2023届西藏日喀则市江孜高级中学高三上学期线上期中考试数学试题（解析版）

2023届西藏日喀则市江孜高级中学高三上学期线上期中考试数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.

【详解】由题意，，所以,

所以.

故选：D.

2．若复数满足，则复数的虚部为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】通过复数四则运算求出z的标准形式，然后得出z的虚部．

【详解】解：因为复数满足

所以

所以复数z的虚部为，

故选D.

【点睛】本题考查了复数的四则运算和复数的虚部，求解复数虚部的前提是将复数表示为的标准形式，然后根据定义求解．

3．已知向量，，，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】解：因为，，

所以，

因为，所以，即，解得.

故选：A

4．已知是等差数列的前项和，若，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】B

【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差中项的性质，解得，根据等差数列整理所求代数式，可得答案.

【详解】由题意，，解得，设等差数列的公差为，

则.

故选：B.

5．已知是等比数列，若，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由等比数列性质可构造方程求得，根据等比数列通项公式可求得公比，由求得结果.

【详解】设等比数列的公比为，

，，，解得：，

.

故选：B.

6．已知为第一象限角，且，则 （    ）

A．3 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据题意，结合齐次式求得，进而根据正切差角公式求解即可.

【详解】解：因为，

所以，

所以，即，解得或，

因为为第一象限角，所以，

所以

故选：B

7．设函数下列结论正确的是（    ）

A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称

C．的一个零点 D．在上单调递减

【答案】A

【分析】根据余弦函数的图像和性质逐项判断即可.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：函数的周期是，当时，周期为，故A正确；

对于选项B：当时，，的图像不关于直线对称，故B错误；

对于选项C：当时，，故的一个零点不是，故C错误；

对于选项D：当时，，在此区间内函数不单调，故D错误；

故选：A

8．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

【答案】C

【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可判断出答案.

【详解】因为，故为了得到函数的图象，

只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，

故选：C.

9．已知中，，，则B等于（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】已知两边一角，由正弦定理可求角B的正弦值，进而得到角B的大小.

【详解】解：，，，

由正弦定理，得，

，

，

而，则或，

故选：C.

10．设的内角的对边分别是.若，且，则（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】B

【分析】由余弦定理可得方程，求解排除即可.

【详解】由余弦定理得，，即有，

解得或，又，∴.

故选：B

二、填空题

11．将点的极坐标化为直角坐标：______．

【答案】

【分析】直接利用公式即可求得.

【详解】因为，所以可化为，即.

故答案为：

12．已知函数，则曲线在处的切线方程为______.

【答案】

【分析】求出在处的导数，根据点斜式写出切线方程即可.

【详解】，

根据点斜式：

故答案为:

13．将直角坐标方程化为极坐标方程：______．

【答案】

【分析】先将化简，再利用极坐标与直角坐标的互化公式求解即可.

【详解】由，得，即，

则极坐标方程为，即，

故答案为：

14．已知集合，，则______．

【答案】

【分析】根据一元二次不等式解出集合A和集合B，利用集合的交集定义求出结果.

【详解】，，．

故答案为：

15．已知＝2＋i，则复数z等于________________.

【答案】##

【分析】由复数的乘法运算求出，再有共轭复数的定义求出复数z.

【详解】因为＝2＋i，所以，

故.

故答案为：.

三、解答题

16．已知公差不为0的等差数列的首项为2，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)因为，，成等比数列，所以，再由为公差不为0的等差数列，设公差为d，代入方程解出d，得到数列通项公式；

(2)将第一问通项公式代入，裂项相消法求数列的前n项和.

【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，

又为公差不为0的等差数列，设公差为d，

则，

且，解得，数列的通项公式为；

（2）由(1)，，

则，

设数列的前n项和为

可得.

17．在锐角中，角的对边分别为，，，且.

(1)求角A的大小；

(2)若，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理求出，由求出，结合，求出；

（2）由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案.

【详解】（1），由正弦定理得：，

因为，所以，

所以，即，

因为，所以；

（2）由（1）知：，又因为，，

由余弦定理得：

解得：，

所以面积为.

18．已知函数.

(1)求函数的周期及单调递增区间.

(2)将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象.当时，求的值域.

【答案】(1)周期为且，单调递增区间为且；

(2).

【分析】（1）利用倍角正余弦公式及辅助角公式可得，根据正弦型函数的性质求周期、单调递增区间即可.

（2）由图象变换过程有，根据定义域范围及正弦函数性质求值域.

【详解】（1）由，

所以最小正周期为，故函数周期为且，

令，可得且.

综上，的周期为且，单调递增区间为且.

（2）由题设，，当时，

所以值域为.

19．已知函数．

(1)求函数的极值；

(2)求函数在上的最大值与最小值．

【答案】(1)极大值为，极小值为．

(2)最大值为4，最小值为．

【分析】（1）对求导，得出的单调性，即可求出函数的极值；

（2）得出在的单调性，即可求出函数的最大值与最小值；

【详解】（1）根据题意可得，令，则，．

，，，单调递增．

，，单调递减．

故当时，有极大值，极大值为．

当时，有极小值，极小值为．

（2）由（1）可知，在区间上单调减，在区间上单调增．

且，，

故在上最大值为，最小值为．