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西藏林芝市第二高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
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这是一份西藏林芝市第二高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题，共3页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，若经过点和的直线的斜率为2，则，已知三条直线交于一点，则实数=等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．在以下调查中，适合用普查的是（ ）
A．调查一批小包装饼干的卫生是否达标
B．调查一批袋装牛奶的质量
C．调查一个班级的学生每天完成家庭作业所需要的时间
D．调查一批绳索的抗拉强度是否达到要求
2．某校高三年级共有学生人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若样本中共有女生人，则该校高三年级共有男生（ ）人
A．B．C．D．
3．现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示：
则第4组的频数和频率分别是（ ）
A．12，0.06B．12，0.24C．18，0.09D．18，0.36
4．若经过点和的直线的斜率为2，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知三条直线交于一点，则实数=（ ）
A．B．1
C．D．
6．若过点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．在轴上的截距分别为的直线被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
8．我国古代的数学名著《数书九章》中记载了“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷的石数约为（ ）
A．150B．175C．300D．360
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共40分）
9．直线的斜率为 ．
10．若直线过点且与平行，则直线的一般方程为 .
11．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为 .
12．已知圆的半径为3，则 .
13．为响应自己城市倡导的低碳出行，措姆老师选择骑自行车上班，她记录了次骑车所用时间（单位：分钟），得到频率分布直方图，则骑车时间的众数的估计值是 分钟
14．一组数据，，，，，，，，的第百分位数是 .
15．点到直线：的距离是
16．若，，，的方差为2，则，，，的方差为 ．
三、解答题（本大题6小题，共70分。）
17．（10分）为了弘扬体育精神，某校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲和乙各自进行了8组投篮，现得分情况如下：
(1)求出乙的平均得分和方差；
(2)如果学生甲的平均得分为8分，那么甲这组数据的第75百分位数是多少.
18．（12分）根据条件写出下列直线的方程：
(1)斜率为，在轴上的截距是；
(2)倾斜角为，在轴上的截距是；
(3)倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点．
19．（12分）已知.
(1)求点到直线的距离；
(2)求三角形ABC的外接圆的方程.
20．（12分）求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过点，，圆心在轴上；
(2)经过直线与的交点，圆心为点.
21．（12分）已知直线经过点，圆．
(1)若直线与圆C相切，求直线的方程；
(2)若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程．
22．（12分）2023年9月23日，第19届亚洲运动会开幕式在浙江省杭州市举行，为了解某校学生对亚运会相关知识的了解情况，从该校抽取100名学生进行了亚运会知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值；
(2)估计竞赛成绩不低于60分的概率；
(3)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数。组号
1
2
3
4
5
频数
8
11
10
9
甲
10
8
x
8
7
9
6
8
乙
6
9
8
5
7
6
7
8
数学期中参考答案：
1．C
【分析】根据普查的适用前提，结合各项描述确定适用普查的对象.
【详解】普查适用总体数量较少以及破坏性不大的情况，显然A、B、D的调查对象不适用，
对于C，一个班级的学生人数相对较少，适用普查方式.
故选：C
2．B
【分析】设高三男生人数为人，则高三女生人数为人，利用分层抽样可得出关于的等式，解之即可.
【详解】设高三男生人数为人，则高三女生人数为人，
由分层抽样可得，解得.
故选：B.
3．B
【分析】根据表格中数据，先计算出频数，再计算频率.
【详解】第4组的频数，频率为.
故选：B
4．C
【分析】根据题意，由斜率的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以．
故选：C
5．C
【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可.
【详解】由，即两直线交点坐标为，
代入得：.
故选：C
6．D
【分析】画出图形分析，结合直线的倾斜角以及斜率的关系即可求解.
【详解】如图所示：
当点从点向点运动时，则直线的倾斜角越来越大，
当点与点重合时，直线的倾斜角的最小值为，
由直线倾斜角与斜率的关系可知，
所以，
当点与点重合时，直线的倾斜角的最大值为，
由直线倾斜角与斜率的关系可知，
所以，
又注意到当点从点向点运动时，是连续变化的，
因此满足题意的直线的倾斜角取值范围为.
故选：D.
7．B
【分析】根据题意，求得直线的方程为，结合圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由题意得，直线的方程为，即，
又由，可化为，
可得圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得的弦长为．
故选：B.
