专训11.2.1.2 与角平分线有关的三角形内角和问题八年级上册考点专训（人教版）

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专训11.2.2 与角平分线有关的三角形内角和问题
一、单选题
1．如图，是的角平分线，，垂足为，交于，连结．若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由角平分线的性质得到，由三角形内角和定理可求得∠BAC，又有可求得∠BAF，继而根据∠EAD=∠BAC-∠BAF进行求解即可．
【详解】
解：，
，
∵BD平分∠ABC，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，灵活利用三角形内角和定理是解题的关键．
2．如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果．
【详解】
解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=160°，
∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，
∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACD，
∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，
∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB，
同理可得∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，
∴∠ABD5+∠ACD5=160×=5°，
∴∠BCD5+∠CBD5=155°，
∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．
3．如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．
故选：C．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
二、填空题
4．如图，△ABC中，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，并相交于点O，∠BOC＝140°，则∠A＝__°．

【答案】100
【分析】
先根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再根据三角形内角和定理计算出∠1+∠2的度数，进而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度数．
【详解】
解：如图，

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
∵∠BOC＝140°，
∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，
∴∠A＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100
【点睛】
本题考查了角的平分线及三角形内角和定理，熟练掌握角的平分线与三角形内角和定理是解题的关键．
5．如图，在中，于点D，平分，则_______．

【答案】19
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠BAC和∠DAC，求出∠EAC，即可求出答案．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠B=80°，∠C=42°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=58°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAC=×60°=29°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-42°=48°，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=48°-29°=19°，
故答案为：19．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，垂直定义，角平分线的定义等知识点，能求出∠DAC和∠EAC的度数是解此题的关键．
6．如图，在中，是高线，是角平分线，，，那么_______．

【答案】72°
【分析】
根据已知角的关系，设∠DCE=x，表示出其他角，再根据角平分线的定义得到∠ACE=2x，结合高的定义，在△ACD中，列出方程，求出x，从而得到∠A和∠ACB，最后利用三角形内角和定理求解．
【详解】
解：∵∠A=2∠DCE，2∠A=∠ACB，
设∠DCE=x，则∠A=2x，∠ACB=4x，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=2x，
∵CD是高，即∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，即2x+3x=90°，
∴x=18°，
∴∠A=36°，∠ACB=72°，
∴∠B=180°-36°-72°=72°，
故答案为：72°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，三角形的高，解题的关键是根据角的倍数关系表示出相应的角度．
7．如图，已知AB∥CD，AE、CE分别甲分∠FAB，∠FCD，∠F＝a，则∠E＝_________，（用含a的式子表示）

【答案】
【分析】
延长EA交CD于G，由平行线的性质得出∠AGD=∠EAB，由角平分线的定义得出∠EAF=∠EAB=∠AGD，∠ECF=∠ECD，由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】
解：延长EA交CD于G，如图所示：

∵AB∥CD，
∴∠AGD=∠EAB，
∵AE、CE分别平分∠FAB、∠FCD，
∴∠EAF=∠EAB=∠AGD，∠ECF=∠ECD，
∵∠AGD=∠ECD+∠E，
∴∠EAF=∠ECF+∠E，
∵∠CHF=∠AHE，
∴∠F+∠ECF=∠EAF+∠E，
即∠F+∠ECF=∠ECF+∠E+∠E，
∴∠E=∠F=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
8．如图，在中，，．若P为的角平分线，的交点，则________；若P为内一点，则________．

【答案】
【分析】
若P为的角平分线，的交点，可求出及的度数，然后根据三角形内角和定理得出答案；若P为内一点，可整体求出的度数，然后根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】
解：若P为的角平分线，的交点，
∵，
∴，
∴，
∴；
若P为内一点，
∵，
∴，
∴；
故答案为：112°，112°．
【点睛】
本题考查了三角形角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握整体思想的应用是解题的关键．
9．如图，在ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠DOC＝48°，则∠D＝_____°．

【答案】42
【分析】
根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】
解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠ACO＝∠ACB，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝∠ACE，
∵∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝（∠ACB+∠ACE）＝×180°＝90°，
∵∠DOC＝48°，
∴∠D＝90°﹣48°＝42°，
故答案为：42．

