


西藏林芝市第二高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
展开注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.在以下调查中,适合用普查的是( )
A.调查一批小包装饼干的卫生是否达标
B.调查一批袋装牛奶的质量
C.调查一个班级的学生每天完成家庭作业所需要的时间
D.调查一批绳索的抗拉强度是否达到要求
2.某校高三年级共有学生人,为了解他们的视力状况,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本,若样本中共有女生人,则该校高三年级共有男生( )人
A.B.C.D.
3.现有一个容量为50的样本,其数据的频数分布表如下表所示:
则第4组的频数和频率分别是( )
A.12,0.06B.12,0.24C.18,0.09D.18,0.36
4.若经过点和的直线的斜率为2,则( )
A.1B.2C.3D.4
5.已知三条直线交于一点,则实数=( )
A.B.1
C.D.
6.若过点的直线与以,为端点的线段相交,则直线的倾斜角取值范围为( )
A.B.
C.D.
7.在轴上的截距分别为的直线被圆截得的弦长为( )
A.B.C.D.
8.我国古代的数学名著《数书九章》中记载了“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米2500石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得250粒内夹谷30粒,则这批米内夹谷的石数约为( )
A.150B.175C.300D.360
第II卷(非选择题)
二、填空题(每小题5分,共40分)
9.直线的斜率为 .
10.若直线过点且与平行,则直线的一般方程为 .
11.以点为圆心,且与轴相切的圆的标准方程为 .
12.已知圆的半径为3,则 .
13.为响应自己城市倡导的低碳出行,措姆老师选择骑自行车上班,她记录了次骑车所用时间(单位:分钟),得到频率分布直方图,则骑车时间的众数的估计值是 分钟
14.一组数据,,,,,,,,的第百分位数是 .
15.点到直线:的距离是
16.若,,,的方差为2,则,,,的方差为 .
三、解答题(本大题6小题,共70分。)
17.(10分)为了弘扬体育精神,某校组织秋季运动会,在一项比赛中,学生甲和乙各自进行了8组投篮,现得分情况如下:
(1)求出乙的平均得分和方差;
(2)如果学生甲的平均得分为8分,那么甲这组数据的第75百分位数是多少.
18.(12分)根据条件写出下列直线的方程:
(1)斜率为,在轴上的截距是;
(2)倾斜角为,在轴上的截距是;
(3)倾斜角是直线的倾斜角的一半,且过点.
19.(12分)已知.
(1)求点到直线的距离;
(2)求三角形ABC的外接圆的方程.
20.(12分)求满足下列条件的圆的方程:
(1)经过点,,圆心在轴上;
(2)经过直线与的交点,圆心为点.
21.(12分)已知直线经过点,圆.
(1)若直线与圆C相切,求直线的方程;
(2)若直线被圆C截得的弦长为,求直线的方程.
22.(12分)2023年9月23日,第19届亚洲运动会开幕式在浙江省杭州市举行,为了解某校学生对亚运会相关知识的了解情况,从该校抽取100名学生进行了亚运会知识竞赛并纪录得分(满分:100分),根据得分将他们的成绩分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组,制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值;
(2)估计竞赛成绩不低于60分的概率;
(3)估计这100人竞赛成绩的平均数(同一组数据用该组数据的中点值代替)及中位数。组号
1
2
3
4
5
频数
8
11
10
9
甲
10
8
x
8
7
9
6
8
乙
6
9
8
5
7
6
7
8
数学期中参考答案:
1.C
【分析】根据普查的适用前提,结合各项描述确定适用普查的对象.
【详解】普查适用总体数量较少以及破坏性不大的情况,显然A、B、D的调查对象不适用,
对于C,一个班级的学生人数相对较少,适用普查方式.
故选:C
2.B
【分析】设高三男生人数为人,则高三女生人数为人,利用分层抽样可得出关于的等式,解之即可.
【详解】设高三男生人数为人,则高三女生人数为人,
由分层抽样可得,解得.
故选:B.
3.B
【分析】根据表格中数据,先计算出频数,再计算频率.
【详解】第4组的频数,频率为.
故选:B
4.C
【分析】根据题意,由斜率的计算公式,代入计算,即可得到结果.
【详解】因为,所以.
故选:C
5.C
【分析】联立不含参直线求出交点坐标,再代入含参直线方程求参数即可.
【详解】由,即两直线交点坐标为,
代入得:.
故选:C
6.D
【分析】画出图形分析,结合直线的倾斜角以及斜率的关系即可求解.
【详解】如图所示:
当点从点向点运动时,则直线的倾斜角越来越大,
当点与点重合时,直线的倾斜角的最小值为,
由直线倾斜角与斜率的关系可知,
所以,
当点与点重合时,直线的倾斜角的最大值为,
由直线倾斜角与斜率的关系可知,
所以,
又注意到当点从点向点运动时,是连续变化的,
因此满足题意的直线的倾斜角取值范围为.
