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人教版八年级上册本节综合课后作业题
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这是一份人教版八年级上册本节综合课后作业题，共23页。试卷主要包含了2 与三角形有关的角，5°，5°，等内容，欢迎下载使用。
专题11.2 与三角形有关的角（能力提升）-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读·专题训练》（人教版）
专题11.2 与三角形有关的角（能力提升）
一、选择题
（2021秋•潮安区期末）
1．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
（2021秋•两江新区期末）
2．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
（2021秋•惠州期末）
3．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C
（2021秋•河源期末）
4．如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（ ）
A．95° B．120° C．135° D．无法确定
（2021秋•临江市期末）
5．如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAE的度数为( )
A．40° B．20° C．18° D．38°
（2021•溧阳市一模）
6．如图，在中，，沿图中虚线翻折，使得点B落在上的点D处，则等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．110°
（2021秋•黄冈月考）
7．如图，已知C，A，G三点共线，C，B，H三点共线，2∠CAD＝∠BAD，2∠CBD＝∠ABD，∠GAE＝2∠BAE，∠EBH＝2∠EBA，则∠D和∠E的关系满足（ ）
A．2∠E＋∠D＝320° B．2∠E＋∠D＝340°
C．2∠E＋∠D＝300° D．2∠E＋∠D＝360°
（2022春•泰安期中）
8．如图，在中，D为上一点，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2021春•广平县期末）
9．如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点O，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2021春•招远市期中）
10．如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．42° B．46° C．52° D．56°
二、填空题
（2021秋•通榆县期末）
11．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=______．
（2021春•雁塔区校级期中）
12．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BE边上的点处，若，则∠1＝_______．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是 ______．
（2022春•工业园区期末）
14．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O，∠A=40°，∠C=30°，∠BOD=100°．则∠B=_____°．
（2021秋•阜新县校级期末）
15．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为________．
（2022春•达川区校级期中）
16．如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，O为三条角平分线的交点，则∠BOC＝______度．
（2022春•鼓楼区期末）
17．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝_____°．
（2021春•偃师市期末）
18．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜60°）．当△ABC为“灵动三角形”时，则∠OAC的度数为____________．
三、解答题
（2021春•西乡县期末）
19．已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数．
（2021春•黄陂区期中）
20．在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）
如图，在三角形中，已知，，于点．求证：．
证明：∵（已知）
∴______（__________），
∴______（__________），
又∵（已知），
∴______=______（等量代换），
∴______（__________），
∵（已知），
∴（垂直的定义）．
即，
∴．（垂直的定义）．
（2021秋•东至县期末）
21．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．
（2021秋•荣昌区校级期中）
22．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
(1)若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
(2)证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
（2021秋•高青县期末）
23．如图①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD，
（1）如图①，∠B=30°，∠ACB=70°，则∠CFE=_________；
（2）若（1）中的∠B=，∠ACB=，则∠CFE=_________；（用、表示）
（3）如图②，（2）中的结论还成立么？请说明理由．
（2021春•东城区校级期中）
24．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC千点E，过点E作DF∥BC，交AB于点D，且EC平分∠BEF．
（1）若∠ADE＝50°，求∠BEC的度数；
（2）若∠ADE＝α，则∠AED＝ （含α的代数式表示）．
（2022春•丰县月考）
25．如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P，∠A＝70°，求∠BPC的度数．
（2021春•福州期末）
26．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，E为边AC上一点（不与点A，C重合），连接BE，在BE的延长线上取点D，连接DC．∠ABE的邻补角的角平分线和∠DCE的邻补角的角平分线交于点P．
(1)当∠D＝90°时，求证：
①∠ABE＝∠DCE；
②BP⊥CP；
(2)判断∠D与∠P的数量关系，并说明理由．
（2021春•姜堰区月考）
27．∠MOQ＝90°，点A，B分别在射线OM、OQ上运动（不与点O重合）．
(1)如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数．
(2)如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ °；
②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．
参考答案：
1．A
【详解】设三个内角分别为2k、3k、4k，
则2k+3k+4k=180°，
解得k=20°，
所以，最大的角为4×20°=80°，
所以，三角形是锐角三角形．
故选：A．
【点睛】考点：三角形内角和定理．
2．A
【分析】根据∠3=∠AFE=90°－∠EAF计算即可．
【详解】解：根据题意可得，在△ABC中，，则，
又AD为△ABC的角平分线，
．
又在△AEF中，BE为△ABC的高，
∴，
．
故选：A.
