北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆1 直线与直线的方程1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系同步测试题

【优质】1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系-1练习

一．填空题

1．过点的直线与轴．轴的正方向分别交于点，且的面积为4，则的方程是__________.

2．若直线与直线垂直，则________.

3．若直线与以点为端点的线段相交，则的取值范围是________.

4．若直线的倾斜角为，则______.

5．过点且倾斜角的正弦为的直线方程是________．

6．过点且与平行的直线的点方向式方程是_______________．

7．过点，一个法向量是的直线的点法向式方程是___________________．

8．若集合中恰有二个元素是整数，则实数t的取值范围为__.

9．若直线l经过点且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l的方程是________.

10．直线过两点，则直线的倾斜角是________________，直线的斜率是________________.

11．直线的倾斜角为________．

12．经过两点．的直线的点方向式方程是______________．

13．已知，点在直线上运动，，则点的轨迹方程是_______．

14．与两平行直线等距离的直线方程是_______．

15．两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是________．

16．过点的直线与轴．轴分别交于．两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为_______________.

17．若点在过两点的直线上，则实数的值是________.

18．已知中，，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】设出直线方程，求出直线与轴．轴的交点坐标，根据三角形的面积求出直线方程即可.

详解：解：设直线的方程为，

则直线与轴的交点为，与轴的交点为，

因为的面积为4，直线过点，

所以，解得或（舍去）

所以直线的方程为，

故答案为：

【点睛】

此题考查了直线的点斜式方程，考查了三角形的面积问题，属于基础题.

2．【答案】

【解析】由两直线垂直求出的值，然后利用二倍角的正弦公式结合弦化切的思想可求出的值.

详解：由于直线与直线垂直，则，

可得，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查二倍角正弦值的计算，涉及利用两直线垂直求参数以及弦化切思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

3．【答案】

【解析】直线恒过定点，计算的斜率，再利用数形结合，可求得的取值范围．

详解：由直线的方程，可以判断直线恒过定点，如图所示，

计算，

若直线与以点为端点的线段相交，

则，

即实数的取值范围是：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题．

4．【答案】

【解析】首先利用直线方程求出直线斜率，通过斜率求出倾斜角.

【详解】

由题知直线方程为，

所以直线的斜率，

又因为倾斜角，

所以倾斜角.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了直线倾斜角与直线斜率的关系，属于基础题.

5．【答案】或

【解析】设直线倾斜角为，根据题意得，求出，进而得到直线的斜率，即可求出直线的点斜式方程，化简即可.

详解：设直线倾斜角为，根据题意得，

则.

则，

或

直线过点，所以直线方程为，

即

或，即.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查直线方程的求法，斜率的求法，考查运算能力，属于基础题.

6．【答案】

【解析】由点的坐标以及直线的方向向量，将其直接代入直线的点方向式方程求解.

详解：因为直线过点且与平行，

所以直线的点方向式方程是，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查直线的点方向式方程，属于基础题.

7．【答案】

【解析】求出直线的方向向量，利用直线的法向量，及向量的数量积即可得到结论.

详解：在直线上任取一点，则直线的方向向量为，

由直线的法向量为，

∴，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查向量知识的运用，考查直线的方向向量，直线的点法向式方程，属于基础题.

8．【答案】或

【解析】将问题转化为不等式恰有二个整数解，作出函数与函数的图象，利用斜率的关系，即可得答案；

详解：集合中恰有二个元素是整数，

不等式恰有二个整数解，

作出函数与函数的图象，如图所示，

直线过定点，

当直线与抛物线相切时，即方程有一根，

，解得：（舍去）或，此时切点坐标为，

，

，直线的斜率满足，

同理，，直线的斜率满足，

故答案为：或.

【点睛】

本题考查利用直线的斜率求参数的取值范围问题，考查函数与方程思想．转化与化归思想．数形结合思想，考查逻辑推理能力．运算求解能力，求解时注意借助图形的直观性和斜率公式进行求解.

9．【答案】或.

【解析】对截距为0,和截距不为0进行分情况讨论,利用待定系数法求解方程.

【详解】

①若截距为0,则直线过原点,

设l的方程为,

代点入方程,解得,

则直线方程为:;

②若截距不为0,

设l的方程为,

代点入方程,解得,

则直线方程为:;

故答案为:或.

【点睛】

本题主要考查待定系数法求直线方程,难度不大.解决与截距相关问题时,注意过原点的直线横？纵截距都为0,不可设截距式.

10．【答案】     

【解析】直线的倾斜角为，先由斜率公式可得，再由，可得出直线的倾斜角.

详解：直线的倾斜角为

直线过两点，则

，且，所以

故答案为：；

【点睛】

本题考查由两点坐标求直线的斜率可根据斜率求直线的倾斜角，属于基础题.

四．填空题

11．【答案】

【解析】先求直线的斜率,进而用反三角函数转化为倾斜角即可.

详解：直线的斜率为,设倾斜角为,所以,

则

故答案为：

【点睛】

本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题,考查计算能力．

12．【答案】

【解析】求出向量的坐标，进而可得出直线的点向式方程.

详解：．，，因此，直线的点向式方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查直线的点向式方程的求解，求出直线的方向向量是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.

13．【答案】

【解析】设，，根据向量运算得到，代入直线方程化简得到答案.

详解：设，，，则，

故，点在直线，故，

整理得到.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了轨迹方程，意在学生的计算能力和转化能力.

14．【答案】

【解析】设所求直线方程为，利用平行直线间的距离公式得到值.

详解：设所求直线为，由与，距离相等，则与，平行.

设直线的方程为：

则由两平行直线间的距离公式有，即，解得

∴直线的方程为：

故答案为：

【点睛】

本题考查两直线间的距离，利用待定系数法设直线方程，解题的关键是熟练掌握两平行线间的距离公式.属于基础题.

15．【答案】

【解析】设出两直线夹角平分线所在直线的方程，根据到角公式即可求出．

详解：因为直线的倾斜角为，的倾斜角为，且

由解得两直线的交点坐标为，所以可设两直线夹角平分线所在直线的方程为：．

∴，解得，即两直线夹角平分线所在直线的方程为：．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查到角公式的应用，属于基础题．

16．【答案】

【解析】根据条件以及中点坐标公式可得，即可求解.

【详解】

过点的直线与轴．轴分别交于．两点，

恰为线段的中点，则，

所以方程为，即.

故答案为: .

【点睛】

本题考查求直线方程，属于基础题.

17．【答案】

【解析】先由直线过两点，求出直线方程，再利用点在直线上，求出的值.

详解：由直线过两点，得，

则直线方程为：，得，

即，又点在直线上，得，得.

故答案为：

【点睛】

本题考查了已知两点求直线的方程，直线方程的应用，属于容易题.

18．【答案】

【解析】详解：设，以所在直线为轴．其中垂线所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示），则，设，由，得，即，

则，

则，

即，

解得，即，

即面积的最大值为.