高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性学案

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第五章　函数应用§1　方程解的存在性及方程的近似解第1课时　利用函数性质判定方程解的存在性课前篇·自主梳理知识【主题】　函数的零点1．函数零点使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的________．f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的________．2．零点存在定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即________，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解．所以f(a)·f(b)<0是方程f(x)＝0在区间(a，b)内有解的充分条件而非必要条件．这里说“在区间(a，b)内，方程f(x)＝0至少有一个解”，只说明了方程f(x)＝0解的存在，并不能判断具体有多少个解．当f(a)·f(b)>0时，方程f(x)＝0也可能有解，如上图．所以f(a)·f(b)<0是方程f(x)＝0在区间(a，b)内有解的充分条件而非必要条件．答案：1.零点　横坐标　2.f(a)·f(b)<0[自我检测]1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)(1)函数y＝f(x)的零点是一个坐标点．(　　)(2)若函数y＝f(x)的图象是连续不断的，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有且只有一个零点．(　　)(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)答案：(1)　解析：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，是一个实数．(2)　解析：若函数y＝f(x)是图象是连续不断的，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．(3)　解析：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有f(a)·f(b)<0，则能判断出零点的存在性；反之函数有零点，f(a)·f(b)不一定小于0，如f(x)＝x2在区间[－1,1]上有零点x＝0，此时f(－1)·f(1)>0.　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　2．函数y＝x2－5x＋6的零点是(　　)A．2,3        B．－2，－3C．1,6        D．－1，－6答案：A　解析：由x2－5x＋6＝0得x＝2或3，所以y＝x2－5x＋6的零点是2,3.3．函数f(x)＝x3＋x－1的零点所在的区间是(　　)A．    B．C．    D．答案：C　解析：因为f·f(1)＝－×1＝－<0，且函数f(x)在R上连续，所以函数f(x)＝x3＋x－1的零点所在区间是.4．函数y＝x－的零点是________．答案：±1　解析：令y＝x－＝＝0，解得x＝±1.课堂篇·重难要点突破研习1  　函数的零点与方程的根[典例1]　(1)求下列函数的零点：①f(x)＝x3＋1；②f(x)＝.(2)若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．(1)解：①∵f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，解得x＝－1，故函数的零点是－1.②∵f(x)＝＝，令＝0，解得x＝－1.故函数的零点是－1.(2)解：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，解得a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或x＝2.所以函数f(x)其余的零点是2.[延伸探究]　本例(2)条件变为函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求g(x)＝x2＋ax＋b的零点．[审题路线图]由f(x)的零点求a，b的关系(值)⇒求g(x)的零点．解：因为函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2,3，所以x＝2和x＝3是方程x2－ax－b＝0的两个根，由根与系数的关系可得：2＋3＝－(－a)，2×3＝－b.所以a＝5，b＝－6，则g(x)＝x2＋5x－6，令x2＋5x－6＝0，解得x1＝1，x2＝－6.故函数g(x)＝x2＋5x－6的零点是1，－6.函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．[练习1]求下列函数的零点：(1)f(x)＝2x－1；(2)f(x)＝2x2＋4x＋2；(3)f(x)＝x3－2x2－3x.解：(1)令f(x)＝0，即2x－1＝0,2x＝1，∴x＝0，∴f(x)有一个零点0.(2)令f(x)＝0，即2x2＋4x＋2＝0，x2＋2x＋1＝0，∴x＝－1，∴f(x)有一个零点－1.(3)令f(x)＝0，即x3－2x2－3x＝0，x(x2－2x－3)＝0，x(x－3)(x＋1)＝0，∴x1＝－1，x2＝0，x3＝3，∴f(x)有三个零点，分别是－1,0,3.研习2 　判断函数零点所在的区间[典例2]　函数f(x)＝log3x＋x－3零点所在大致区间是(　　)A．(1,2)            B．(2,3)     C．(3,4)            D．(4,5)[审题路线图]函数零点满足的条件⇒判断．答案：B[延伸探究]　本例条件变为“已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)”．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，求n的值．解：因为2<a<3<b<4，当x＝2时，f(2)＝loga2＋2－b<0；当x＝3时，f(3)＝loga3＋3－b>0.所以f(x)的零点x0在区间(2,3)内，所以n＝2.确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．[练习2]若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间(　　)A．    B．C．    D．答案：C研习3   函数零点的个数[典例3]　(2020·郑州高一检测)已知函数f(x)＝|x2－2x|－a.(1)当a＝0时，画出函数f(x)的简图，并指出f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有4个零点，求a的取值范围．[审题路线图]画出函数y＝|x2－2x|的图象⇒分析图象与直线y＝a的交点个数．解：(1)当a＝0时，函数f(x)＝|x2－2x|＝|x(x－2)|的图象如图所示：由函数的图象可得f(x)的单调递增区间为[0,1]，[2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，0]，[1,2]．(2)若函数f(x)有4个零点，则方程|x2－2x|＝a有4个不等实根，即函数y＝|x2－2x|的图象和直线y＝a有4个交点，结合(1)中函数的图象可得{a|0<a<1}．[延伸探究]　(1)将本例条件“4个零点”改为“2个零点”，其他条件不变，求a的取值范围．(2)将本例函数改为f(x)＝|2x－1|－a，试讨论函数f(x)零点的个数．