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的高等知识，解题的关键是理解题中角与角之间的关联.
3．D
【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状.
【详解】解：A.∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；
B.∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；
C.∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；
D.∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理以及直角的判定条件，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
4．C
【详解】试题分析：根据∠A=80°，则∠ABC+∠ACB=180°－80°=100°，根据∠1=15°，∠2=40°可得∠OBC+∠OCB=100°－15°－40°=45°，则∠BOC=180°－45°=135°.
考点：三角形内角和定理
5．B
【详解】解：∵△ABC中，已知∠B=36°，∠C=76，
∴∠BAC=68°．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAC=34，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°，
∴∠DAE=20°．
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质 和三角形内角和定理，属于基础题，根据已知条件善于找出题目中的能求出角的条件是解题的关键，在平时解题中要善于对题目进行分析.
6．C
【分析】由得，再根据翻折知，，即可求出的值．
【详解】解：，
，
翻折，
，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折的性质以及三角形内角和定理，熟练运用翻折的性质是解题的关键．
7．C
【分析】设，，根据三角形内角和定理分别表示出∠D、∠E，计算即可．
【详解】解：设，，则，，
，，
，，
，，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
8．C
【分析】设∠1=∠2=x，利用三角形内角和定理构建方程求出x即可解决问题．
【详解】解：设∠1=∠2=x，
∵∠4=∠3=∠1+∠2=2x，
∴∠DAC=180°-4x，
∵∠BAC=108°，
∴x+180°-4x=108°，
∴x=24°，
∴∠DAC=180°-4×24°=84°．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
9．A
【分析】根据∠AOB=125°和三角形内角和，可以得到∠OAB+∠OBA的度数，再根据AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，即可得到∠BAC+∠ABC的度数，进而得到∠C的度数，再根据AD是BC边上的高，即可得到∠CAD的度数．
【详解】解：∵∠AOB=125°，
∴∠OAB+∠OBA=55°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠OAB+∠OBA）=110°，
∴∠C=70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=20°，
即∠CAD的度数是20°．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．D
【分析】根据折叠得出∠D=∠B=28°，根据三角形的外角性质得出∠1=∠B+∠BEF，∠BEF=∠2+∠D，求出∠1=∠B+∠2+∠D即可．
【详解】解：如图，
∵∠B=28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，
∴∠D=∠B=28°，
∵∠1=∠B+∠BEF，∠BEF=∠2+∠D，
∴∠1=∠B+∠2+∠D，
∴∠1-∠2=∠B+∠D=28°+28°=56°，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质和折叠的性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
11．90°．
【详解】试题解析：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，
∠ACB=180°-∠ACM=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，
∵∠PBC=20°，
∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°，
∴∠A+∠P=90°．
考点：1．三角形内角和定理；2．三角形的角平分线、中线和高；3．三角形的外角性质．
12．##36度
【分析】先根据折叠的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：∵纸片沿折叠，使点落在边上的点处，且，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
13．120°
【分析】根据三角形的内角和是180°，可知∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，由BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，可知∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，即∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB），再由三角形的内角和是180°，得出∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，从而求出∠BOC的度数．
【详解】解：∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120°，
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×120°=120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
14．10
【分析】先利用三角形的外角的性质求出∠BDO=70°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
【详解】解：∵∠A=40°，∠C=30°，
∴∠BDO=∠A+∠C=70°；
∵∠BOD=100°，
