高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念达标测试

7.1.1 数系的扩充和复数的概念 (精练）

A学业基础

一、单选题

1．（2022·上海市徐汇中学高二期末）下列命题中，正确的是（    ）

A．任意两个复数都能比较大小 B．任意两个复数都不能比较大小

C．设，如果，那么 D．设，如果，那么

【答案】C

【详解】

当两个复数有虚数时，不可以比较大小，所以A错误；

当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以B错误；

因为，且，所以是实数，故，所以C正确；

因为，若，则，但是此时与不能比较大小，所以D错误.

故选:C.

2．（2022·湖南·嘉禾县第一中学高一阶段练习）已知为虚数单位，则复数的虚部是（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【详解】

的虚部是．

故选：A．

3．（2022·河南·高二期末（理））若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由为纯虚数，得

解得.

故选：.

4．（2022·陕西·西安中学高三阶段练习（文））已知复数是纯虚数，则实数x的值为（    ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【答案】A

【详解】

是纯虚数，

，解得：.

故选：A.

5．（2022·福建·三明一中高三阶段练习）若是纯虚数（为虚数单位），则实数x的值为（    ）

A． B．2 C．2或 D．以上都不对

【答案】B

【详解】

若是纯虚数，则，解得：，

故选：B．

6．（2022·广东·东莞市新世纪英才学校高一阶段练习）已知，其中为虚数单位，为实数，则= （    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】A

【详解】

，，，.

故选：A.

7．（2020·云南省楚雄天人中学高二阶段练习（文））在，，，，0.618，这几个数中，纯虚数的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【详解】

解：为实数，为纯虚数，为虚数，为纯虚数，0.618为实数，为实数，

纯虚数只有2个，

故选：．

8．（2022·全国·高一课时练习）已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（    ）

A．或 B．或 C． D．

【答案】A

【详解】

由题意，

故为实数

或

故选：A

二、填空题

9．（2022·全国·高一课时练习）给出下列命题：①任意两个复数都不能比较大小；②若，则当且仅当且时，；③若，，且，则；④若，则.其中，________是假命题.（填序号）

【答案】①③④

【详解】

对①，当两复数均为实数时，可比较大小，故①错；②显然正确；对③，若，则满足，但，故C错；对④，若，则，但，故④错.

故答案为：①③④

10．（2022·全国·高二单元测试）给出下列命题：①若，且，则是纯虚数；②，为复数，，则；③若，则z一定是纯虚数；④虚数的平方根仍是虚数，其中正确的是______.（填序号）

【答案】③④

【详解】

①：当时，，显然不是纯虚数，本命题不正确；

②：当，时，显然，但是不成立，本命题不正确；

③：设，由且，

当时，有，所以，

当时，有，显然不可能成立，因此z一定是纯虚数，所以本命题正确；

④：设，设，如果，

则有且，这与相矛盾，所以假设不成立，故不是实数，是虚数，因此本命题正确，

故答案为：③④

11．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知，则实数的取值分别为______．

【答案】1，1或

【详解】

因为，

所以

解得或

故答案为：1，1或

12．（2022·上海·高一课时练习）已知，则__________．

【答案】2022

【详解】

因为

所以，

所以，

故答案为：2022.

三、解答题

13．（2022·重庆市江津第五中学校高一期中）当实数为何值时，复数为

（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

【答案】

（1）；

（2）且；

（3）.

（1）

若复数为实数，则 ，可得，

所以当时，复数表示实数.

（2）

若复数为虚数，则，可得且，

所以当且时，复数表示虚数.

（3）

若复数为纯虚数，则，解得：．

所以当时，复数为纯虚数.

14．（2022·全国·高一课时练习）已知复数，求实数x的值.

【答案】1

【详解】

,解得或

对于不等式,适合,不适合,.

B应考能力

15．（2022·全国·高二课时练习（文））已知复数，，并且，则的取值范围为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【详解】

由，得，

消去m，得λ＝4sin2θ－3sin θ＝，

由于－1≤sin θ≤1，

所以当时，有最小值为，

所以当时，有最大值为7，

所以，

故选：D

16．（2018·浙江·嘉兴一中高二期末）设，则“”是“复数为纯虚数”的(　　)

A．充分必要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

详解：因为复数为纯虚数，

所以

因为“x=1”是“x=1”的充要条件，

所以“”是“复数为纯虚数”的充分必要条件.

故答案为A.

17．（2022·全国·高一课时练习）若复数是纯虚数，则一定有（    ）

A． B．且 C．或 D．

【答案】B

【详解】

，由纯虚数定义可得且，故选B.

18．（2022·全国·高一课时练习）已知，，若，求实数的取值集合．

【答案】

【详解】

因为，所以.

因为，，

所以当时，解得或；

若，则有，，符合；

若，则有，，不符合，应舍去；

当，要使，只需：解得：，符合题意.

所以实数的取值集合为.

C新素养 新题型

19．(多选)（2022·全国·高一课时练习）有下列四个命题，其中正确的是（   ）

①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；

②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；

③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；

④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解.

A．① B．②

C．③ D．④

【答案】ABC

【详解】

①方程2x－5＝0根为，故方程在自然数集N中无解，正确；

②方程2x2＋9x－5＝0即，故在整数集Z中有一解-5，在有理数集Q中有两解-5和，正确；

③x＝i代入方程x2＋1＝0成立，故x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；

④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有四解，，故错误.

故选：ABC.

20．(多选)（2022·全国·高一课时练习）已知i为虚数单位,下列命题中正确的是

A．若,则是纯虚数 B．虚部为的虚数有无数个

C．实数集是复数集的真子集 D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等

【答案】BCD

【详解】

对于A,若,则,不是纯虚数,故A错误；

对于B,虚部为的虚数可以表示为,

有无数个,故B正确；

根据复数的分类,判断C正确；

两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,

但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,

充分性不成立,故D正确.

故选:BCD.

21．(多选)（2022·江苏·南京市第二十九中学高二期中）“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（    ）

A． B．

C．是该方程的根 D．是该方程的根

【答案】ABD

【详解】

解：对于A选项，由于是方程的根，则，

而，故，选项A正确；

对于B选项，由虚根成对定理可知，也是方程的根，故，选项B正确；

对于C，且，故不是该方程的根，选项C错误；

对于D，，而，代入方程得，，

是该方程的根，即是该方程的根，选项D正确.

故选：ABD.

22．（2022·全国·高一课时练习）复数，且，若z是实数，则的值为____；若z为纯虚数，则的值为______．

【答案】    0   

【详解】

若z为实数，则，

又因为，所以．

若z为纯虚数，则有，

又，所以．

故答案为：；0