突破3.1 函数的概念及其表示（重难点突破）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

突破3.1 函数的概念及其表示考情分析考点梳理【基础知识梳理】一、函数的概念1．函数与映射的相关概念(1)函数与映射的概念注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.二、函数的三要素1．函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.2．函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.3．函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，当a>0时，二次函数的值域为；当a<0时，二次函数的值域为.求二次函数的值域时，应掌握配方法：.三、分段函数分段函数的概念若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.(2)映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．三、题型突破(一)、判断对应关系（图像）是否为函数.1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．例1．（1）．（2021·全国高一专题练习）（多选题）下列各图中，是函数图象的是（ ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解.【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，满足条件的只有BD.故选：BD（2）．（2021·全国高一课时练习）（多选）集合，下列表示从到的函数的是（ ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据函数的定义，当时，根据对应法则检验对应的函数值是否在集合B中，即可得到答案.【详解】由题意，集合，对于A中，，当时，则，可得表示从到的函数；对于B中，，当时，则，可得表示从到的函数；对于C中，，当时，则，可得不能表示从到的函数；对于D中，，当时，则，可得表示从到的函数.故选：ABD （3）．（2021·全国高一课时练习）如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ） A．B．C．D．【答案】A【分析】根据函数的定义逐一判断即可得出答案.【详解】解：①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义，即A中每一个元素在对应法则下，在中都有唯一的元素与之对应，对于④⑤，A的每一个元素在中有个元素与之对应，∴不是A到的函数，对于⑥，A中的元素、在中没有元素与之对应，∴不是A到的函数，综上可知， 是函数的个数为.故选：A.（4）．（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）函数的图象大致为（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析函数的奇偶性及其在区间上的单调性，由此可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，，函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除B、C选项；当时，，因为，在区间上都是增函数，所以函数在上单调递增，排除A选项，故选：D.【变式训练1-1】．（2021·全国）下列各图中，不能表示是的函数的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】选项B不满足函数的定义，选项A、C、D满足函数的定义，即得解.【详解】在A中，对每一个，都有唯一的与之对应，所以是函数关系；在B中，存在，有两个的值与之对应，所以不是函数关系；在C，D中，对每一个，都有唯一的与之对应，所以都是函数关系. 故选：B.【变式训练1-2】．（2021·全国高一课时练习）下列图形中，不是函数图象的是（ ）A． B．C． D．．【答案】B【分析】根据函数的定义可判断.【详解】根据函数的定义：对于定义域内每一个，都有唯一一个与之对应，在B选项中，存在，有两个与之对应，故不是函数图象.故选：B.【变式训练1-3】．（2021·全国高一专题练习）函数的大致图像是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出函数定义域即可选，【详解】由已知函数定义域是，只有D符合．也可分类讨论：时，函数式为，时，函数式为，由此可得结论．故选：D．(二)、求函数的定义域.1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.考点精讲：求具体函数的定义域例2．（1）（2020·全国高三专题练习）求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）解不等式组即得解；（2）解不等式即得解；（3）解不等式组即得解；（4）解不等式即得解.【详解】（1）由题得，所以，所以且，所以函数的定义域为.（2）由题得，所以，所以函数的定义域为.（3）由题得，解之得且，所以函数的定义域为.（4）由题得，所以，所以函数的定义域为.【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.（2）、（2019·四川高一期中）函数的定义域是A．{x|x≥4} B．{x|x≤4} C．{x| x≥4且x≠±1} D．{x| x≤4且x≠±1}【答案】D【分析】根据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负列式解不等式组得结果.【详解】因为，所以选D.【点睛】求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大于零，实际意义等.（3）、（2021·浙江高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．【答案】【分析】有函数解析式知要使定义域为R，则恒成立，结合二次函数的性质即可求参数a的范围.【详解】当时，，即定义域为R；当，要使的定义域为R，则在上恒成立，∴，解得，综上，有，故答案为：【点睛】本题考查由函数定义域求参数范围，注意将问题转化为不等式恒成立问题，属于基础题.【变式训练2-1】．（2021·全国高一单元测试）函数的定义域为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据所给函数，利用函数有意义列出不等式组，再求解即得.【详解】函数有意义，则必有，解得且．函数的定义域为．故选：C【变式训练2-2】．（2020·全国高一课时练习）函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）A．a>1 B．0