∴∠B=180°-∠BDO-∠BOD=10°．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，用三角形外角的性质解决问题是解本题的关键．
15．60°##60度
【分析】根据平角的定义，折叠的性质可得∠CED＝，在△CDE中，根据三角形内角和定理求得∠CDE，再根据平角的定义，折叠的性质即可求解．
【详解】解：∵△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
∵∠1＝20°，
∴∠CED＝＝80°，
在△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∴∠2＝180°﹣2∠CDE＝180°﹣2×60°＝60°，
故答案为60°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
16．130
【分析】根据三角形内角和定理求出，再用角平分线的定义求解．
【详解】解：在△ABC中，
∵∠BAC＝80°，
∴．
又∵O为三条角平分线的交点
∴，
∴在中，．
故答案为：130°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，理解角平分线的概念以及掌握三角形的内角和定理是解答关键．
17．30
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【详解】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
18．30°或52.5°
【分析】由于∠O＝60°，∠ABC＝30°，因此可分两种情况进行解答，即当∠ACB＝3∠ABC，或∠ACB＝3∠CAB时，根据三角形的内角和定理以及互为余角可得答案．
【详解】解：∵∠AB⊥OM，MON＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
当△ABC为“灵动三角形”时，有
①当∠ACB＝3∠ABC时，
∠ACB＝3×30°＝90°，
∴∠OAC＝90°﹣∠O＝90°﹣60°＝30°，
②当∠ACB＝3∠CAB时，
4∠CAB+30°＝180°，
∴∠CAB＝37.5°，
∴∠OAC＝90°﹣∠CAB＝52.5°，
故答案为：30°或52.5°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
19．40°
【分析】由，及三角形内角和定理可求出，再由及平分可求出，进而求得为．
【详解】解：，，
在中，，
又，
，
又平分，
，
在中，．
答：的度数是．
【点睛】本题考查了角平分线和三角形内角和定理，解题的关键是熟记定理即可．
20．；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；；同位角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．
【详解】解：（已知），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
（已知），
（垂直的定义），
即，
（垂直的定义）．
故答案为：；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；；同位角相等，两直线平行．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
21．（1）见详解；（2）150°
【分析】（1）由角平分线定义得∠ABE＝∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF＝∠AFE；
（2）由角平分线定义得∠AFE＝∠GFE，进而得∠AEF＝∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果．
【详解】解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABF＋∠BAD＝∠CBE＋∠C，
∵∠AFE＝∠ABF＋∠BAD，∠AEF＝∠CBE＋∠C，
∴∠AEF＝∠AFE；
（2）∵FE平分∠AFG，
∴∠AFE＝∠GFE，
∵∠AEF＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠GFE，
∴FG∥AC，
∵∠C＝30°，
∴∠CGF＝180°−∠C＝150°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形的外角性质，角平分线的定义，关键是综合应用这些性质解决问题．
22．(1)∠BAC=85°；
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论．
（1）
解：∵∠B=35°，∠E=25°，
∴∠ECD=∠B+∠E=60°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD=60°，
∴∠BAC=∠ACE+∠E=85°；
（2）
证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACE．
∵∠BAC=∠E+∠ACE，
∴∠BAC=∠E+∠ECD，
∵∠ECD=∠B+∠E，
∴∠BAC=∠E+∠B+∠E，
∴∠BAC=∠B+2∠E．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
23．（1）20°；（2）；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°可得∠BAC=80°，再由AD平分∠BAC，可得∠CAD=40°，然后根据AE⊥BC，可得∠CAE=20°，从而得到∠DAE=20°，再根据CF∥AD，即可求解；
（2）根据三角形的内角和等于180°可得，再由AD平分∠BAC，可得 ，然后根据AE⊥BC，可得，从而得到，再根据CF∥AD，即可求解；
（3）根据三角形的内角和等于180°可得，再由AD平分∠BAC，可得 ，再根据CF∥AD，可得∠ACF= ，从而得到，再由AE⊥BC ，即可求解．
【详解】解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAE=90°-∠ACB=20°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=20°，
∵CF∥AD，
∴∠CFE=∠DAE=20°；
（2）∵∠B=，∠ACB=，
∴，
∵AD平分∠BAC，
∴ ，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴，
∴，
∵CF∥AD，
∴；
（3）成立，理由如下：
∵ ∠B=，∠ACB= ，
∴∠BAC=180°-- ，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∵CF∥AD，
∴∠ACF= ，
∴，
∴，
