人教版八年级上册本节综合同步练习题

专题11.2 与三角形有关的角（知识解读）-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读·专题训练》（人教版）

【直击考点】

 【学习目标】

1、理解三角形内角、外角的概念；

2、探索并证明三角形的内角和定理；

3、探索定掌握直角三角形的两个锐角互角，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形；

4、掌握三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和；

5、能够运用三角形内角和定理理解解决简单问题。

【知识点梳理】

考点 1 三角形的内角

①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。

②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。

测量法：                                    剪角拼角法 ：

考点2   直角三角形：

①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。

②有两个角互余的三角形是直角三角形

考点3   三角形的外角

 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角

②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。

【典例分析】

【考点1  三角形的内角】

1．如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（    ）

A．100° B．80° C．60° D．40°

2．如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（    ）

A．100° B．80° C．60° D．40°

3．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于（   ）

A．45° B．60° C．75° D．90°

4．下列图形中的x＝_____．

【考点2 直角三角形】

5．如图，在△ABC中，高BD，CF相交于点E，若∠A＝52°，则∠BEC＝（　　）

A．116° B．128° C．138° D．142°

6．如图，AC⊥BD，∠1=∠2，∠D=40°，则∠BAD的度数是（　　）

A．85° B．90° C．95° D．100°

7．如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD＝(　　)

A．45° B．54° C．56° D．66°

8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交边BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.若∠CAD＝20°，则∠EDB的度数是_____.

9．已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，，求的度数．

10．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=76°，∠C=64°，则∠DAE的度数是（    ）

A．10° B．12° C．15° D．18°

11．已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°．

（1）求∠DAE的度数．

（2）试写出∠DAE与∠C－∠B有何关系，给出证明．

【考点3  三角形的外角】

12．如图，在△ABC中，∠A=35°，∠C=45°，则与∠ABC相邻的外角的度数是（    ）

A．35° B．45° C．80° D．100°

13．如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为（　　）

A．105° B．120° C．75° D．45°

14．如图，在中，，，延长至点，则的大小为（    ）

A． B． C． D．

15．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（　　）

A．50° B．60° C．70° D．85°

16．将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　）

A．50° B．60° C．75° D．85°

17．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠ACD的度数为（　　）

A．45° B．60° C．75° D．80°

18．将一副三角板按如图所示的方式放置，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

19．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠AOB的大小为（　　）

A．75° B．45° C．30° D．15°

20．将一副直角三角板按如图所示方式放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（     ）

A．45° B．65° C．70° D．75°

21．如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E，∠ABC＝∠ACE．

（1）求证：AB//CE；

（2）猜想：若∠A＝50°，求∠E的度数．

22．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．

23．已知：如图，O是△ABC内一点，且BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．

(1)若∠A＝48°，求∠BOC；

(2)若∠A＝n°，求∠BOC；

(3)若∠BOC＝130°，利用第（2）题的结论求∠A．

24．（1）如图1，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P的度数是　　．

（2）如图2，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠EBC和∠FCD，则∠P的度数是　　．

（3）如图3，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACD，求∠P的度数．

参考答案：

1．B

【详解】由三角形内角和定理得，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°，

故选：B．

2．B

【详解】由三角形内角和定理得，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°，

故选：B．

3．C

【详解】设∠A=3x°，则∠B=4x°，∠C=5x°，

根据三角形内角和定理可得：3x+4x+5x=180°，

则x=15，

则∠C=5x=75°.

故答案为：C

【点睛】考点：三角形内角和定理

4．54°．

【分析】根据三角形内角和定理构建方程即可解决问题．

【详解】解：由三角形的内角和定理可得：2x+72°＝180°，

∴x＝54°，

故答案为54°．

【点睛】本题考查三角形内角和定理，一元一次方程等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题．

5．B

【分析】根据高的意义，得出直角，再根据三角形的内角和可求出∠ACF，最后根据外角的性质求出答案．

【详解】解：∵BD，CF是△ABC的两条高，

∴∠AFC＝ADB＝90°，

∴∠ACF＝90°﹣∠A＝90°﹣52°＝38°，

∴∠BEC＝90°+∠ACF＝90°+38°＝128°．

故选：B．

【点睛】本题考查三角形高的意义、三角形的内角和定理及三角形外角的性质，掌握三角形的内角和定理是正确解答的关键．

6．C

【分析】根据三角形的内角和定理即可求出答案．

【详解】∵AC⊥BD，∠1=∠2，

∴∠1=∠2=45°，

∵∠D=40°，

∴∠CAD=50°，

∴∠BAD=50°+45°=95°，

故选：C．

【点睛】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用三角形的内角和定理，本题属于基础题型．

7．D

【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ABF，根据三角形的外角性质求出即可．

【详解】解：∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB＝90°，

∵∠BAD＝42°，

∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝48°，

∵BE是△ABC的角平分线，

∴∠ABF＝∠ABD＝24°，

∴∠BFD＝∠BAD+∠ABF＝42°+24°＝66°，

故选：D．

【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义，解题的关键是熟记概念与定理并准确识图．

8．40°.

【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ADC＝70°，再证明△ADC≌△ADE,得到∠ADE=∠ADC＝70°，在根据平角定义求出∠EDB的度数.

【详解】∵∠ACB＝90°，∠CAD＝20°，

∴∠ADC＝70°，

∵DE⊥AB，

∴∠AED=∠ACB＝90°，

∵AD平分∠CAB，

∴∠DAE=∠CAD＝20°，

∵AD=AD,

∴△ADC≌△ADE,

∴∠ADE=∠ADC＝70°，

∴∠EDB=180°-2∠ADC=40°，

故填：40°.

【点睛】此题考查三角形全等的判定定理、三角形的内角和定理，题中求出∠ADE=∠ADC＝70°是解题的关键.