故选:D.
7.B
【分析】根据题意,求得直线的方程为,结合圆的弦长公式,即可求解.
【详解】由题意得,直线的方程为,即,
又由,可化为,
可得圆的圆心为,半径为,则圆心到直线的距离,
所以直线被圆截得的弦长为.
故选:B.
8.C
【分析】根据数得250粒内夹谷30粒,可得比例,即可得出结论.
【详解】解:根据样本估计总体思想,这批米内夹谷的石数约为(石).
故选:C
9.
【分析】把直线方程化为斜截式方程进行求解即可.
【详解】,
因此该直线的斜率为,
故答案为:
10.
【分析】依题知斜率和点,写出点斜式方程,最后化为一般方程.
【详解】因为直线的斜率是:,且直线与平行,直线的斜率也为,故直线的方程是:,整理得.
故答案为:
11.
【分析】根据题意得出半径,即可得出圆的标准方程.
【详解】以点为圆心,且与轴相切的圆的半径为1,
故圆的标准方程是.
故答案为:
12.
【分析】化简圆的方程为圆的标准方程,根据题意列出方程,即可求解.
【详解】将圆的方程转化为,
因为圆的半径为3,所以,即.
故答案为:.
13.
【分析】利用最高矩形底边的中点值即为样本数据的众数可得结果.
【详解】由频率分布直方图可知,骑车时间的众数的估计值是分钟.
故答案为:.
14.
【分析】应用百分数的求法求数据的第百分位数.
【详解】将数据从小到大排列为,共9个数据,
由,故第百分位数是第三个数据为20.
故答案为:20
15.
【分析】直接代入点到直线的距离公式求解即可.
【详解】点到直线:的距离是.
故答案为:.
16.18
【分析】根据方差的性质求解.
【详解】若,,,的方差为2,则,,,的方差为.
故答案为:18.
17.(1)7;1.5
(2)8.5
【分析】(1)根据平均数和方差的计算公式求得正确答案.
(2)先求得的值,然后根据百分位数的知识求得正确答案.
【详解】(1)由题可得,乙的平均得分为,
方差为:
.
(2)∵数据10,8,x,8,7,9,6,8的平均数为8,
则有,
将得分按照从小到大的顺序排列为:6,7,8,8,8,8,9,10,
∵,
∴第75百分位数为,
即这组数据的第75百分位数是8.5.
18.(1)或;
(2)或;
(3)或.
【分析】(1)利用斜截式方程求解即可;
(2)先由倾斜角求出斜率,再设直线方程为,将代入求解即可;
(3)根据倾斜角的关系求出直线斜率,再将代入即可求解.
【详解】(1)因为直线斜率为,在轴上的截距是,
所以由斜截式可得直线方程为或.
(2)因为直线倾斜角为,所以该直线斜率为,
设直线方程为,又因为在轴上的截距是,
所以将代入解得直线方程为或.
(3)因为直线的斜率为,
所以直线的倾斜角为,
所以由题意得所求直线的倾斜角为,斜率为,
设所求直线为,将代入可得,
所以所求直线方程为或.
19.(1)
(2)
【分析】(1)利用直线的两点式求得直线的方程为,由点到直线距离公式即可求出结果;
(2)设的外接圆的方程为,代入坐标联立解方程组即可求得结果.
【详解】(1)直线的方程为,
化简可得,
所以点到直线的距离.
(2)设的外接圆的方程为,
将的坐标代入,得
,即
解得;
故所求圆的方程为.
20.(1)
(2)
【分析】(1)设出圆的方程,代入A、B两点坐标,求出圆心和半径,从而求出圆的方程;(2)先求出交点坐标,进而求出半径,写出圆的方程.
【详解】(1)设圆的方程为,由题意得:,解得:,所以圆的方程为;
(2)联立与,解得:,所以交点为,则圆的半径为,所以圆的方程为.
21.(1)或
(2)或
【分析】(1)根据直线与圆相切,进行求解;
(2)先由勾股定理求出圆心到直线的距离,再由距离公式求解即可.
【详解】(1)由已知圆,所以圆心坐标为,半径为2.
当直线的斜率不存在时,即直线的方程为:,此时是与圆相切,满足题意;
当直线的斜率存在时,设直线为:,即,
则圆C的圆心到直线l的距离,解得,
故直线l的方程为.综上,直线l的方程为或.
(2)因为直线l被圆C所截得的弦长为,
所以圆心到直线l的距离为.
由(1)可知,直线的斜率一定存在,设直线为:,即,则圆心到直线l的距离,解得或.
故直线l的方程为或.
22.(1)
(2)
(3)平均数为,中位数为
【分析】(1)根据频率之和为求得.
(2)根据频率分布直方图求得所求概率.
(3)根据平均数和中位数的求法求得正确答案.
【详解】(1),
.
(2)竞赛成绩不低于60分的概率为.
(3)平均数为
前组的频率为,
所以中位数为.
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