【点睛】
本题考查了角平分线和三角形内角和，解题关键是熟练运用相关性质进行计算求角．
10．如图，平分，平分，与交于，若，，则的度数为________．

【答案】60°
【分析】
根据三角形内角和定理可求得∠DBC+∠DCB的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC+∠ACB的度数，从而求得∠A的度数．
【详解】
解：连接BC．
∵∠BDC=120°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-120°=60°，
∵∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠GCB=180°-90°=90°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠GBD+∠GCD=∠ABD+∠ACD=30°，
∴∠ABD+∠ACD=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠A=180°-120°=60°．
故答案为：60°．

【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．
三、解答题
11．如图，在中，，为的角平分线．点为上一点，过点作射线，交于点．

（1）若，求的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）30°；（2）见解析
【分析】
（1）根据三角形内角和和角平分线的定义列式求解；
（2）根据对顶角相等和角平分线的定义以及同旁内角互补两直线平行进行判定．
【详解】
解：（1）∵为的角平分线．
∴
又∵在中，，
∴
（2）∵为的角平分线．
∴
∵，
∴
∴．
【点睛】
本题考查平行线的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
12．如图所示．在△ABC中，已知AD是∠BAC的平分线，∠B=66°，∠C=54°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．

【答案】（1）30°；（2）60°
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质求出∠BAD的度数；
（2）根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=30°；
（2）∵∠CAD=∠BAC=30°，又DE⊥AC，
∴在Rt△ADE中，∠EAD=30°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=60°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
13．如图，已知：平分，点是反向延长线上的一点，，，．求：和的度数．

【答案】；
【分析】
由三角形的内角和定理，结合垂线的定义可求解∠ADE的度数，根据角平分线的定义可求解∠DAC，∠BAC的度数，利用三角形的内角和定理可求解∠C，∠B的度数．
【详解】
解：，
，
，，
，
平分，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键．
14．如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数．

【答案】∠DAC=30°，∠EOF=120°
【分析】
在Rt△ACD中，根据两锐角互余得出∠DAC度数；△ABC中由内角和定理得出∠ABC度数，继而根据AE，BF是角平分线可得∠BAO、∠ABO，最后在△ABO中根据内角和定理可得答案．
【详解】
解：∵AD是BC上的高，
∴∠ADC=90°，
又∵∠C=60°，
∴∠DAC=90°-∠C=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=70°，∠BAO=∠BAC=25°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABO=∠ABC=35°，
∴∠EOF=∠AOB=180°-∠ABO-∠BAO=180°-35°-25°=120°．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和是180°和三角形高线、角平分线的定义是解题的关键．
15．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．

【答案】72°
【分析】
利用三角形内角和定理和角平分线的性质计算即可；
【详解】
解：∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∠B＝40°，∠C＝76°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝×64°＝32°．
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣32°＝18°．
∵DF⊥AE，
∴∠ADF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣18°＝72°．

【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，结合角平分线的性质计算是解题的关键．
16．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式　 　．

【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，得到∠BAE的度数，求出∠AED的度数，根据AD是高线，求得答案；
（2）根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，得到∠BAE的度数，求出∠AED的度数，根据AD是高线，求得答案．
【详解】
（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC=，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=，
∴∠AED=∠B+∠BAE=,
∵AD是高线，
∴AD⊥BC，
∴∠DAE=；
（2）∵∠B＝α，∠C＝β，
∴∠,
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE==
∴∠AED=∠B+∠BAE==
∵AD是高线，
∴AD⊥BC，
∴∠DAE==，
故答案为：．
【点睛】
此题考查三角形的基础知识，三角形的角平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，直角三角形两锐角互余，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．
17．如图，中，为上一点，，的角平分线交于点．

（1）求证：；
（2）为上一点，当平分且时，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）150°．
【分析】
（1）由角平分线定义得∠ABE=∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF=∠AFE；
（2）由角平分线定义得∠AFE=∠GFE，进而得∠AEF=∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果．
【详解】
解：（1）平分，



，

（2）平分，

∵




．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，关键是综合应用这些性质解决问题．
18．如图，与的角平分线交于点P．

