高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系课后测评

【优编】1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系作业练习

一．填空题

1．直线的倾斜角是_________.

2．点关于直线的对称点坐标为________.

3．2018年“平安夜”前后，某水果超市从12月15日至1月5日（共计22天，12月15日为第1天，12月16日为第2天，…，1月5日为第22天），某种苹果的销售量y千克随时间第x天变化的函数图象如图所示，则该超市在12月20日卖出了这种苹果_____千克.

4．已知直线 （其中为实数）过定点P，点Q在函数的图像上，则PQ连线的斜率的取值范围是___________．

5．已知点，点，则直线的斜率为__________.

6．经过点A（1，0）且一直线x-y+3=0成30°角的直线方程是_____

7．直线的倾斜角是_________________．

8．直线的倾斜角__________

9．已知点A（3，5）．B（4，7）．C（1，x）三点共线，则实数x的值是_____．

10．已知直线过点，，则直线的方程为______.

11．直线的倾斜角为______；点到直线的距离为______.

12．已知点和在直线的同侧，则直线倾斜角的取值范围是_______.

13．若向量是直线的一个法向量，则___________.

14．一直线过点P（1，0），且点Q（﹣1，1）到该直线的距离等于2，则该直线的倾斜角为_____．

15．直线的倾斜角范围为___________.

16．直线,当变动时,所有直线都通过定点______.

17．直线的倾斜角的大小为________.

18．中，已知，则边上的中线所在的直线的一般式方程为__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】先化简直线方程，求出斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系求出倾斜角的大小.

【详解】

原式可化为，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故答案为:.

【点睛】

本题主要考查利用直线的方程求解直线的倾斜角，斜率和倾斜角之间的关系式是求解的关键，同时注意直线倾斜角的范围，侧重考查数学运算的核心素养.

2．【答案】

【解析】设出对称点坐标,根据两个对称点的中点位于直线上,及两直线垂直时的斜率关系,联立方程组即可得对称点的坐标.

【详解】

设对称点的坐标为

则中点坐标为

则在直线上,即

根据与直线垂直,斜率的关系可得

即,解方程组可得

即对称点的坐标为

故答案为:

【点睛】

本题考查了点关于直线对称点的坐标求法,两直线垂直的斜率关系,属于基础题.

3．【答案】21.

【解析】计算得到直线方程为，当时计算得到答案.

【详解】

当时，设直线方程为，

将点，代入直线解得 ，故

当时，

故答案为：

【点睛】

本题考查了根据图像求解析式，意在考查学生的应用能力.

4．【答案】

【解析】把直线方程整理成的多项式，根据恒等式的知识求出定点的坐标，

【详解】

由得

∴，解得，∴。

作出函数的图象，如图，直线和轴是它的两条渐近线，因此当点在第三象限时，，

当在第一象限时，直线可能与函数图象相切，设切点为，

，则，解得，此时，

由图象可知，

综上。

故答案为：。

【点睛】

本题考查直线过定点问题，考查直线与函数图象有公共点问题。

（1）直线过定点时，可把直线方程变形为关于所含参数的多项式，然后由恒等式知识求得定点；

（2）直线与函数图象有公共点问题，可作出函数图象及直线，利用图象观察各种可能出现的情况，直观形象，有助于解题。

5．【答案】

【解析】根据两点间斜率公式,可直接求解.

【详解】

因为,

则

故答案为:

【点睛】

本题考查了两点间的斜率公式,属于基础题.

6．【答案】或

【解析】由过点且一直线成30°角，得到所求直线的倾斜角为或，结合两角和与差的正切函数的公式，求得直线的斜率，进而求得直线的方程.

【详解】

由题意，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，

又由过点且一直线成30°角，所以所求直线的倾斜角为或，

可得所求直线的斜率为，

或，

所以所求直线的方程为或，

即或.

故答案为：或.

