数学必修 第一册3.2 函数的基本性质课时作业

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课时跟踪检测（十八） 奇偶性层级(一)　“四基”落实练1．(多选)下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是(　　)A．y＝|x|　　　　　　　　 B．y＝1－x2C．y＝－   D．y＝2x2＋4解析：选AD　根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|，是偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于B，y＝1－x2，是二次函数，在区间(0,1)上为减函数，不符合题意；对于C，y＝－，是反比例函数，是奇函数，不符合题意；对于D，y＝2x2＋4，为二次函数，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意．2．若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为(　　)A．0   B．－1C．1   D．2解析：选C　∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，解得a＝1.3．设函数f(x)＝且f(x)为偶函数，则g(－2)等于(　　)A．6   B．－6C．2   D．－2解析：选A　g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.4．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]   B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)   D．[－2,2]解析：选D　由f(a)≥f(－2)得f(|a|)≥f(2)，∴|a|≤2，∴－2≤a≤2.5. (多选)若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为R上的偶函数，当－1≤x≤2时，下列说法正确的是(　　)A．m＝1   B．m＝2C．f(x)min＝2   D．f(x)max＝6解析：选BCD　根据题意，函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为R上的偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)，必有m－2＝0，即m＝2，则f(x)＝x2＋2，为开口向上的二次函数，当－1≤x≤2时，其最小值为f(0)＝2，最大值为f(2)＝6.6．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋＋5，且f(6)＝8，则f(－6)＝________.解析：令g(x)＝ax3＋bx＋，则f(x)＝g(x)＋5，所以g(6)＝f(6)－5＝3.又g(－x)＝－ax3－bx－＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(－6)＝－g(6)＝－3.所以f(－6)＝g(－6)＋5＝2.答案：27．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________________．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0)．答案：f(－2)<f(1)<f(0)8．已知定义在[－3,3]上的函数y＝f(x)是增函数．(1)若f(m＋1)＞f(2m－1)，求m的取值范围；(2)若函数f(x)是奇函数，且f(2)＝1，解不等式f(x＋1)＋1＞0.解：(1)由题意可得，求得－1≤m＜2，即m的取值范围是[－1,2)．(2)∵函数f(x)是奇函数，且f(2)＝1，∴f(－2)＝－f(2)＝－1，∵f(x＋1)＋1＞0，∴f(x＋1)＞－1，∴f(x＋1)＞f(－2)，∴∴－3＜x≤2.∴不等式的解集为{x|－3＜x≤2}． 层级(二)　能力提升练1．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)A．f(x)g(x)是奇函数   B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数   D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选AC　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数．2．(2020·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)A．[－1,1]∪[3，＋∞)   B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞)   D．[－1,0]∪[1,3]解析：选D　法一：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，故选D.法二：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)<0，不符合题意，排除A、C.故选D.3．已知函数f(x)是定义在[a－1,2a]上的偶函数，且当x>0时，f(x)单调递增，则关于x的不等式f(x－1)>f(a)的解集为________________．解析：因为f(x)是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，解得a＝，则f(x)的定义域为.由偶函数的性质知，f(x－1)>f(a)⇔f(|x－1|)>f(a)．又x>0时，f(x)单调递增，所以|x－1|>　①.又－≤x－1≤　②，联立①②解得≤x<或<x≤.故不等式f(x－1)>f(a)的解集为∪.答案：∪  4．已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝，h(x)＝.(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；(3)由此你能猜想出什么样的结论？解：(1)∵g(－x)＝＝g(x)，h(－x)＝＝－h(x)，∴g(x)是偶函数，h(x)是奇函数．(2)g(x)＋h(x)＝＋＝f(x)．(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．5．已知函数f(x)＝是奇函数，x∈(－1,1)．(1)求实数a和b的值；(2)求证：函数f(x)在(－1,1)上单调递增；(3)若对于任意的t∈(0,1)，不等式f(t2－2t)＋f(－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)∵f(x)＝是奇函数，x∈(－1,1)，∴f(0)＝a＝0，f(x)＝，∵f(－x)＝－f(x)对任意的x∈(－1,1)都成立，∴＝－，∴－bx＝bx即b＝0，故a＝b＝0.(2)由(1)知f(x)＝，设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.∵－1＜x1＜x2＜1，∴＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．(3)∵t∈(0,1)，f(t2－2t)＋f(－k)＜0恒成立，∴f(t2－2t)＜－f(－k)＝f(k)，∴t2－2t＜k，∵t∈(0,1)，而y＝t2－2t在(0,1)单调递减，∴－1＜t2－2t＜0，∴k≥0，故k的取值范围为[0，＋∞)． 层级(三)　素养培优练1．(多选)给出定义：若m－<x≤m＋(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m.则下列关于函数f(x)＝x－{x}的四个命题中是真命题的有(　　)A．函数y＝f(x)的定义域是R，值域是B．函数y＝f(x)是偶函数C．函数y＝f(x)是奇函数D．函数y＝f(x)在上单调递增解析：选AD　化简函数解析式可得，f(x)＝x－{x}＝画出该函数的图象，如图所示，由图象可知A、D正确．2．已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足：①∀x，y∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)>0，且f(2)＝1.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(3)求函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集．解：(1)函数f(x)的定义域关于原点对称．令y＝1，则f(x)＝f(x)＋f(1)，∴f(1)＝0.令x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则有>1.∵当x>1时，f(x)>0，∴f>0.而f(x2)＝f＝f(x1)＋f>f(x1)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，且f(2)＝1，∴f(4)＝2.又由(1)(2)知函数f(x)是偶函数且在(0,4]上单调递增，∴函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)＝f(－4)＝2.(4)∵f(3x－2)＋f(x)＝f[x(3x－2)]，4＝2＋2＝f(4)＋f(4)＝f(16)，∴原不等式等价于f[x(3x－2)]≥f(16)，又函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴原不等式又等价于即x(3x－2)≥16或x(3x－2)≤－16，解得x≤－2或x≥，∴不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集为.