(1)解：若函数f(x)有2个零点，则方程|x2－2x|＝a有2个不等实根，即函数y＝|x2－2x|的图象与直线y＝a有2个交点．结合原例(1)图象知{a|a＝0，或a>1}．(2)解：函数f(x)＝|2x－1|－a零点的个数可转化为方程|2x－1|＝a实根的个数，即函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝a公共点个数，由图象可知，当a＝0，或a≥1时，f(x)只有1个零点，当0<a<1时，f(x)有2个零点，当a<0时，f(x)无零点．确定函数零点个数的方法(1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决．(2)判别式法：可转化为一元二次方程根的个数问题，通常用判别式法来判断根的个数．(3)图象法：指数函数和对数函数零点个数问题一般用图象法来解决．(4)单调性法：常规方法不易判断时，可利用函数的单调性来判断函数零点的个数．[练习3]判断下列函数的零点个数：(1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－.解：(1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1＞0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4，∴函数f(x)有两个零点，分别是3,4.(2)解法一：由x2－＝0得x2＝.令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝.在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，如图所示，由图象可知两图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－只有一个零点．解法二：令f(x)＝0，即x2－＝0，∵x≠0，∴x3－1＝0，∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0，∴x＝1，或x2＋x＋1＝0.∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点1.研习4  函数零点性质的应用[典例4]　已知函数f(x)＝ax2－bx＋1，若b＝a＋2，且函数f(x)在(－2,1)上恰有一个零点，求a的取值范围．解：当a＝0时，令f(x)＝0，得x＝，符合题意．当a≠0时，∵b＝a＋2，∴f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a>0，函数f(x)＝ax2－bx＋1必有两个零点，又函数f(x)在(－2,1)上恰有一个零点，故f(－2)·f(1)<0，即(6a＋5)(－1)<0，∴6a＋5>0，∴a>－，又∵a≠0，∴a>－，且a≠0.综上，实数a的取值范围是.方程的根与函数的零点之间紧密相连，要灵活处理它们之间的关系并能灵活运用．当二次函数解析式中含有参数时，要注意讨论各种情况，不要遗漏．[练习4]已知当m∈R时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a(a∈Z)恒有零点，求a的值．解：(1)当m＝0时，令f(x)＝x－a＝0，得x＝a，恒有解，此时a∈R，且a∈Z，∴a∈Z.(2)当m≠0时，令f(x)＝0，即mx2＋x－m－a＝0恒有解，∴Δ1＝1－4m(－m－a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立，令g(m)＝4m2＋4am＋1，∴g(m)≥0恒成立．∴Δ2＝16a2－16≤0，即－1≤a≤1.∵a∈Z，∴a＝－1,0,1.综上，当m＝0时，a∈Z；当m≠0时，a＝－1,0,1. 课后篇·演练提升方案1．若已知f(a)<0，f(b)>0，则下列说法中正确的是(　　)A．f(x)在(a，b)上必有且只有一个零点B．f(x)在(a，b)上必有正奇数个零点C．f(x)在(a，b)上必有正偶数个零点D．f(x)在(a，b)上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点答案：D　解析：若f(x)不连续则可能没有零点，若f(x)在该区间有二重零点，则可能有正偶数个零点．也可能有正奇数个零点．故应选D．2．已知x＝－1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的一个零点，则函数g(x)＝ax2－bx的零点是(　　)A．－1或1      B．0或－1 C．1或0        D．2或1答案：C　解析：∵x＝－1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的一个零点，∴－a＋b＝0，∴a＝b.∴g(x)＝ax2－ax＝ax(x－1)(a≠0)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝1.故应选C．3．函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点必落在区间(　　)A．    B． C．    D．答案：C　解析：由f(x)＝log2x＋2x－1在(0，＋∞)上单调递增，且f＝log2＋－1＝－，f＝log2＋2×－1＝－，f＝log2＋2×－1＝－1，f(1)＝log21＋2－1＝1，f(2)＝log22＋2×2－1＝4，f·f(1)<0，得零点必落在区间.4．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围为(　　)A．a<1        B．a>1 C．a≤1        D．a≥1答案：B　解析：∵f(x)无零点，∴Δ＝4－4a<0，∴a>1.故应选B．5．已知函数f(x)＝3x－x2，问：方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有没有实数解？为什么？解：∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝－1<0，f(0)＝30－0＝1>0，根据f(x)＝3x－x2，知f(x)为连续函数，而连续函数在零点(不是二重零点)两侧函数值异号，∴由f(－1)<0，f(0)>0知，在[－1,0]上f(x)必有一零点，即f(x)＝3x－x2＝0在[－1,0]内必有一实数解．[误区警示]　盲目使用零点存在定理致误　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　[示例]　若函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，求实数a的取值范围．[错解]　因函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，所以f(0)·f(4)＜0，即2(18－8a)＜0，解得a＞.所以a的取值范围是.[错因分析]　对函数零点存在定理理解不深刻，错误地认为函数零点存在定理的反面也正确．连续函数f(x)在闭区间[a，b]上，若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点，反之就不一定成立．[正解]　因为函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，①如图，当函数在该区间内只有一个零点时，由图知f(0)·f(4)＜0，或Δ＝4a2－8＝0，即2(18－8a)＜0，或a2＝2，解得a＞，或a＝(－舍去)；②当函数在该区间内有两个不同零点时，必须满足即解得＜a≤.综上所述，a的取值范围是{a|a≥}．