人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质一课一练

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专题12.4 角平分线的性质与判定（知识解读）-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读·专题训练》（人教版）
【直击考点】

【学习目标】
1. 会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性.
2. 探索并证明角的平分线的性质.
3. 掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解决简单的问题.
【知识点梳理】
考点1 角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
2、分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
3、画射线OC，射线OC即为所求.

（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.∴PD=PE.
考点 2 角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
重要拓展：
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点.
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比.

∵AD是∠BAC的角平分线；∴DF=DE；
∵；
∴ = ；



【典例分析】
【考点1 角平分线的性质】
【典例1】
1．如图P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，若PD=2，则PE的长是（   ）

A．2 B．3 C． D．4
【变式1-1】
2．已知BG是的平分线，点D为BG上任意一点，且于点E，于点F，，则DE的长度是（　　　）．

A．3 B．6 C．8 D．9
【变式1-2】
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若AC＝5，AD＝3，则点D到AB边的距离是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-3】
4．如图，在△ABC中，∠A=90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD=4，△CDE周长为12，则AC的长是（    ）

A．14 B．8 C．16 D．6
【典例2】
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（    ）

A．10 B．12 C．9 D．6
【变式2-1】
6．如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（    ）

A．12 B．10 C．8 D．6
【变式2-2】
7．如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E点，S△DBC=12， BC=6，则DE的长为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．不能确定
【变式2-3】
8．如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（　　）

A．28 B．14 C．21 D．7
【典例3】
9．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【变式3-1】
10．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ）

A．的三条中线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
【变式3-2】
11．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　）

A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
D．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
【变式3-3】
12．正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点是（ ）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
【典例4】
13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．

(1)求证：CF＝EB；
(2)若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
【变式4-1】
14．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B=∠C．

【变式4-2】
15．如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．

(1)证明：；
(2)如果，，求AE、BE的长．
【考点2 角平分线的判定】
【典例5】
16．如图，在中，，，点P为、的角平分线上的交点．

(1)的度数是______．
(2)请问点P是否在的角平分线上？请说明理由．
【变式5-1】
17．如图，P是内一点，于点A，于点B，连接，．求证：平分．

【变式5-2】
18．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．

(1)若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
(2)若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．
【变式5-3】
19．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．


参考答案：
1．A
【分析】根据角平分线的性质解答即可．
【详解】解：∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E
∴PE=PD=2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的性质主要有角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．A
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论．
【详解】解：∵BG是∠ABC的平分线
且DEAB，DFBC
∴DE=DF=3
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．
3．B
【分析】过D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得DE＝DC，由条件可求得CD的长，则可求得答案．
【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC，
∵AC＝5，AD＝3，
∴CD＝5﹣3＝2，
∴DE＝2，
故选：B．

【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
4．B
【分析】根据角平分线的性质得到AE=DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠A=90°，
∴AE=DE，
∵△CDE的周长为12，CD=4，
∴DE+EC=8，
∴AC=AE+EC=8，
故选：B．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5．C
【分析】如图：过D作DF⊥AB于F,然后根据角平分线的性质可得DF=CD=3,然后再根据中点的定义求得BE的长，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：过D作DF⊥AB于F,
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴DF=CD=3
∵点E为AB的中点， AB＝12
∴BE=AB=6
∴△DBE的面积为 ．
故选：C．

【点睛】本题主要考查了角平分线定理、中点的定义、三角形的高等知识点，作出△DBE的高并运用角平分线定理求出成为解答本题的关键．
6．A
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD=2，然后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵AD是∠BAC的角平分线, CD=3，
∴DE=CD=3，
∵AB=8，
∴△ABD的面积
故选A.
【点睛】本题主要考查角了平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键.
7．B
【分析】过D点作DF⊥BC于F，利用三角形面积公式计算出DF＝4，然后根据角平分线的性质得到DE的长．
【详解】解：过D点作DF⊥BC于F，如图所示：

