北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 直线与圆锥曲线的综合问题课时练习

章末综合测评(一)　直线与圆

(满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)

1．若直线过点，，则此直线的倾斜角是(　　)

A．30°　　 　B．45°　　　 C．60°　　　 D．90°

A　[由k＝＝得，此直线的倾斜角为30°．]

2．若两直线ax＋2y＝0和x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则a的值是(　　)

A．－1或2　　B．－1　　C．2　　D．

C　[由a(a－1)－1×2＝0得a＝－1或2，

经检验a＝－1时，两直线重合，所以a＝2．]

3．点P(－1，2)到直线8x－6y＋15＝0的距离为(　　)

 A．2　　B．　　C．1　　D．

B　[由点到直线的距离公式得

d＝＝．]

4．点M关于点N的对称点为P，则(　　)

A．m＝－3，n＝10 B．m＝3，n＝10

C．m＝－3，n＝5 D．m＝3，n＝5

D　[∵M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)

∴＝n，＝－3，

∴n＝5，m＝3．故选D．]

5．以A，B为端点的线段的垂直平分线方程是(　　)

A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0

C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0

B　[∵kAB＝＝，AB的中点坐标为(－2，2)，

∴所求直线方程为y－2＝－3(x＋2)，即3x＋y＋4＝0．故选B．]

6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为(　　)

A．　　B．2　　C．　　D．2

D　[由题意得直线方程为y＝x，圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心到直线的距离d＝＝1，弦长|AB|＝2＝2．]

7．已知A(1，2)，B(－1，4)，C(5，2)，则△ABC的边AB上的中线所在的直线方程为(　　)

A．x＋5y－15＝0 B．x＝3

C．x－y＋1＝0 D．y＝3

A　[边AB的中点D，由直线方程的两点式得直线CD的方程为＝，整理得x＋5y－15＝0．]

8．不论a为何数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

D　[由(a－3)x＋2ay＋6＝0，得(x＋2y)a＋(6－3x)＝0．

令得

∴直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．]

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)

9．下列过点的直线方程是(　　)

A．y－2＝k(x＋1) B．k＝

C．x＋1＝0 D．y－2＝0

ACD　[经检验，只有B不正确．]

10．使得方程 －x－m＝0有实数解，则实数m的可能取值是(　　)

A．m＝－4 B．m＝4

C．m＝4 D．m＝－4

ABC　[设f(x)＝，g(x)＝x＋m，在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图形，如图所示．则m是直线y＝x＋m在y轴上的截距．由图可知－4≤m≤4，故选ABC．]

11．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为原点，则实数a的可能值为(　　)

A．2　　B．－2　　C．　　D．－

AB　[由|＋|＝|－|，得OA⊥OB，又OA＝OB，∴△OAB是等腰直角三角形，∴圆心到直线x＋y＝a即x＋y－a＝0的距离d＝r，即＝×2，解得a＝±2．]

12．已知ab≠0，点M(a，b)是圆x2＋y2＝r2内一点，直线m是以点M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是(　　)

A．m∥l B．l⊥m

C．l与圆相离 D．l与圆相交

AC　[直线m与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋y＝r2，x＋y＝r2，

两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，

所以kAB＝＝－＝－，

所以m的方程为y－b＝－(x－a)，即ax＋by－a2－b2＝0，

则m∥l．圆心(0，0)到l的距离d＝，

又M(a，b)在圆内，a2＋b2＜r2，d＞r，l与圆相离，故选AC．]

三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．

8　[圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，

圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，

∴|C1C2|＝5．又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，

∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8．]

14．已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且P点到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为________．

(2，－1) 或(1，2)　[点P在直线3x＋y－5＝0上，设P(x0，y0)，即P(x0，5－3x0)．

由点到直线的距离公式，

得＝，解得x0＝2或x0＝1，所以点P的坐标为(2，－1) 或(1，2)．]

15．直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＝4相交于两点M，N，若满足C2＝A2＋B2，则·(O为坐标原点)等于________．

－2　[由点到直线的距离公式，得d＝＝1，

所以cos＝，所以＝，即∠MON＝，

所以·＝2×2×cos＝－2．]

16．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则|OP|的最小值为________；四边形PAOB面积的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)

2　8　[如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA．又OA⊥AP，

所以S四边形PAOB＝2×|OA|·|PA|＝2＝2．

为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，

即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离|OP|min＝＝2．

故所求最小值为2＝8．]

四、解答题(本大题6小题， 共70分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．

(1) l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；

(2) l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

[解]　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，①

又l1过点(－3，－1)，

∴－3a＋b＋4＝0．②

解①②组成的方程组得

(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，

∴直线l1的斜率存在．

∴k1＝k2，即＝1－a．③

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2，

∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝－(－b)．④

由③④联立，解得或

经检验此时的l1与l2不重合，故所求值为

或

18．(本小题满分12分)求圆心在圆＋y2＝2上，且与x轴和直线x＝－都相切的圆的方程．

[解]　设圆心坐标为(a，b)，半径为r，

因为圆＋y2＝2在直线x＝－的右侧，且所求的圆与x轴和直线x＝－都相切，所以a＞－．

所以r＝a＋，r＝|b|．

又圆心(a，b)在圆＋y2＝2上，

所以＋b2＝2，联立

解得

所以所求圆的方程是＋(y－1)2＝1，或＋(y＋1)2＝1．

19．(本小题满分12分)已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2， 2)和原点O．

(1)求圆C的方程；

(2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1， 0)，若l1，l2被圆C所截得弦长相等，求此时直线l1的方程．

[解]　(1)由题意知，直线x＋y＋2＝0过圆C的圆心，设圆心C(a， －a－2)．

由题意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，解得a＝－2．

因为圆心C(－2，0)，半径r＝2，

所以圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝4．

(2)由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，

所以l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，l2：y＝－(x＋1)，即x＋ky＋1＝0．

由题意，得圆心C到直线l1，l2的距离相等，

所以＝，解得k＝±1，

所以直线l1的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0．

20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于点P，Q，

(1)求直线PQ的方程；

(2)求线段PQ的取值范围．

[解]　(1)依题意，A，P，C，Q四点共圆，其中线段AC是该圆的直径，故该圆的方程为x＋y＝0，

所以直线PQ的方程为x0x－3y＋7＝0．

(2)由圆的弦长公式得 ＝ 2 ＝ 2，

所以线段PQ的取值范围是．

21．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．

(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；

(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．

[解]　(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，半径r＝5，

由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b>0)．且＝b＋5．

解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1．

(2)∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0．

又|BC|＝|OA|＝＝2．

由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d＝＝＝2．

即＝2，解得m＝5或m＝－15．

∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15．

(3)由＋＝，则四边形AQPT为平行四边形，

又∵P，Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10．

∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10，

解得2－2≤t≤2＋2．

故所求t的取值范围为[2－2，2＋2]．

22．(本小题满分12分)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P、Q两点，且·＝0(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．

[解]　将x＝3－2y代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，得5y2－20y＋12＋m＝0．

设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件

y1＋y2＝4，y1y2＝．

∵·＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，

而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2，

∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2，

∴9－6×4＋5×＝0，

∴m＝3，此时Δ＞0，圆心坐标为，半径r＝．