（1）若，，求的度数；
（2）猜想，，的等量关系．
【答案】（1）32°；（2）．
【分析】
（1）根据对顶角相等可得∠AFC=∠BFP，∠BED =∠AEP，利用三角形的内角和定理可得∠C＋∠CAF=∠P＋∠PBF①，∠D＋∠DBE=∠P＋∠PAE②，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得∠C＋∠D=2∠P，从而求出∠P；
（2）根据对顶角相等可得∠AFC=∠BFP，∠BED =∠AEP，利用三角形的内角和定理可得∠C＋∠CAF=∠P＋∠PBF①，∠D＋∠DBE=∠P＋∠PAE②，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得∠C＋∠D=2∠P，从而证出结论．
【详解】
解：（1）∵∠AFC=∠BFP，∠BED =∠AEP
∴180°－（∠C＋∠CAF）=180°－（∠P＋∠PBF），180°－（∠D＋∠DBE）=180°－（∠P＋∠PAE）
∴∠C＋∠CAF=∠P＋∠PBF①，∠D＋∠DBE=∠P＋∠PAE②
①＋②，得
∠C＋∠CAF＋∠D＋∠DBE=∠P＋∠PBF＋∠P＋∠PAE
∵与的角平分线交于点P
∴∠CAF=∠PAE，∠DBE=∠PBF
∴∠C＋∠D=2∠P
∴∠P===32°；
（2），理由如下
∵∠AFC=∠BFP，∠BED =∠AEP
∴180°－（∠C＋∠CAF）=180°－（∠P＋∠PBF），180°－（∠D＋∠DBE）=180°－（∠P＋∠PAE）
∴∠C＋∠CAF=∠P＋∠PBF①，∠D＋∠DBE=∠P＋∠PAE②
①＋②，得
∠C＋∠CAF＋∠D＋∠DBE=∠P＋∠PBF＋∠P＋∠PAE
∵与的角平分线交于点P
∴∠CAF=∠PAE，∠DBE=∠PBF
∴∠C＋∠D=2∠P
∴∠P=．
【点睛】
此题考查的是三角形的内角和定理和角的和与差，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题关键．
19．（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为　 　．
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的数量关系．并说明理由．

【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D，理由见解析
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
（2）根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；
（3）根据角平分线的定义可得∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，结合三角形的内角和定理可得∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），进而可求解．
【详解】
解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，
由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°；
（3）2∠P＝∠B+∠D．
理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，
∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，
∵∠PAB＝∠FAG，
∴∠GAD＝∠PAB，
∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，
∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB①，
∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），
②
∴①②得：2∠P＝∠B+∠D．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，二元一次方程组的解法，掌握以上知识是解题的关键．
20．直线与直线垂直相交于，点在直线上运动，点在直线上运动．

（1）如图1，已知、分别是和的角平分线，点，在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小．

（2）如图2，已知不平行，、分别是和的角平分线，、分别是和的角平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
【答案】（1）不变，；（2）不变，．
【分析】
（1）不变，根据三角形内角和定理求出，根据、分别是和的角平分线，求得，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可；
（2）不变，延长、交于点，根据三角形内角和定理求出，进而得到，再根据、分别是和的角平分线，求得，进而求得，再根据三角形内角和定理得到，即 ，最后根据、分别是和的角平分线，得到，再根据三角形内角和定理得到的度数．
【详解】
（1）的大小不变，
直线与直线垂直相交于，
，
，
、分别是和的角平分线，
，，
，
；
（2）的大小不变．
延长、交于点，如图，

直线与直线垂直相交于，
，
，
，
、分别是和的角平分线，
，，
，
，
，
，
、分别是和的角平分线，
，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
21．如图1所示，已知，在钝角中，，点D在边BC的延长线上，连接AD，AE平分交CD于点E，过点E作，垂足为点直线EH与直线AC相交于点设，．

（1）求证：；
（2）设，．
①若，，则______，______；
②若D是线段BC的延长线上一动点，试探究与的关系，并说明理由；
（3）若将（2）中“D是线段BC的延长线上一动点”改为“D是线段CB的延长线上一动点”，其它条件不变，试完成下列问题：
①请在图2中补全图形；
②与的关系为_______________________________．
【答案】（1）见解析；（2）①，．②，理由见解析；（3）①见解析；②
【分析】
（1）根据，利用互余性质可得，，再利用等角的余角相等可得，再利用，进行等量代换即可得到答案；
（2）①在中利用内角和公式即可求，在中利用互余性质可求得；②设，，同①分别利用内角和公式和互余性质可得，，即可判断；
（3）①依据题意画出图形即可，注意D是线段CB的延长线上一动点，应在线段CB的延长线作图；②设，，利用角的和差可得，即，则，根据互余的性质得：，即可得：．
【详解】
（1）证明：，
，
，，
，
，
，
．
（2）①，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为，．
②如图1中，设，．
，
，
，
．
（3）①图形如图所示：

②设，．
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了角的和差、角平分线、三角形内角和和互余的性质，解答此题的关键是找到角与角之间的关系．