∵AE⊥BC ，
∴∠FEC=90°，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．
24．（1）77.5°；（2）90°﹣α；
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC＝∠ADE＝50°，根据角平分线的定义∠EBC＝25°，根据角平分线的定义和平行线的性质可得∠BEC＝∠C，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：（1）∵DF∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝50°，∠CEF＝∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DEB＝∠EBC＝25°，
∵EC平分∠BEF，
∴∠CEF＝∠BEC＝∠C，
∵∠BEC+∠C+∠EBC＝180°，
∴∠BEC＝77.5°；
（2）∵DF∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DEB＝∠EBC＝α，
∵EC平分∠BEF，
∴∠AED＝∠CEF＝（180°﹣α）＝90°﹣α．
故答案为：90°﹣α．
【点睛】本题考查平行的性质与判定，角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，熟练应用平行的性质与判定结合角平分线的性质是解决本题的关键．
25．125°
【分析】根据角平分的性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵△ABC的角平分线BD、CE相交于点P，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∵∠BPC+∠1+∠2＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣(∠ABC+∠ACB)，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣×110°＝125°．
【点睛】本题考查了角平分的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
26．(1)①见解析；②见解析
(2)∠D+2∠P＝270°，理由见解析
【分析】（1）①根据三角形内角和都为180°和对顶角相等可以得出∠ABE＝∠DCE；
②BP平分∠MBE，CP平分∠NCE，以及∠ABE＝∠DCE；得到∠MBP＝∠PCE，再通过∠MBP与∠ABP互补，得到∠PCE与∠ABP互补，最后通过四边形ABPC内角和为360°得出结论；
（2）不妨设∠PBE＝x，∠PCE＝y，结合由（1）得的∠ABE+∠A＝∠DCE+∠D，∠A+∠ABP+∠P+∠ACP＝360°，等量代换得出答案．
（1）
证明：①∵∠A＝90°，∠D＝90°，
∴∠A＝∠D，
∵∠A+∠ABE+∠AEB＝∠D+∠DCE+∠DEC＝180°，∠AEB＝∠DEC，
∴∠ABE＝∠DCE；
②记AB，DC的延长线上分别有M，N点，
∵∠ABE＝∠DCE，∠ABE+∠MBE＝∠DCE+∠NCE，
∴∠MBE＝∠NCE，
∵BP平分∠MBE，CP平分∠NCE，
∴∠MBE＝2∠MBP，∠NCE＝2∠PCE，
∴∠MBP＝∠PCE，
∵∠MBP+∠ABP＝180°，
∴∠PCE+∠ABP＝180°，
∵∠A+∠ABP+∠P+∠PCE＝360°，∠A＝90°，
∴∠P＝90°，
∴BP⊥CP；
（2）
∠D+2∠P＝270°，
理由：设∠PBE＝x，∠PCE＝y，
则∠DBM＝2x，∠ACN＝2y，
∴∠ABE＝180°﹣2x，∠DCE＝180°﹣2y，
由（1）①得∠ABE+∠A＝∠DCE+∠D，
∴∠D＝∠ABE+∠A﹣∠DCE＝180°﹣2x+90°﹣（180°﹣2y）＝90°﹣2x+2y，
由（1）②得∠A+∠ABP+∠P+∠ACP＝360°，
且∠ABP＝∠ABE+∠PBE＝180°﹣2x+x＝180°﹣x，
∴∠P＝360°﹣∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝360°﹣90°﹣（180°﹣x）﹣y＝90°+x﹣y，
∴∠D+2∠P＝90°﹣2x+2y+2（90°+x﹣y）＝270°．
【点睛】本题考查角度之间的运算，能够熟练掌握三角形内角和，四边形内角和，角平分线的性质并运用是解题关键．
27．(1)135°
(2)①45；②不变，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解；
（2）根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解．
（1）
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BAO＝40°，
∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°，
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴∠IBA＝∠ABO＝25°，∠IAB＝∠OAB＝20°，
∴∠AIB＝180°﹣(∠IBA+∠IAB)＝135°．
（2）
①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°，
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠CBA＝∠MBA＝65°，∠BAI＝∠BAO＝20°，
∵∠CBA＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝45°，
故答案为：45．
②不变，
理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO，
＝(∠MBA﹣∠BAO)，
＝∠AOB＝×90°，
＝45°，
∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
专题11.2 与三角形有关的角（能力提升）-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读·专题训练》（人教版）
专题11.2 与三角形有关的角（能力提升）
一、选择题
（2021秋•潮安区期末）
1．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
（2021秋•两江新区期末）
2．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
（2021秋•惠州期末）
3．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C
（2021秋•河源期末）
4．如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（ ）
