2023届西藏林芝市第二高级中学高三上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

2023届西藏林芝市第二高级中学高三上学期第二次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解不等式求出或，进而求出交集.

【详解】解得：或，故或，

∴.

故选：A.

2．已知为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的四则运算法则计算即可．

【详解】．

故选：B．

3．某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，现有分层抽样，在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为（    ）

A．24 B．22 C．20 D．18

【答案】C

【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.

【详解】设高二应抽取的人数为人，则，解得人.

故选：C

4．已知命题．则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据特称命题的否定是全称命题得出答案．

【详解】∵特称命题的否定是全称命题，∴为：

故选：A．

5．已知，则“”是“是直角三角形”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合条件即得.

【详解】∵A为的内角，

∴，∴当时，，

∴充分性成立；

反过来，若是直角三角形，则A不一定是直角，

∴必要性不成立.

故选：A.

6．已知等差数列中，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质计算，即可得答案.

【详解】由题意等差数列中，

可得，

故选：B

7．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C．2 D．2

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标表示求，再由向量的模的坐标表示求.

【详解】由，，，得，则，

所以，所以．选项D正确，

故选：D.

8．某小组六名学生上周的体育运动时间为、、、、、，则该小组体育运动时间的平均数和方差是（    ）

A．、 B．、 C．、 D．、

【答案】B

【分析】利用平均数和方差公式计算可得结果.

【详解】由题意可知，该小组体育运动时间的平均数为，

方差为.

故选：B.

9．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.

【详解】由于，所以命题为真命题；

由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；

所以为真命题，、、为假命题.

故选：A．

10．已知复数z满足，则z在复平面上对应的点所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】先由复数的除法运算法则求得复数z，再由复数的几何意义求解即可

【详解】因为，

所以，

所以z在复平面上对应的点所在的象限是第四象限，

故选：D

11．若一组样本数据，，，的方差为16 ， 则数据，，，的方差为（    ）

A．63 B．64 C．32 D．31

【答案】B

【分析】利用方差的性质即可求解.

【详解】因为，，，的方差为16，则数据，，，的方差为.

故选：B

12．已知某产品的营销费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的统计数据如表所示：

根据上表可得y关于x的回归直线方程为，则当该产品的营销费用为6万元时，销售额为（   ）A．40.5万元              B．41.5万元              C．42.5万元              D．45万元

【答案】C

【分析】利用平均数的公式及样本的中心在回归直线方程上，求出回归直线方程，再将代入回归直线方程即可求解.

【详解】由题中表格数据可知，，因为回归直线一定经过点，所以，解得，

所以回归直线方程为，将代入，得.

所以当该产品的营销费用为6万元时，销售额为42.5万元.

故选:C.

二、填空题

13．已知向量，，若，则______

【答案】##

【分析】根据向量平行的坐标运算公式，计算可得答案.

【详解】因为向量，，且，

所以，解得.

故答案为：.

14．若复数（）在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是_______.

【答案】

【分析】根据复数实部虚部的符号特点，解出关于的不等式即可求得的范围

【详解】复数（）在复平面上对应的点位于第二象限.

可得 解得.

故答案为：

15．已知i是虚数单位，则的值为___________.

【答案】

【分析】先求，再求模.

【详解】因为，

所以.

故答案为：

16．某校高三（1）班有56名学生，学号为01到56，现采用随机数表法从该班抽取8名学生参与问卷调查．已知随机数表中第2行和第3行的各数如下：

若从随机数表的第2行第5列的数开始向右读，则抽取的第6名学生的学号是______________

【答案】51

【分析】找到开始数字，根据样本编号向右每次读取两个数字，超范围的数字舍去，重复的数字舍去，得到的第6个样本标号即所求.

【详解】第2行第5列的数为3，因为班级学生学号为01到56，

所以向右读依次为：32，60（舍去），57（舍去），34，81（舍去），32（舍去），08，92（舍去），15，64（舍去），59（舍去），72（舍去），08（舍去），26，75（舍去），90（舍去），86（舍去），73（舍去），51，得第6个样本标号为51.

故答案为：51.

三、解答题

17．记等差数列的前n项和为，．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据已知条件列出关于首项和公差的方程组即可求解；

(2)根据等比数列求和公式即可求解．

【详解】（1）由题可知，解得，，

∴；

（2）∵，∴，

∴是首项为3，公比为9的等比数列，

∴﹒

18．已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．

(1)求A；

(2)设边上的高为h，若，求．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由正弦定理将已知等式统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式可求出角，

（2）设边上的高为，则，由得，可得，再利用勾股定理可得，再利用余弦定理可求得结果.

【详解】（1）因为，

所以由正弦定理得，

所以,

，

所以，

所以，

因为，

所以，所以，

因为，所以

（2）设边上的高为，则，

因为，所以为等腰直角三角形，

所以，

因为，所以，

所以，

在中，由余弦定理得

，

19．某地教体局为了解该地中学生暑假期间阅读课外读物的情况，从该地中学生中随机抽取100人进行调查，根据调查所得数据，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值，并估计该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的平均值.（各组数据以该组中间值作代表）

(2)若某中学生在暑假期间阅读课外读物不低于6本，则称该中学生为阅读达人.已知样本中男生人数是女生人数的1.5倍，阅读达人中男生人数与女生人数的比值是.完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为是否是阅读达人与性别有关.

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】(1)，平均值

(2)列联表答案见解析，有95%的把握认为是否是阅读达人与性别有关

【分析】（1）由频率直方图的小矩形面积和为1，可求解，将每个小矩形的中点和矩形面积相乘求和可估计平均值；

（2）根据题干数据填写列联表，利用公式求解，再与临界值比较即可.

【详解】（1）由图可知，解得.

则该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的平均值.

（2）由频率分布直方图可知样本中阅读达人有人，

则阅读达人中男生人数为，阅读达人中女生人数为.

因为样本中男生人数是女生人数的1.5倍，所以样本中女生人数为，

男生人数为.

则.

因为，所以有95%的把握认为是否是阅读达人与性别有关.

20．某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价（千元）和销售量（千件）之间的一组数据如下表所示：

（1）试根据1至5月份的数据，建立关于的回归直线方程；

（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？

参考公式：回归直线方程，其中.

参考数据：，.

【答案】（1）；（2）是.

【分析】（1）先由表中的数据求出，再利用已知的数据和公式求出，从而可求出关于的回归直线方程；

（2）当时，求出的值，再与15比较即可得结论

【详解】（1）因为，，

所以，

得，

于是关于的回归直线方程为；

（2）当时，，

则，

故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.

21．设等比数列{an}满足，．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；

（2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

根据题意，有，解得，

所以；

（2）令，

所以，

根据，可得，

整理得，因为，所以，

【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．

(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)直线与曲线交于两点，点，求的值．

【答案】(1)见答案；

(2).

【分析】（1）根据参数方程和普通方程互化公式，代入整理即可得到答案；

（2）由题意，重新改写直线的参数方程，代入圆的普通方程整理，根据参数的几何意义，把整理为，利用韦达定理代入数据整理可得答案.

【详解】（1）将直线的参数方程消去参数得，

所以直线的普通方程为，

将曲线的极坐标方程化为普通方程为；

（2）因为直线过点，

所以直线的参数方程可改写为（为参数），

代入中，并整理得，

设两点对应的参数分别为，由韦达定理得，，

.