北师大版 (2019)1 对数的概念学案

第四章　对数运算与对数函数

§1　对数的概念

§2　对数的运算

第1课时　对数的运算性质

课前篇·自主梳理知识

【主题1】　对数的概念

1．对数的概念

一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即________，那么数b称为以a为底N的对数，记作________．

其中，a的取值范围是a>0，且a≠1，N的取值范围是________，b的取值范围是________．

2．几种常见对数

答案：

1．ab＝N　logaN＝b　真数　(0，＋∞)　R

2．logaN　e　ln N　10　lg N

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)因为(－2)2＝4，所以2＝log(－2)4.(　　)

(2)若log(x－1)(x－1)＝1，则x的取值范围是(1，＋∞)．(　　)

(3)使对数log2(－2a＋1)有意义的a的取值范围是.(　　)

答案：

(1)　解析：因为－2<0，所以－2不能作底数．

(2)　解析：由得x>1，且x≠2.

(3)√　解析：由－2a＋1>0，得a<.

2．有下列说法：

①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底数的对数称为常用对数；④以e为底数的对数称为自然对数．

其中正确命题的个数为(　　)

A．1        B．2

C．3        D．4

答案：C　

解析：①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．

3．3b＝5化为对数式是(　　)

A．logb3＝5        B．log35＝b

C．log5b＝3        D．log53＝b

答案：B　

解析：根据指数与对数的互化进行判断．

4．已知log2a＝，则a＝________.

答案：　

解析：由题意得a＝2＝.

5．计算：5log525＝________.

答案：25　

解析：5log525＝25.

【主题2】　对数的运算性质

若a>0，且a≠1，M>0，N>0，b∈R，则

(1)loga(M·N)＝________；

(2)loga＝________.

(3)logaMb＝________.

答案：

(1)logaM＋logaN　(2)logaM－logaN　(3)blogaM

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)loga(M·N)＝logaM·logaN.(　　)

(2)log5(－2)2＝2log5(－2)．(　　)

(3)loga＝.(　　)

答案：

(1)　解析：loga(M·N)＝logaM＋logaN.

(2)　解析：log5(－2)2＝2log52.

(3)　解析：loga＝logaM－logaN.

2．下列各等式正确的为(　　)

A．log23·log25＝log2(3×5)

B．lg 3＋lg 4＝lg(3＋4)

C．log2＝log2x－log2y

D．lg ＝lg m(m>0，n>1，n∈N*)

答案：D　

解析：A，B显然错误，C中，当x，y均为负数时，等式右边无意义．

3．lg 2＋lg 5＝(　　)

A．lg 7        B．lg 25

C．1        D．lg 32

答案：C　

解析：lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝lg 10＝1.

4．2log525＋3log264＝________.

答案：22　

解析：原式2log552＋3log226＝4＋18＝22.

课堂篇·重难要点突破

研习1  　对数的概念

[典例1]　(1)如果a＝b3(b>0，且b≠1)，则有(　　)

A．log3a＝b        B．log3b＝a

C．logba＝3        B．logb3＝a

(2)在M＝log(a－1)(3－a)中，实数a的取值范围是________．

(3)将下列指数式与对数式互化．

①3－2＝；②log9＝－2；③lg 0.001＝－3.

[审题路线图]依据ax＝N(a>0，且a≠1)⇔x＝logaN⇒运算求解．

(1)答案：C　(2)答案：(1,2)∪(2,3)

(3)解：①由3－2＝可得log3＝－2.

②由log9＝－2可得－2＝9.

③由lg 0.001＝－3可得10－3＝0.001.

指数式与对数式互化的思路

(1)指数式化为对数式

将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．

(2)对数式化为指数式

将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

[练习1]将下列指数式与对数式互化：

(1)log216＝4；(2)log27＝－3；

(3)43＝64；(4)－2＝16.

解：(1)由log216＝4可得24＝16.

(2)由log27＝－3可得－3＝27.

(3)由43＝64可得log464＝3.

(4)由－2＝16可得log16＝－2.

研习2  　对数的性质及对数恒等式

[典例2]　(1)①lg 0.01＋log216＝________.

