数学人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质巩固练习

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课时跟踪检测（十六） 函数的单调性层级(一)　“四基”落实练1．若函数f(x)的定义域为R，且满足f(1)＜f(2)＜f(3)，则函数f(x)在(0，＋∞)上(　　)A．单调递增　　　　　　　 B．单调递减C．先增后减   D．不能确定解析：选D　由于函数单调性的定义突出了x1，x2的任意性，所以仅凭区间内几个函数值的关系，不能作为判断函数单调性的依据，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．2．(多选)下列函数中在(－∞，－1)上是增函数的是(　　)A．y＝   B．y＝1－x2C．y＝x2＋x   D．y＝1－x解析：选AB　A中，y＝＝1－在(－∞，－1)上是增函数；B中，y＝1－x2在(－∞，－1)上是增函数；C中，y＝x2＋x＝2－在上是减函数，D中，y＝1－x在(－∞，－1)上是减函数，故选A、B.3．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上(　　)A．单调递减　　　　　　　　 B．单调递增C．先减后增   D．先增后减解析：选C　y＝|x＋2|＝作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2,0]上为增函数．4．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递减，则下列关系式一定成立的是(　　)A．f(a)>f(2a)   B．f(a2)<f(a)C．f(a2＋a)<f(a)   D．f(a2＋1)<f(a2)解析：选D　因为f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递减，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)<f(a2)．故选D.5．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都单调递减，则a的取值范围是(　　)A．(－1,0)∪(0,1)   B．(－1,0)∩(0,1)C．(0,1)   D．(0,1]解析：选D　因为g(x)＝在区间[1,2]上单调递减，所以a＞0.因为函数f(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1,2]上为单调递减，所以a≤1.故满足题意的a的取值范围是(0,1]．6．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是___________．解析：函数f(x)＝2x2－3|x|＝图象如图所示，f(x)的单调递减区间是，.答案：，7．函数y＝f(x)是定义域为R的增函数，且y＝f(x)的图象经过点A(－2，－3)和B(1,3)，则不等式|f(x)|＜3的解集为________．解析：∵|f(x)|＜3，∴－3＜f(x)＜3，∵y＝f(x)的图象经过点A(－2，－3)和B(1,3)，∴f(－2)＝－3，f(1)＝3，又∵y＝f(x)是定义域为R的增函数，∴f(－2)＜f(x)＜f(1)，∴－2＜x＜1.答案：(－2,1)8．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．解：设1<x1<x2，∴x1x2>1.∵函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－＝(x1－x2)<0.∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.∵1<x1<x2，x1x2>1，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.∴a的取值范围是[－1，＋∞)．  层级(二)　能力提升练1．已知函数f(x)的定义域为R，且对任意两个不相等的实数a，b都有(a－b)[f(a)－f(b)]＞0，则不等式f(3x－1)＞f(x＋5)的解集为(　　)A．(－∞，3)   B．(－∞，2)C．(3，＋∞)   D．(2，＋∞)解析：选C　不妨设a＞b，∵(a－b)[f(a)－f(b)]＞0，∴f(a)＞f(b)，∴f(x)是R上的增函数，原不等式等价于3x－1＞x＋5，解得x＞3，∴原不等式的解集为(3，＋∞)．2．已知函数f(x)＝满足对任意的x1，x2，都有＜0成立，则a的取值范围是(　　)A．(0,3)   B．(0,3]C．(0,2)   D．(0,2]解析：选D　根据题意知，f(x)在R上单调递减，则解得0＜a≤2，∴a的取值范围为(0,2]．3．函数y＝f(x)在(－2,2)上为增函数，且f(2m)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是________．解析：由题意知解得<m<1.答案：4．已知函数f(x)＝ax＋的图象经过点A(1,1)，B(2，－1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明．解：(1)∵f(x)的图象过点A(1,1)，B(2，－1)，∴解得∴f(x)＝－x＋.(2)函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x2－x1)＋＝(x2－x1)＋＝.由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2＞0，x1x2＋2＞0，由x1＜x2，得x2－x1＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴函数f(x)＝－x＋在(0，＋∞)上是减函数．5．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5.(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．解：(1)由题意设f(x)＝ax＋b(a>0)．从而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，所以解得或(不合题意，舍去)．所以f(x)的解析式为f(x)＝4x＋1.(2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图象的对称轴为直线x＝－.若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－≤1，解得m≥－，所以实数m的取值范围为. 层级(三)　素养培优练1．(多选)定义[x]为不大于x的最大整数，对于函数f(x)＝x－[x]有以下四个结论，其中正确的是(　　)A．f(2 021.67)＝0.67B．在每一个区间[k，k＋1)(k∈Z)上，函数f(x)都单调递增C．f<fD．y＝f(x)的定义域是R，值域是[0,1)解析：选ABD　在A中，f(2 021.67)＝2 021.67－2 021＝0.67，故选项A正确；在B中，任取x∈[k，k＋1)，则x＝k＋t,0≤t<1，因此f(x)＝k＋t－k＝t＝x－k是增函数，故选项B正确；在C中，f＝－－(－1)＝，f＝－0＝，而>，故选项C错误；在D中，显然f(x)的定义域为R，任取x∈[k，k＋1)(k∈Z)，则f(x)＝x－k∈[0,1)，故选项D正确．故选A、B、D.2．已知函数f(x)＝x2－2x－3.(1)设集合A＝{x|f(x)>0}，B＝{x|f(x)＝0}，C＝{x|f(x)<0}，分别指出2,3,4是A，B，C中哪个集合的元素；(2)若∃a∈R，∀x1，x2∈[a，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，求实数a的取值范围．解：(1)由f(x)＝x2－2x－3，得f(2)＝22－2×2－3＝－3<0，∴2∈C；f(3)＝32－2×3－3＝0，∴3∈B；f(4)＝42－2×4－3＝5>0，∴4∈A.故2∈C,3∈B,4∈A.(2)∵f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．由∃a∈R，∀x1，x2∈[a，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，得函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，∴[a，＋∞)⊆[1，＋∞)，因此a≥1，即a的取值范围是{a|a≥1}．