A．95° B．120° C．135° D．无法确定
（2021秋•临江市期末）
5．如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAE的度数为( )
A．40° B．20° C．18° D．38°
（2021•溧阳市一模）
6．如图，在中，，沿图中虚线翻折，使得点B落在上的点D处，则等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．110°
（2021秋•黄冈月考）
7．如图，已知C，A，G三点共线，C，B，H三点共线，2∠CAD＝∠BAD，2∠CBD＝∠ABD，∠GAE＝2∠BAE，∠EBH＝2∠EBA，则∠D和∠E的关系满足（ ）
A．2∠E＋∠D＝320° B．2∠E＋∠D＝340°
C．2∠E＋∠D＝300° D．2∠E＋∠D＝360°
（2022春•泰安期中）
8．如图，在中，D为上一点，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2021春•广平县期末）
9．如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点O，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2021春•招远市期中）
10．如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．42° B．46° C．52° D．56°
二、填空题
（2021秋•通榆县期末）
11．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=______．
（2021春•雁塔区校级期中）
12．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BE边上的点处，若，则∠1＝_______．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是 ______．
（2022春•工业园区期末）
14．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O，∠A=40°，∠C=30°，∠BOD=100°．则∠B=_____°．
（2021秋•阜新县校级期末）
15．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为________．
（2022春•达川区校级期中）
16．如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，O为三条角平分线的交点，则∠BOC＝______度．
（2022春•鼓楼区期末）
17．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝_____°．
（2021春•偃师市期末）
18．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜60°）．当△ABC为“灵动三角形”时，则∠OAC的度数为____________．
三、解答题
（2021春•西乡县期末）
19．已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数．
（2021春•黄陂区期中）
20．在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）
如图，在三角形中，已知，，于点．求证：．
证明：∵（已知）
∴______（__________），
∴______（__________），
又∵（已知），
∴______=______（等量代换），
∴______（__________），
∵（已知），
∴（垂直的定义）．
即，
∴．（垂直的定义）．
（2021秋•东至县期末）
21．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．
（2021秋•荣昌区校级期中）
22．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
(1)若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
(2)证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
（2021秋•高青县期末）
23．如图①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD，
（1）如图①，∠B=30°，∠ACB=70°，则∠CFE=_________；
（2）若（1）中的∠B=，∠ACB=，则∠CFE=_________；（用、表示）
（3）如图②，（2）中的结论还成立么？请说明理由．
（2021春•东城区校级期中）
24．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC千点E，过点E作DF∥BC，交AB于点D，且EC平分∠BEF．
（1）若∠ADE＝50°，求∠BEC的度数；
（2）若∠ADE＝α，则∠AED＝ （含α的代数式表示）．
（2022春•丰县月考）
25．如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P，∠A＝70°，求∠BPC的度数．
（2021春•福州期末）
26．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，E为边AC上一点（不与点A，C重合），连接BE，在BE的延长线上取点D，连接DC．∠ABE的邻补角的角平分线和∠DCE的邻补角的角平分线交于点P．
(1)当∠D＝90°时，求证：
①∠ABE＝∠DCE；
②BP⊥CP；
(2)判断∠D与∠P的数量关系，并说明理由．
（2021春•姜堰区月考）
27．∠MOQ＝90°，点A，B分别在射线OM、OQ上运动（不与点O重合）．
(1)如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数．
(2)如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ °；
②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．
参考答案：
1．A
【详解】设三个内角分别为2k、3k、4k，
则2k+3k+4k=180°，
解得k=20°，
所以，最大的角为4×20°=80°，
所以，三角形是锐角三角形．
故选：A．
【点睛】考点：三角形内角和定理．
2．A
【分析】根据∠3=∠AFE=90°－∠EAF计算即可．
【详解】解：根据题意可得，在△ABC中，，则，
又AD为△ABC的角平分线，
．
又在△AEF中，BE为△ABC的高，
∴，
．
故选：A.