②4(log2 9－log2 5)＝________.

(2)求下列各式中x的值：

①log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1；

②log2(log3(log4x))＝0.

[审题路线图]对数性质及恒等式⇒化简求值．

(1)答案：①2　②

(2)解：①由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1得

解得x＝－2.

②由log2(log3(log4x))＝0可得

log3(log4x)＝1，故log4x＝3，

所以x＝43＝64.

[延伸探究]　在例(2)②中，若改为“log2(log3(log4x))＝1”，试求x的值．

解：由log2(log3(log4x))＝1可得log3(log4x)＝2，故log4x＝32＝9，所以x＝49＝218.

1．注意常见对数的应用

如loga1＝0，logaa＝1，logaan＝n，其中a>0，且a≠1，n∈R.

2．对数恒等式alogaN＝N的应用

(1)能直接应用对数恒等式的直接求值即可．

(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况，

按以下步骤求解：

提醒：应用对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)一定要注意公式的结构，只有当指数的底和对数的底是同底数时，才能用此公式化简．

[练习2]已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．

解：因为log2(log3(log4x))＝0，

所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3，

所以x＝43＝64.

同理可得y＝24＝16.所以x＋y＝80.

研习3  对数运算性质的应用

[典例3]　若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N＋，则下列各式：

①logax·logay＝loga(x＋y)；

②logax－logay＝loga(x－y)；

③loga(xy)＝logax·logay；

④＝loga；

⑤(logax)n＝logaxn；

⑥logax＝－loga；

⑦＝loga；

⑧loga＝－loga.

其中式子成立的个数为(　　)

A．3        B．4

C．5        D．6

[审题路线图]对数的运算性质⇒化简求值．

答案：A　

解析：对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，

∴logax·logay＝loga(x＋y)不成立；

对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，

则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，

∴logax－logay＝loga(x－y)不成立；

对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3，

∴loga(xy)＝logax·logay不成立；

对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，

则＝2≠log2＝1，

∴＝loga不成立；

对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，

∴(logax)n＝logaxn不成立；

⑥成立，由于－loga＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax；

⑦成立，由于loga＝logax＝logax；

⑧成立，由于loga＝loga－1＝－loga.

解决对数运算的常用方法

解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用方法有：

(1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积，再展开；

(2)将同底数的对数的和、差、倍合并；

(3)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.

[练习3]计算lg ＋lg ＋log535－log57－log3的值为(　　)

A．        B．1

C．0        B．－

答案：B

课后篇·演练提升方案

1．下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是(　　)

A．100＝1与lg 1＝0

B．27＝与log27＝－

C．log39＝2与9＝2

D．log55＝1与51＝5

答案：C　

解析：log39＝2，则32＝9.故选C．

2．已知f(x5)＝lg x，则f(2)＝(　　)

A．lg 2        B．lg 32

C．lg    D．lg 2

答案：D　

解析：令x5＝2，∴x＝2.∴f(2)＝lg 2＝lg 2.故选D．

3．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　　)

A．3        B．8

C．4        D．log48

答案：A　

解析：∵2x＝3，∴x＝log23.

∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋log2＝log28＝3.

故选A．

4．若log3[log4(log5a)]＝log4[log3(log5b)]＝0，则＝________.

答案：5

5．计算下列各式的值：

(1)2log32－log3＋log38；

(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋21＋log2.

解：(1)原式＝2log32－log332＋log39＋log38

＝2log32－log325＋2＋log323

＝2log32－5log32＋2＋3log32＝2.

(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 5＋1)＋21×2log2

＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋2

＝1＋2.

[误区警示]　忽视对数中底数的取值范围致误

[典例]　求log(1－2x)(3x＋2)中的x的取值范围．

[错解]　∵对数的真数大于0，∴3x＋2＞0，

∴x＞－.

∴x的取值范围是.

[错因分析]　本题错解的原因是忽视了对数底数的限制范围，即底数1－2x需大于0且不等于1.

[正解]　由题意，得

解得－＜x＜，且x≠0，

∴x的取值范围是.