9．10°

【分析】根据三角形内角和定理为180度，得，根据三角形角平分线平分，三角形高为直角，即可求出的度数．

【详解】∵且，

∴

∵是的角平分线

∴

∴

又∵是的高

∴

∴在中，

∴

∴

∵

∴

∴

【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质等知识；解题的关键是掌握，三角形内角和为，角平分线平分角．

10．B

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解．

【详解】解：，，

，

是的角平分线，，

，

．

故选：B．

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．

11．（1）；（2）证明见解析

【分析】（1）先求解 再求解 再利用角的和差可得答案；

（2）先求解 再利用角的和差可得结论.

【详解】解：（1） ∠B＝30°，∠C＝50°，

AD，AE分别是 △ ABC的高和角平分线，

（2） 理由如下：

AD，AE分别是 △ ABC的高和角平分线，

【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的含义，三角形的高的含义，三角形的内角和定理，熟练的应用以上知识解题是关键.

12．C

【详解】解：与∠ABC相邻的外角的度数是∠A+∠C=35°+45°=80°．

故选C．

13．A

【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．

【详解】解：由三角形的外角性质可得：，

故选：A．

【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

14．A

【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算．

【详解】由三角形的外角性质可知，∠ACD=∠B+∠A=140°，

故选A．

【点睛】此题考查三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

15．D

【分析】根据外角的性质及角平分线的定义解题即可.

【详解】解：∵CE平分∠ACD，

∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，

∵∠ACD＝∠B+∠A，

∴∠A＝120°﹣35°＝85°，

故选：D．

【点睛】本题主要考查外角的性质及角平分线的定义，掌握外角的性质是解题的关键.

16．C

【分析】利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可．

【详解】∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°，

∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°，

故选C．

【点睛】考查了三角形外角的性质，解题关键是利用了三角形的外角的性质．

17．C

【分析】根据三角板的内角度数可知∠DCB=45°，∠ACB＝30°，相加即可．

【详解】解：由题意得：∠ACD＝∠DCB+∠ACB＝45°+30°＝75°，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了角度的运算，熟练掌握三角板各个内角的度数是解题的关键．

18．B

【分析】依据一幅直角三角板的度数有60°，45°，30°，90°，据此解答即可．

【详解】解：根据题意可得∠AOB=45°+90°=135°．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°，比较简单．

19．D

【分析】根据三角板的摆放位置，即可找出∠AOB＝45°﹣30°，此题得解．

【详解】解：∠AOB＝45°﹣30°＝15°．

故选：D．

【点评】本题考查了角的计算，观察图形，找出∠AOB＝45°﹣30°是解题的关键．

20．D

【分析】根据三角形内角和定理求出∠DMC，进而求出∠AMF，根据三角形外角性质得出∠1=∠A+∠AMF，代入求出即可．

【详解】按如图方式标注各点，

∵∠ACB=90°，

∴∠MCD=90°，

∵∠D=60°，

∴∠DMC=30°，

∴∠AMF=∠DMC=30°，

∵∠A=45°，

∴∠1=∠A+∠AMF=45°+30°=75°，

故选：D．

【点睛】本题主要考查的是三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．

21．（1）见解析；（2）25°

【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ECD=∠ACE，得到∠ABC=∠ECD，根据平行线的判定定理证明结论；

（2）根据三角形的外角性质、角平分线的定义计算，得到答案．

【详解】（1）证明：∵CE平分∠ACD，

∴∠ECD＝∠ACE，

∵∠ABC＝∠ACE，

∴∠ABC＝∠ECD，

∴AB∥CE；

（2）∵∠ACD是△ABC的一个外角，

∴∠ACD＝∠ABC+∠A，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠EBC，

∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A＝25°．

【点睛】本题考查的是三角形的外角性质及平行线的判定、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

22．24°

【分析】设∠1=∠2=x，根据三角形外角的性质可得∠3=∠4=2x．因为∠BAC=63°，根据三角形的内角和定理可得以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，解方程求得x=39°；即可得∠3=∠4=78°，再由三角形的内角和定理可得∠DAC=180°-∠3-∠4=24°．

【详解】设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．

因为∠BAC=63°，

所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，

所以x=39°；

所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°-∠3-∠4=24°．

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形的外角性质的应用，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和是180°是解题的关键．

23．(1)114°

(2)

(3)80°

【分析】（1）由三角形内角和定理、角平分线的定义可求得∠BOC的度数；

（2）由三角形内角和定理、角平分线的定义可求得∠BOC的度数；

（3）由（2）的结论即可求得∠A的度数．

（1）

解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−48°=132°，

∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，

∴，，

∴，

∴∠BOC=180°−(∠2+∠4)=180°−66°=114°；

（2）

解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−n°，

∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，

∴，，

∴，

∴；

（3）

解：由（2）知，，

解得：∠A=80°．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解一元一次方程等知识，掌握角平分线的定义及三角形内角和定理是解题的关键．

24．（1）125°（2）55°（3）35°

【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的性质即可求解；

（2）应用角平分线的性质，补角的概念即可求解；

（3）综合（1）、（2）解题思路即可求解；

【详解】解：（1）∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，

∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB），

＝×（180°﹣∠A）＝55°，

∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝125°，

故答案为：125°．

（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC，

∴∠EBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，

＝180°+70°＝250°，

∵BP、CP分别平分∠EBC和∠FCB，

∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，

∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB），

＝125°，

∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝55°，

故答案为：55°．

（3）∠ACD＝∠A+∠ABC，

∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，

∴∠PBC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACD＝∠A+∠ABC，

∵∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCA+∠ACB），

＝∠A＝35°，

即∠P等于∠A的一半，

答：∠P的度数是35°．

【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．