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的高等知识，解题的关键是理解题中角与角之间的关联.
3．D
【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状.
【详解】解：A.∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；
B.∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；
C.∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；
D.∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理以及直角的判定条件，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
4．C
【详解】试题分析：根据∠A=80°，则∠ABC+∠ACB=180°－80°=100°，根据∠1=15°，∠2=40°可得∠OBC+∠OCB=100°－15°－40°=45°，则∠BOC=180°－45°=135°.
考点：三角形内角和定理
5．B
【详解】解：∵△ABC中，已知∠B=36°，∠C=76，
∴∠BAC=68°．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAC=34，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°，
∴∠DAE=20°．
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质 和三角形内角和定理，属于基础题，根据已知条件善于找出题目中的能求出角的条件是解题的关键，在平时解题中要善于对题目进行分析.
6．C
【分析】由得，再根据翻折知，，即可求出的值．
【详解】解：，
，
翻折，
，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折的性质以及三角形内角和定理，熟练运用翻折的性质是解题的关键．
7．C
【分析】设，，根据三角形内角和定理分别表示出∠D、∠E，计算即可．
【详解】解：设，，则，，
，，
，，
，，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
8．C
【分析】设∠1=∠2=x，利用三角形内角和定理构建方程求出x即可解决问题．
【详解】解：设∠1=∠2=x，
∵∠4=∠3=∠1+∠2=2x，
∴∠DAC=180°-4x，
∵∠BAC=108°，
∴x+180°-4x=108°，
∴x=24°，
∴∠DAC=180°-4×24°=84°．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
9．A
【分析】根据∠AOB=125°和三角形内角和，可以得到∠OAB+∠OBA的度数，再根据AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，即可得到∠BAC+∠ABC的度数，进而得到∠C的度数，再根据AD是BC边上的高，即可得到∠CAD的度数．
【详解】解：∵∠AOB=125°，
∴∠OAB+∠OBA=55°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠OAB+∠OBA）=110°，
∴∠C=70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=20°，
即∠CAD的度数是20°．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．D
【分析】根据折叠得出∠D=∠B=28°，根据三角形的外角性质得出∠1=∠B+∠BEF，∠BEF=∠2+∠D，求出∠1=∠B+∠2+∠D即可．
【详解】解：如图，
∵∠B=28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，
∴∠D=∠B=28°，
∵∠1=∠B+∠BEF，∠BEF=∠2+∠D，
∴∠1=∠B+∠2+∠D，
∴∠1-∠2=∠B+∠D=28°+28°=56°，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质和折叠的性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
11．90°．
【详解】试题解析：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，
∠ACB=180°-∠ACM=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，
∵∠PBC=20°，
∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°，
∴∠A+∠P=90°．
考点：1．三角形内角和定理；2．三角形的角平分线、中线和高；3．三角形的外角性质．
12．##36度
【分析】先根据折叠的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：∵纸片沿折叠，使点落在边上的点处，且，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
13．120°
【分析】根据三角形的内角和是180°，可知∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，由BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，可知∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，即∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB），再由三角形的内角和是180°，得出∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，从而求出∠BOC的度数．
【详解】解：∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120°，
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×120°=120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
14．10
