高中数学第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示同步达标检测题

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课时跟踪检测（十四） 函数的表示法层级(一)　“四基”落实练1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　　)A．y＝2x　　　　　　　　　 B．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})   D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})解析：选D　题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}．2．若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)等于(　　)A．x＋1　　　　　　　　　 B．x－1C．2x＋1   D．3x＋3解析：选A　因为3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，所以3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，解得f(x)＝x＋1，选A.3．如果f＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于(　　)A.   B.C.   D.－1解析：选B　令t＝，得x＝，所以f(t)＝＝，所以f(x)＝.4．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f等于(　　)A．1   B．3C．15   D．30解析：选C　令1－2x＝t，则x＝(t≠1)，∴f(t)＝－1(t≠1)，即f(x)＝－1(x≠1)，∴f＝16－1＝15.5．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为(　　)A．y＝x(x>0)   B．y＝x(x>0)C．y＝x(x>0)   D．y＝x(x>0)解析：选C　正方形外接圆的直径是它的对角线，又正方形的边长为，由勾股定理得(2y)2＝2＋2，∴y2＝，即y＝x(x>0)．6．已知函数f(＋1)＝x－4，则f(x)的解析式为__________．解析：令t＝＋1≥1，则x＝(t－1)2，故f(t)＝(t－1)2－4＝t2－2t－3(t≥1)，所以f(x)＝x2－2x－3(x≥1)．答案：f(x)＝x2－2x－3(x≥1)7.已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为________；g(f(1))的值为________.x123f(x)230 解析：由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.由表格知f(1)＝2，所以g(f(1))＝g(2)＝1.答案：2　18．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f(f(－3))的值．解：因为f(2)＝1，所以＝1，即2a＋b＝2，①又因为f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.代入①得a＝.所以f(x)＝＝.所以f(f(－3))＝f＝f(6)＝＝. 层级(二)　能力提升练1．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________．解析：设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0，且x≠0)，则F(x)＝kx＋.由F＝16，F(1)＝8，得解得所以F(x)＝3x＋(x≠0)．答案：F(x)＝3x＋(x≠0)2．设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，则f(x)的解析式为________________．解析：法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(x－2)＝f(－x－2)得4a－b＝0. ①又因为|x1－x2|＝＝2，所以b2－4ac＝8a2.  ②又由已知得c＝1.  ③由①②③解得a＝，b＝2，c＝1，所以f(x)＝x2＋2x＋1.法二：因为y＝f(x)的图象有对称轴x＝－2，又|x1－x2|＝2，所以y＝f(x)的图象与x轴的交点为(－2－，0)，(－2＋，0)，故可设f(x)＝a(x＋2＋)(x＋2－)．因为f(0)＝1，所以a＝.所以f(x)＝[(x＋2)2－2]＝x2＋2x＋1.答案：f(x)＝x2＋2x＋13．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)的图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)若函数y＝g(x)满足g(2x＋1)＝f(x)，求函数y＝g(x)的解析式．解：(1)由题意得解得∴f(x)＝－x2－2x＋3.(2)g(2x＋1)＝f(x)＝－x2－2x＋3，设2x＋1＝t，则x＝，∴g(t)＝－2－2·＋3＝－－＋，∴g(x)＝－－＋.4．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；(2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域．解：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：x－2－101234y－503430－5描点，连线，得函数图象如图所示．(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)＜f(0)＜f(1)．(2)根据图象，容易发现当x1＜x2＜1时，有f(x1)＜f(x2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]． 层级(三)　素养培优练1．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为[1,4]，这样的函数有多少个？试写出其中的两个函数：____________________________.解析：由题意知1≤x2≤4，则－2≤x≤－1或1≤x≤2.∴函数的定义域为[－2，－1]∪[1,2]．画出函数的图象可知有无数个这样的函数．答案：y＝x2，x∈[－2，－1]或y＝x2，x∈[－2，－1]∪[1,2]2．某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，若该车每次拖4节车厢，一天能来回16次(来、回各算作一次)，若每次拖7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式．(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．解：(1)设每天来回y次，每次拖x节车厢，则可设y＝kx＋b(k≠0)．由题意，得16＝4k＋b,10＝7k＋b，解得k＝－2，b＝24，所以y＝－2x＋24.(2)设这列火车每天来回总共拖挂的车厢节数为S，则由(1)知S＝xy，所以S＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，所以当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12，则每日最多运营的人数为110×72＝7 920.所以这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.