8．C
【分析】根据数得250粒内夹谷30粒，可得比例，即可得出结论．
【详解】解：根据样本估计总体思想，这批米内夹谷的石数约为（石）．
故选：C
9．
【分析】把直线方程化为斜截式方程进行求解即可.
【详解】，
因此该直线的斜率为，
故答案为：
10．
【分析】依题知斜率和点，写出点斜式方程，最后化为一般方程.
【详解】因为直线的斜率是：，且直线与平行，直线的斜率也为，故直线的方程是：，整理得.
故答案为：
11．
【分析】根据题意得出半径，即可得出圆的标准方程.
【详解】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为1，
故圆的标准方程是.
故答案为：
12．
【分析】化简圆的方程为圆的标准方程，根据题意列出方程，即可求解.
【详解】将圆的方程转化为，
因为圆的半径为3，所以，即.
故答案为：.
13．
【分析】利用最高矩形底边的中点值即为样本数据的众数可得结果.
【详解】由频率分布直方图可知，骑车时间的众数的估计值是分钟.
故答案为：.
14．
【分析】应用百分数的求法求数据的第百分位数.
【详解】将数据从小到大排列为，共9个数据，
由，故第百分位数是第三个数据为20.
故答案为：20
15．
【分析】直接代入点到直线的距离公式求解即可.
【详解】点到直线：的距离是.
故答案为：.
16．18
【分析】根据方差的性质求解．
【详解】若，，，的方差为2，则，，，的方差为．
故答案为：18．
17．(1)7；1.5
(2)8.5
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式求得正确答案.
（2）先求得的值，然后根据百分位数的知识求得正确答案.
【详解】（1）由题可得，乙的平均得分为，
方差为：
.
（2）∵数据10，8，x，8，7，9，6，8的平均数为8，
则有，
将得分按照从小到大的顺序排列为：6，7，8，8，8，8，9，10，
∵，
∴第75百分位数为，
即这组数据的第75百分位数是8.5.
18．(1)或；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）利用斜截式方程求解即可；
（2）先由倾斜角求出斜率，再设直线方程为，将代入求解即可；
（3）根据倾斜角的关系求出直线斜率，再将代入即可求解.
【详解】（1）因为直线斜率为，在轴上的截距是，
所以由斜截式可得直线方程为或.
（2）因为直线倾斜角为，所以该直线斜率为，
设直线方程为，又因为在轴上的截距是，
所以将代入解得直线方程为或.
（3）因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
所以由题意得所求直线的倾斜角为，斜率为，
设所求直线为，将代入可得，
所以所求直线方程为或．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用直线的两点式求得直线的方程为，由点到直线距离公式即可求出结果；
（2）设的外接圆的方程为，代入坐标联立解方程组即可求得结果.
【详解】（1）直线的方程为，
化简可得，
所以点到直线的距离.
（2）设的外接圆的方程为，
将的坐标代入，得
，即
解得；
故所求圆的方程为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）设出圆的方程，代入A、B两点坐标，求出圆心和半径，从而求出圆的方程；（2）先求出交点坐标，进而求出半径，写出圆的方程.
【详解】（1）设圆的方程为，由题意得：，解得：，所以圆的方程为；
（2）联立与，解得：，所以交点为，则圆的半径为，所以圆的方程为.
21．(1)或
(2)或
【分析】（1）根据直线与圆相切，进行求解；
（2）先由勾股定理求出圆心到直线的距离，再由距离公式求解即可.
【详解】（1）由已知圆，所以圆心坐标为，半径为2.
当直线的斜率不存在时，即直线的方程为：，此时是与圆相切，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线为：，即，
则圆C的圆心到直线l的距离，解得，
故直线l的方程为．综上，直线l的方程为或．
（2）因为直线l被圆C所截得的弦长为，
所以圆心到直线l的距离为．
由（1）可知，直线的斜率一定存在，设直线为：，即，则圆心到直线l的距离，解得或．
故直线l的方程为或．
22．(1)
(2)
(3)平均数为，中位数为
【分析】（1）根据频率之和为求得.
（2）根据频率分布直方图求得所求概率.
（3）根据平均数和中位数的求法求得正确答案.
【详解】（1），
.