【分析】先利用三角形的外角的性质求出∠BDO=70°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
【详解】解：∵∠A=40°，∠C=30°，
∴∠BDO=∠A+∠C=70°；
∵∠BOD=100°，
∴∠B=180°-∠BDO-∠BOD=10°．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，用三角形外角的性质解决问题是解本题的关键．
15．60°##60度
【分析】根据平角的定义，折叠的性质可得∠CED＝，在△CDE中，根据三角形内角和定理求得∠CDE，再根据平角的定义，折叠的性质即可求解．
【详解】解：∵△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
∵∠1＝20°，
∴∠CED＝＝80°，
在△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∴∠2＝180°﹣2∠CDE＝180°﹣2×60°＝60°，
故答案为60°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
16．130
【分析】根据三角形内角和定理求出，再用角平分线的定义求解．
【详解】解：在△ABC中，
∵∠BAC＝80°，
∴．
又∵O为三条角平分线的交点
∴，
∴在中，．
故答案为：130°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，理解角平分线的概念以及掌握三角形的内角和定理是解答关键．
17．30
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【详解】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
18．30°或52.5°
【分析】由于∠O＝60°，∠ABC＝30°，因此可分两种情况进行解答，即当∠ACB＝3∠ABC，或∠ACB＝3∠CAB时，根据三角形的内角和定理以及互为余角可得答案．
【详解】解：∵∠AB⊥OM，MON＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
当△ABC为“灵动三角形”时，有
①当∠ACB＝3∠ABC时，
∠ACB＝3×30°＝90°，
∴∠OAC＝90°﹣∠O＝90°﹣60°＝30°，
②当∠ACB＝3∠CAB时，
4∠CAB+30°＝180°，
∴∠CAB＝37.5°，
∴∠OAC＝90°﹣∠CAB＝52.5°，
故答案为：30°或52.5°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
19．40°
【分析】由，及三角形内角和定理可求出，再由及平分可求出，进而求得为．
【详解】解：，，
在中，，
又，
，
又平分，
，
在中，．
答：的度数是．
【点睛】本题考查了角平分线和三角形内角和定理，解题的关键是熟记定理即可．
20．；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；；同位角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．
【详解】解：（已知），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
（已知），
（垂直的定义），
即，
（垂直的定义）．
故答案为：；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；；同位角相等，两直线平行．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
21．（1）见详解；（2）150°
【分析】（1）由角平分线定义得∠ABE＝∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF＝∠AFE；
（2）由角平分线定义得∠AFE＝∠GFE，进而得∠AEF＝∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果．
【详解】解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABF＋∠BAD＝∠CBE＋∠C，
∵∠AFE＝∠ABF＋∠BAD，∠AEF＝∠CBE＋∠C，
∴∠AEF＝∠AFE；
（2）∵FE平分∠AFG，
∴∠AFE＝∠GFE，
∵∠AEF＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠GFE，
∴FG∥AC，
∵∠C＝30°，
∴∠CGF＝180°−∠C＝150°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形的外角性质，角平分线的定义，关键是综合应用这些性质解决问题．
22．(1)∠BAC=85°；
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论．
（1）
解：∵∠B=35°，∠E=25°，
∴∠ECD=∠B+∠E=60°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD=60°，
∴∠BAC=∠ACE+∠E=85°；
（2）
证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACE．
∵∠BAC=∠E+∠ACE，
∴∠BAC=∠E+∠ECD，
∵∠ECD=∠B+∠E，
∴∠BAC=∠E+∠B+∠E，
∴∠BAC=∠B+2∠E．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
23．（1）20°；（2）；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°可得∠BAC=80°，再由AD平分∠BAC，可得∠CAD=40°，然后根据AE⊥BC，可得∠CAE=20°，从而得到∠DAE=20°，再根据CF∥AD，即可求解；
（2）根据三角形的内角和等于180°可得，再由AD平分∠BAC，可得 ，然后根据AE⊥BC，可得，从而得到，再根据CF∥AD，即可求解；
（3）根据三角形的内角和等于180°可得，再由AD平分∠BAC，可得 ，再根据CF∥AD，可得∠ACF= ，从而得到，再由AE⊥BC ，即可求解．
【详解】解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAE=90°-∠ACB=20°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=20°，
∵CF∥AD，
∴∠CFE=∠DAE=20°；
