高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆1 直线与直线的方程1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系课堂检测

第一章直线与圆

§1　直线与直线的方程

1.1　一次函数的图象与直线的方程　1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.若直线经过O(0,0),A(1,)两点,则直线OA的倾斜角为(　　)

A. B. C. D.

答案B

解析设直线OA的倾斜角为α,α∈[0,π),则tanα=,∴α=.

2.已知直线l经过A(1,2),B(3,5),则直线l的一个方向向量为(　　)

A.(2,3) B.(3,2) 

C.(1,5) D.(-3,2)

答案A

解析∵直线经过A(1,2),B(3,5),∴=(3-1,5-2)=(2,3),∴直线l的一个方向向量为(2,3).

3.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值是(　　)

A.5 B.8 C. D.7

答案C

解析由斜率公式可得=1,解得m=.

4.一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为(　　)

A.α B.180°-α

C.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α

答案D

解析如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;当l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°-α.故选D.

5.若三点A(2,3),B(3,2),C,m共线,则实数m的值为(　　)

A.2 B. C. D.

答案C

解析根据斜率公式得kAB=-1,kAC=,

∵A,B,C三点共线,∴kAB=kAC,

∴=-1,∴m=.

6.a,b,c是两两不等的实数,则经过P(b,b+c),C(a,c+a)两点直线的倾斜角为　　　　. 

答案45°

解析由题意知,b≠a,

所以k==1,

故倾斜角为45°.

7.在平面直角坐标系中,正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB所在直线的斜率之和为　　　　　. 

答案0

解析如图,易知kAB=,kAC=-,则kAB+kAC=0.

8.直线l的一个方向向量d=(3,),则直线l的倾斜角是　　　　,直线的斜率是　　　　. 

答案

解析d=(3,)=31,,设c=1,,则d∥c.由向量d=(3,)是直线l的一个方向向量,得c=1,也为直线l的一个方向向量,则直线l的斜率为,所以倾斜角为.

9.已知点A(1,2),在坐标轴上求一点P使直线PA的倾斜角为60°.

解当点P在x轴上时,设点P(a,0),

∵A(1,2),∴kPA=.

又∵直线PA的倾斜角为60°,

∴tan60°=,解得a=1-.

∴点P的坐标为1-,0.

当点P在y轴上时,设点P(0,b).

同理可得b=2-,

∴点P的坐标为(0,2-).

综上所述,点P的坐标为1-,0或(0,2-).

等级考提升练

10.(2020江苏启东中学高二期中)已知直线l经过两点O(0,0),A(1,),直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍,则直线m的斜率是(　　)

A.- B.- C. D.

答案A

解析依题意kOA=,所以直线l的倾斜角为,所以直线m的倾斜角为,所以直线m的斜率为tan=-.故选A.

11.(2020山东菏泽期中)经过A(0,2),B(-1,0)两点的直线的方向向量为(1,λ),则λ=(　　)

A.1 B.2 C. D.

答案B

解析经过A(0,2),B(-1,0)两点的直线的方向向量为(1,λ),

∴,

解得λ=2.

故选B.

12.若a=,b=,c=,则(　　)

A.a<b<c B.c<b<a

C.c<a<b D.b<a<c

答案B

解析表示函数y=lnx图象上的点(x,y)与点D(1,0)连线的斜率,如图所示.

令a=kDA,b=kDB,c=kDC,由图知kDC<kDB<kDA,即c<b<a.

13.(2020湖南长郡中学高二月考)直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围为(　　)

A.[0,p) B.0,∪π,π

C.0, D.0,∪,π

答案D

解析直线l的斜率为k==1-m2,因为m∈R,所以k∈(-∞,1],所以直线的倾斜角的取值范围是0,∪,π.故选D.

14.(多选题)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率可能是(　　)

A.-2 B. C.1 D.

答案ACD

解析当直线l过点B时,设直线的斜率为k1,则k1==-,当直线l过点A时,设直线的斜率为k2,则k2==1,故直线l的斜率的取值范围为k≥1或k≤-,故选ACD.

15.若直线l与y轴的夹角为60°,则直线l的倾斜角为　　　　,斜率为　　　　. 

答案30°或150°　或-

解析如图所示,若直线为l1,则直线的倾斜角为α1,α1=90°+60°=150°,tanα1=k1=-,若直线为l2,则直线的倾斜角为α2,α2=90°-60°=30°,k2=tanα2=tan30°=.

16.已知过点(-,1)和点(0,b)的直线l的倾斜角为α,α满足30°≤α≤60°,则b的取值范围为　　　　. 

答案[2,4]

解析设直线l的斜率为k,∵30°≤α≤60°,

∴≤tanα≤,

∴≤k≤.

又k=,∴,解得2≤b≤4.

17.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.

(1)求直线l的斜率k的取值范围;

(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.

解如图所示,由题意可知

kPA==-1,kPB==1.

(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1.

(2)由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是45°,PA的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.

18.点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上,当x∈[2,5]时,求的取值范围.

解的几何意义是过M(x,y),N(-1,-1)两点的直线的斜率.

∵点M在函数y=-2x+8的图象上,且x∈[2,5],

∴点M在线段AB上运动,且A(2,4),B(5,-2).

设直线NA,NB的斜率分别为kNA,kNB.

∵kNA=,kNB=-,

∴-.

∴的取值范围是-.

新情境创新练

19.

如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,一边在x轴的正半轴上,已知∠BOD=60°,求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.

解在菱形OBCD中,OD∥BC,∠BOD=60°,

所以直线OD,BC的倾斜角相等,都为60°,所以斜率kOD=kBC=tan60°=;

∵CD∥OB,且OB在x轴上,所以直线OB,CD的倾斜角相等,都为0°,

所以斜率kOB=kCD=0;

由菱形的性质知,

∠COB=×60°=30°,∠OBD=60°,

所以直线OC,BD的倾斜角分别为30°,120°,

所以两条对角线的斜率分别为:kOC=tan30°=,kBD=tan120°=-.