∵S△DBC＝12，BC＝6，
∴×6×DF＝12，
∴DF＝4，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF＝4，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等，是解题的关键．
8．A
【分析】连接OA，过点O作于点E，作于点F，则由角平分线的性质定理得：OE=OF=OD=2，再由即可求得结果．
【详解】解：连接OA，过点O作于点E，作于点F，如图

∵BO平分，，，
在和中，
，
∴，
∴OE=OD=2
同理：OF=OD=2
∴OE=OF=OD=2
∵


=
=28
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．
9．D
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求解即可．
【详解】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，PF＝PD，
∴PE＝PF＝PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故选：D．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键．
10．C
【分析】根据题意，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以要选角平分线的交点．
【详解】∵要使凉亭到草坪三边的距离相等，
∴凉亭应在三条角平分线的交点处．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，需要注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别．
11．D
【分析】根据三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等即可选择．
【详解】根据线段垂直平分线的性质，集贸市场应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质．掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答本题的关键．
12．A
【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，根据角平分线的性质解答．
【详解】解：如图，作的平分线，点M在该角平分线上，
∴点M到两边距离相等，
故选：A．

【点睛】此题考查角平分线的性质，熟记性质定理并正确作出角平分线是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)CF＝2

【分析】（1）根据角平分线的性质可得DE=CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EDB，从而得出CF=EB；
（2）设CF=x，则AE=12-x，证明Rt△ACD≌Rt△AED，则AC＝AE，即，计算求解即可．
（1）
证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）
解：设CF＝x，则AE＝12-x，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12-x，
解得x＝2，即CF＝2．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
14．见解析
【分析】通过角平分线上点的性质、D为BC中点、DE⊥AB、DF⊥AC证明出，从而证明∠B=∠C．
【详解】∵AD是AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD
∵△BDE与△CDF是直角三角形
∴
∴∠B=∠C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线上点的性质，正确证明全等三角形并得出各角之间的关系是本题的关键．
15．(1)见解析
(2)AE=4，BE=1

【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论；
（2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，则AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长．
【详解】（1）证明：如图，连接BD、CD，

∵且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）解：∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴CF=AF-AC=AE-AC，
由（1）知：BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC
即5-AE=AE-3，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
【点睛】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
16．(1)130°
(2)点P在的角平分线上，理由见解析

【分析】（1）由P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠PBC+∠PCB=50°，再利用三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数；
（2）过点P分别作PD⊥AB ，PE⊥BC ，PF⊥AC ，垂足分别为D、E、F，根据角平分线的性质即可得到结论．
（1）
解：∵ P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴∠CBP=∠ABP=∠ABC，∠BCP=∠ACP=∠ACB，
∵∠ABC=60°，∠ACB=40°，
∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=30°+20°=50°，
∴∠BPC=180°-50°=130°，
故答案为：130°；
（2）
点P在的角平分线上，理由如下：
过点P分别作PD⊥AB ，PE⊥BC ，PF⊥AC ，垂足分别为D、E、F，

∵PB、PC分别是、的角平分线，
∴，，
∴，
∴点P在的角平分线上．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
17．证明见解析
【分析】根据“等角对等边”得出PA=PB，再结合角平分线的判定定理即可证明．
【详解】解∵，
∴．
∵于点A，于点B，
∴P在的角平分线上，
∴平分．
【点睛】本题考查角平分线的判定定理，等腰三角形等角对等边．掌握在角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题关键．
18．(1)证明见解析；
(2)证明见解析

【分析】（1）根据D是BC的中点可得，根据 DE⊥AB可得，利用直角三角形全等的判定和性质可得，DE＝DF，再用角平分线得判定定理即可证明；
（2）根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据D是BC的中点可得，再用HL证明，最后用全等三角形对应边相等证明．
（1）
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE与△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；
（2）
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定（HL），角平分线的性质定理和判定定理，用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键．
19．见解析
【分析】首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到BF•DM＝DN•CE，由于CE＝BF，可得结论DM＝DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．
【详解】证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，
△DBF的面积为：BF•DM，
△DCE的面积为：DN•CE，
∵△DCE和△DBF的面积相等，
∴BF•DM＝DN•CE，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
又∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．

【点睛】此题主要考查角平分线的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的判定定理．