（2）∵∠B=，∠ACB=，
∴，
∵AD平分∠BAC，
∴ ，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴，
∴，
∵CF∥AD，
∴；
（3）成立，理由如下：
∵ ∠B=，∠ACB= ，
∴∠BAC=180°-- ，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∵CF∥AD，
∴∠ACF= ，
∴，
∴，
∵AE⊥BC ，
∴∠FEC=90°，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．
24．（1）77.5°；（2）90°﹣α；
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC＝∠ADE＝50°，根据角平分线的定义∠EBC＝25°，根据角平分线的定义和平行线的性质可得∠BEC＝∠C，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：（1）∵DF∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝50°，∠CEF＝∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DEB＝∠EBC＝25°，
∵EC平分∠BEF，
∴∠CEF＝∠BEC＝∠C，
∵∠BEC+∠C+∠EBC＝180°，
∴∠BEC＝77.5°；
（2）∵DF∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DEB＝∠EBC＝α，
∵EC平分∠BEF，
∴∠AED＝∠CEF＝（180°﹣α）＝90°﹣α．
故答案为：90°﹣α．
【点睛】本题考查平行的性质与判定，角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，熟练应用平行的性质与判定结合角平分线的性质是解决本题的关键．
25．125°
【分析】根据角平分的性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵△ABC的角平分线BD、CE相交于点P，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∵∠BPC+∠1+∠2＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣(∠ABC+∠ACB)，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣×110°＝125°．
【点睛】本题考查了角平分的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
26．(1)①见解析；②见解析
(2)∠D+2∠P＝270°，理由见解析
【分析】（1）①根据三角形内角和都为180°和对顶角相等可以得出∠ABE＝∠DCE；
②BP平分∠MBE，CP平分∠NCE，以及∠ABE＝∠DCE；得到∠MBP＝∠PCE，再通过∠MBP与∠ABP互补，得到∠PCE与∠ABP互补，最后通过四边形ABPC内角和为360°得出结论；
（2）不妨设∠PBE＝x，∠PCE＝y，结合由（1）得的∠ABE+∠A＝∠DCE+∠D，∠A+∠ABP+∠P+∠ACP＝360°，等量代换得出答案．
（1）
证明：①∵∠A＝90°，∠D＝90°，
∴∠A＝∠D，
∵∠A+∠ABE+∠AEB＝∠D+∠DCE+∠DEC＝180°，∠AEB＝∠DEC，
∴∠ABE＝∠DCE；
②记AB，DC的延长线上分别有M，N点，
∵∠ABE＝∠DCE，∠ABE+∠MBE＝∠DCE+∠NCE，
∴∠MBE＝∠NCE，
∵BP平分∠MBE，CP平分∠NCE，
∴∠MBE＝2∠MBP，∠NCE＝2∠PCE，
∴∠MBP＝∠PCE，
∵∠MBP+∠ABP＝180°，
∴∠PCE+∠ABP＝180°，
∵∠A+∠ABP+∠P+∠PCE＝360°，∠A＝90°，
∴∠P＝90°，
∴BP⊥CP；
（2）
∠D+2∠P＝270°，
理由：设∠PBE＝x，∠PCE＝y，
则∠DBM＝2x，∠ACN＝2y，
∴∠ABE＝180°﹣2x，∠DCE＝180°﹣2y，
由（1）①得∠ABE+∠A＝∠DCE+∠D，
∴∠D＝∠ABE+∠A﹣∠DCE＝180°﹣2x+90°﹣（180°﹣2y）＝90°﹣2x+2y，
由（1）②得∠A+∠ABP+∠P+∠ACP＝360°，
且∠ABP＝∠ABE+∠PBE＝180°﹣2x+x＝180°﹣x，
∴∠P＝360°﹣∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝360°﹣90°﹣（180°﹣x）﹣y＝90°+x﹣y，
∴∠D+2∠P＝90°﹣2x+2y+2（90°+x﹣y）＝270°．
【点睛】本题考查角度之间的运算，能够熟练掌握三角形内角和，四边形内角和，角平分线的性质并运用是解题关键．
27．(1)135°
(2)①45；②不变，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解；
（2）根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解．
（1）
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BAO＝40°，
∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°，
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴∠IBA＝∠ABO＝25°，∠IAB＝∠OAB＝20°，
∴∠AIB＝180°﹣(∠IBA+∠IAB)＝135°．
（2）
①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°，
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠CBA＝∠MBA＝65°，∠BAI＝∠BAO＝20°，
∵∠CBA＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝45°，
故答案为：45．
②不变，
理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO，
＝(∠MBA﹣∠BAO)，
＝∠AOB＝×90°，
＝45°，
∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
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