【点睛】

本题主要考查了直线的斜率与倾斜角的关系，以及直线方程的求解，其中解答总熟练应用直线的斜率与倾斜角的关系，求得所求直线的斜率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7．【答案】

【解析】设直线的倾斜角为，得到，即可求解，得到答案.

【详解】

设直线的倾斜角为，

又由直线，可得直线的斜率为，

所以，又由，解得，

即直线的倾斜角为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了直线的斜率与倾斜角的关系，以及直线方程的应用，其中解答中熟记直线的斜率和直线的倾斜角的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

8．【答案】

【解析】先求直线的斜率，进而得倾斜角的正切，从而得解.

【详解】

由直线的方程可得直线的斜率为4，

则.

所以倾斜角为.

故答案为.

【点睛】

本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题.

9．【答案】1

【解析】根据列方程，解方程求得的值.

【详解】

由于三点共线，所以，即，解得.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查三点共线的知识，考查方程的思想，属于基础题.

10．【答案】

【解析】根据直线方程的两点式可得答案.

【详解】

由直线方程的两点式可得,

化简得,

故答案为: .

【点睛】

本题考查了直线方程的两点式,属于基础题.

11．【答案】    1 

【解析】根据直线与轴平行得到倾斜角；点到直线距离可利用横坐标作差直接求得.

【详解】

直线轴    直线倾斜角为

点到直线的距离

故答案为：；

【点睛】

本题考查直线倾斜角．点到直线距离的求解问题，属于基础题.

12．【答案】

【解析】由点和在直线的同侧，可得，求出范围，进一步得到斜率和倾斜角的范围．

【详解】

∵点和在直线的同侧，

∴，

解得，设直线的倾斜角，

∴，∴，

∴直线倾斜角的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查直线倾斜角与斜率的关系．不等式表示平面区域，考查运算求解能力，求解的关键是不等式的建立．

13．【答案】或

【解析】由直线的方程可得直线的一个方向向量为，利用可求得的值.

【详解】

取为直线的一个方向向量，

所以或.

故答案为：或0.

【点睛】

本题考查直线的方向向量与法向量的关系，考查基本运算求解能力，属于容易题.

14．【答案】或

【解析】首先讨论当直线的斜率存在与不存在时两种情况，当斜率存在时，设斜率为，写出直线方程，根据点到直线的距离公式计算出k,当斜率不存在时，倾斜角直接为

【详解】

设该直线的斜率为k，倾斜角为θ，θ∈[0，π），则k＝tanθ．

直线的方程为y﹣0＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0.

根据点Q（﹣1，1）到该直线的距离等于2，可得  2，求得k＝tanθ，∴θ=arctan．

当直线的斜率不存在时，方程为x＝1，检验满足条件，此时直线的倾斜角为，

故答案为：或

【点睛】

本题主要考查了直线的方程，点到直线的距离公式，属于基础题。

15．【答案】

【解析】由的范围得直线的斜率的取值范围，从而可得倾斜角的范围．

【详解】

∵，∴斜率，

记直线的倾斜角为，

当时，，当时，，

∴直线的倾斜角范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，在由斜率求倾斜角的范围时，要注意对分类，分和两类．

16．【答案】(3,1)

【解析】将直线方程变形为,得到,解出,即可得到定点坐标.

【详解】

由,得,

对于任意,式子恒成立,则有,

解出,

故答案为:(3,1).

【点睛】

本题考查直线过定点问题,直线一定过两直线？的交点.

17．【答案】

【解析】求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角即可．

【详解】

解：因为直线的斜率为：，

所以直线的倾斜角为，，所以．

故答案为：．

【点睛】

本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，倾斜角的求法，考查计算能力．

18．【答案】

【解析】利用中点坐标公式可得线段的中点. 得到边上的中线所在的直线的点斜式方程，即可化为一般式方程.

【详解】

线段的中点.

边上的中线所在的直线的方程：，

化简为一般式方程：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了中点坐标公式．点斜式与一般式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.