（2）竞赛成绩不低于60分的概率为.
（3）平均数为
前组的频率为，
所以中位数为.
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．在以下调查中，适合用普查的是（ ）
A．调查一批小包装饼干的卫生是否达标
B．调查一批袋装牛奶的质量
C．调查一个班级的学生每天完成家庭作业所需要的时间
D．调查一批绳索的抗拉强度是否达到要求
2．某校高三年级共有学生人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若样本中共有女生人，则该校高三年级共有男生（ ）人
A．B．C．D．
3．现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示：
则第4组的频数和频率分别是（ ）
A．12，0.06B．12，0.24C．18，0.09D．18，0.36
4．若经过点和的直线的斜率为2，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知三条直线交于一点，则实数=（ ）
A．B．1
C．D．
6．若过点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．在轴上的截距分别为的直线被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
8．我国古代的数学名著《数书九章》中记载了“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷的石数约为（ ）
A．150B．175C．300D．360
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共40分）
9．直线的斜率为 ．
10．若直线过点且与平行，则直线的一般方程为 .
11．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为 .
12．已知圆的半径为3，则 .
13．为响应自己城市倡导的低碳出行，措姆老师选择骑自行车上班，她记录了次骑车所用时间（单位：分钟），得到频率分布直方图，则骑车时间的众数的估计值是 分钟
14．一组数据，，，，，，，，的第百分位数是 .
15．点到直线：的距离是
16．若，，，的方差为2，则，，，的方差为 ．
三、解答题（本大题6小题，共70分。）
17．（10分）为了弘扬体育精神，某校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲和乙各自进行了8组投篮，现得分情况如下：
(1)求出乙的平均得分和方差；
(2)如果学生甲的平均得分为8分，那么甲这组数据的第75百分位数是多少.
18．（12分）根据条件写出下列直线的方程：
(1)斜率为，在轴上的截距是；
(2)倾斜角为，在轴上的截距是；
(3)倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点．
19．（12分）已知.
(1)求点到直线的距离；
(2)求三角形ABC的外接圆的方程.
20．（12分）求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过点，，圆心在轴上；
(2)经过直线与的交点，圆心为点.
21．（12分）已知直线经过点，圆．
(1)若直线与圆C相切，求直线的方程；
(2)若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程．
22．（12分）2023年9月23日，第19届亚洲运动会开幕式在浙江省杭州市举行，为了解某校学生对亚运会相关知识的了解情况，从该校抽取100名学生进行了亚运会知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值；
(2)估计竞赛成绩不低于60分的概率；
(3)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数。组号
1
2
3
4
5
频数
8
11
10
9
甲
10
8
x
8
7
9
6
8
乙
6
9
8
5
7
6
7
8
数学期中参考答案：
1．C
【分析】根据普查的适用前提，结合各项描述确定适用普查的对象.
【详解】普查适用总体数量较少以及破坏性不大的情况，显然A、B、D的调查对象不适用，
对于C，一个班级的学生人数相对较少，适用普查方式.
故选：C
2．B
【分析】设高三男生人数为人，则高三女生人数为人，利用分层抽样可得出关于的等式，解之即可.
【详解】设高三男生人数为人，则高三女生人数为人，
由分层抽样可得，解得.
故选：B.
3．B
【分析】根据表格中数据，先计算出频数，再计算频率.
【详解】第4组的频数，频率为.
故选：B
4．C
【分析】根据题意，由斜率的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以．
故选：C
5．C
【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可.
【详解】由，即两直线交点坐标为，
代入得：.
故选：C
6．D
【分析】画出图形分析，结合直线的倾斜角以及斜率的关系即可求解.
【详解】如图所示：
当点从点向点运动时，则直线的倾斜角越来越大，
当点与点重合时，直线的倾斜角的最小值为，
由直线倾斜角与斜率的关系可知，
所以，
当点与点重合时，直线的倾斜角的最大值为，
由直线倾斜角与斜率的关系可知，
所以，
又注意到当点从点向点运动时，是连续变化的，
因此满足题意的直线的倾斜角取值范围为.
故选：D.
7．B
【分析】根据题意，求得直线的方程为，结合圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由题意得，直线的方程为，即，
又由，可化为，
可得圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得的弦长为．
故选：B.
