg4948＝________(用a，b表示)．
答案 eq \f(a＋2b,2)
解析 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))a＝eq \f(1,3)，得a＝lg73，
又b＝lg74，
∴lg4948＝eq \f(lg 48,lg 49)＝eq \f(lg 3＋2lg 4,2lg 7)＝eq \f(lg73＋2lg74,2)
＝eq \f(a＋2b,2).
15．已知实数x，y，正实数a，b满足ax＝by＝2，且eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝－3，则a2＋b的最小值为________．
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 由题意得x＝lga2，y＝lgb2，
所以eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝2lg2a＋lg2b＝lg2(a2b)＝－3，
所以a2b＝eq \f(1,8)，a2＋b≥2eq \r(a2·b)＝eq \f(\r(2),2)，当且仅当a2＝b，即a＝eq \f(\r(4,2),2)，b＝eq \f(\r(2),4)时等号成立．
16．已知lgax＋3lgxa－lgxy＝3(a>1)，若设x＝at，试用a，t表示y.
解 由换底公式，
得lgax＋eq \f(3,lgax)－eq \f(lgay,lgax)＝3(a>1)，
所以lgay＝(lgax)2－3lgax＋3.
当x＝at时，lgax＝lgaat＝t，
所以lgay＝t2－3t＋3.
所以(t≠0)．