8．C
【分析】根据数得250粒内夹谷30粒，可得比例，即可得出结论．
【详解】解：根据样本估计总体思想，这批米内夹谷的石数约为（石）．
故选：C
9．
【分析】把直线方程化为斜截式方程进行求解即可.
【详解】，
因此该直线的斜率为，
故答案为：
10．
【分析】依题知斜率和点，写出点斜式方程，最后化为一般方程.
【详解】因为直线的斜率是：，且直线与平行，直线的斜率也为，故直线的方程是：，整理得.
故答案为：
11．
【分析】根据题意得出半径，即可得出圆的标准方程.
【详解】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为1，
故圆的标准方程是.
故答案为：
12．
【分析】化简圆的方程为圆的标准方程，根据题意列出方程，即可求解.
【详解】将圆的方程转化为，
因为圆的半径为3，所以，即.
故答案为：.
13．
【分析】利用最高矩形底边的中点值即为样本数据的众数可得结果.
【详解】由频率分布直方图可知，骑车时间的众数的估计值是分钟.
故答案为：.
14．
【分析】应用百分数的求法求数据的第百分位数.
【详解】将数据从小到大排列为，共9个数据，
由，故第百分位数是第三个数据为20.
故答案为：20
15．
【分析】直接代入点到直线的距离公式求解即可.
【详解】点到直线：的距离是.
故答案为：.
16．18
【分析】根据方差的性质求解．
【详解】若，，，的方差为2，则，，，的方差为．
故答案为：18．
17．(1)7；1.5
(2)8.5
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式求得正确答案.
（2）先求得的值，然后根据百分位数的知识求得正确答案.
【详解】（1）由题可得，乙的平均得分为，
方差为：
.
（2）∵数据10，8，x，8，7，9，6，8的平均数为8，
则有，
将得分按照从小到大的顺序排列为：6，7，8，8，8，8，9，10，
∵，
∴第75百分位数为，
即这组数据的第75百分位数是8.5.
18．(1)或；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）利用斜截式方程求解即可；
（2）先由倾斜角求出斜率，再设直线方程为，将代入求解即可；
（3）根据倾斜角的关系求出直线斜率，再将代入即可求解.
【详解】（1）因为直线斜率为，在轴上的截距是，
所以由斜截式可得直线方程为或.
（2）因为直线倾斜角为，所以该直线斜率为，
设直线方程为，又因为在轴上的截距是，
所以将代入解得直线方程为或.
（3）因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
所以由题意得所求直线的倾斜角为，斜率为，
设所求直线为，将代入可得，
所以所求直线方程为或．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用直线的两点式求得直线的方程为，由点到直线距离公式即可求出结果；
（2）设的外接圆的方程为，代入坐标联立解方程组即可求得结果.
【详解】（1）直线的方程为，
化简可得，
所以点到直线的距离.
（2）设的外接圆的方程为，
将的坐标代入，得
，即
解得；
故所求圆的方程为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）设出圆的方程，代入A、B两点坐标，求出圆心和半径，从而求出圆的方程；（2）先求出交点坐标，进而求出半径，写出圆的方程.
【详解】（1）设圆的方程为，由题意得：，解得：，所以圆的方程为；
（2）联立与，解得：，所以交点为，则圆的半径为，所以圆的方程为.
21．(1)或
(2)或
【分析】（1）根据直线与圆相切，进行求解；
（2）先由勾股定理求出圆心到直线的距离，再由距离公式求解即可.
【详解】（1）由已知圆，所以圆心坐标为，半径为2.
当直线的斜率不存在时，即直线的方程为：，此时是与圆相切，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线为：，即，
则圆C的圆心到直线l的距离，解得，
故直线l的方程为．综上，直线l的方程为或．
（2）因为直线l被圆C所截得的弦长为，
所以圆心到直线l的距离为．
由（1）可知，直线的斜率一定存在，设直线为：，即，则圆心到直线l的距离，解得或．
故直线l的方程为或．
22．(1)
(2)
(3)平均数为，中位数为
【分析】（1）根据频率之和为求得.
（2）根据频率分布直方图求得所求概率.
（3）根据平均数和中位数的求法求得正确答案.
【详解】（1），
.
（2）竞赛成绩不低于60分的概率为.
（3）平均数为
前组的频率为，
所以中位数为.
