第4章 三角形（培优篇）-【挑战满分】七年级数学下册阶段性复习精选精练（北师大版）

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第4章 三角形（培优篇）
一、（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（       ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，是边上的点，是边上的点，且，，若的面积为1，则的面积为（       ）

A． B． C． D．
3．如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，与相交于点，若，则是（       ）

A． B． C． D．
4．如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（       ）

A．14 B．15 C．16 D．28
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
6．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，已知，点D、E分别在、上且，连接交于点M，连接，过点A分别作，垂足分别为F、G，下列结论：①；②；③平分；④如果，则E是的中点；其中正确结论的个数为（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图(十二)，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP =2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E两点，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：

(甲) 作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求
(乙) 作AB之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？
A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是中线，过点B作BF⊥AE于点F，过点C作CD⊥BC交BF的延长线于点D．下列结论：①BE＝CE；②AE＝BD；③∠BAE＝∠CBD；④∠EAC＝∠BAE；⑤BC＝2CD．正确的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，、是的角平分线，、相交于点F，已知，则下列说法中正确的个数是（       ）

①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如果△ABC的三边长分别为3、5、7，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x-1，若这两个三角形全等，则x的值为(     )
A． B．4 C．3 D．5
12．如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别做AF⊥CE，AG⊥BD垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠FAG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．在中给定下面几组条件：
①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；
②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；
③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；   
④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．
若根据每组条件画图，则能够唯一确定的是___________（填序号）.
14．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．

15．如图，中，，，D为延长线上一点，，且，与的延长线交于点P，若，则__________．

16．如图，在锐角中，AC＝10，，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是_______________

17．如图，已知等边△ABC，AB=6，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DF交BC于点P，作DE⊥BC与点E，则EP的长是_____．

18．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，连结BE、CD交于点F．将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，且EB'∥DC'∥BC，若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是 ___．

三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（8分）证明命题“全等三角形的面积相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．

已知：如图， ．
求证： ．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．




20．（10分）如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t＜3）．
(1)用含t的代数式表示PC的长度．
(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？




21．（10分）如图，在中，，垂足为，，垂足为，，与相交于点．
(1)请说明的理由．
(2)如果，试说明平分的理由．







22．（10分）△ABC、△DPC都是等边三角形．
(1)如图1，求证：AP＝BD；
(2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．
①求证：BP⊥BD；
②判断PC与PA的数量关系并证明．




23．（10分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果）


















24．（12分）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．



















参考答案
1．D
【解析】
【分析】题目由于在三角形中未确定大小，所以需要进行分类讨论：（1），作出符合题意的相应图形，由图可得：，根据角平分线的性质得：，在中，，故可得；（2）时，由图可得：，，在中，，故可得；综上可得：．
【详解】
解：（1）如图1所示：时，
图1


∵CD是AB边上的高，
∴，，
∵，，
∴，
∵CE平分，
∴，
在中，，
∴；
（2）如图2所示：时，
图2

∵CD是AB边上的高，
∴，，
∵，，
∴，
∵CE平分，
∴，
在中，，
∴；
综合（1）（2）两种情况可得：．
故选：D．
【点拨】题目主要考查对三角形分类讨论、数形结合思想，主要知识点是三角形的角平分线、高线的基本性质及图形内角的运算，题目难点是在依据题意进行分类讨论的情况下，作出相应的三角形图形．
2．D
【解析】
【分析】连结AF，由，得，推出
，的面积为1，求出，由，同理求出由面积和得．
【详解】
连结AF，
∵，
∴，
∴，
设S△ACD=，S△AFD=，
∴，，
∴，
的面积为1，
，
由，
同理，
∴，
．
故选择：D．


【点拨】本题考查面积比问题，掌握同高情况下面积比等于底的比，推出两对同底的面积差的比等于低的比是解题关键．
3．C
【解析】
【分析】∠DCM=∠D+∠DBC，∠ACM=∠A+∠ABC，再结合角平分线，得到∠A=2∠D即可．
【详解】
解：∵是的平分线，
∴∠ABC=2∠DBC，
同理，∠ACM=2∠DCM，
∵∠ACM=∠A+∠ABC，
∴2∠DCM=∠A+2∠DBC
∵∠DCM=∠D+∠DBC，
∴∠A=2∠D，
∵，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了角平分线性质和三角形外角的性质，解题关键是利用外角的性质和角平分线性质得到∠A与∠D的关系．
4．A
【解析】
【分析】在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后根据不等式的性质即可得到正确的结论.
【详解】
解：如图所示，在△ABP中，AP+ BP> AB，
同理: BP + PC > BC，AP+ PC > AC，
以上三式左右两边分别相加得到:
2(PA+ PB+ PC)> AB+ BC+ AC,
即PA+ PB+ PC>(AB+ BC+ AC)，
∴PA+ PB+ PC>×（12+10+6）=14，
即PA+ PB+ PC>14
故选A.
【点拨】本题主要考查的是三角形的三边关系，在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论;
5．D
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠BAD＝180°，又BE、AE都是角平分线，可以推出∠ABE+∠BAE＝90°，从而得到∠AEB＝90°，然后延长AE交BC的延长线于点F，先证明△ABE与△FBE全等，再根据全等三角形对应边相等得到AE＝EF，然后证明△AED与△FEC全等，从而可以证明①②⑤正确，AB与CD不一定相等，所以③④不正确．
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAD+∠ABC）＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°，
故①小题正确；
如图，延长AE交BC延长线于F，

∵∠AEB＝90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB＝BF，AE＝FE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠F，
在△ADE与△FCE中， ，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD，故②小题正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴CE＝DE，即点E为CD的中点，
∵BE与CE不一定相等
∴BE与CD不一定相等，故③小题错误；
若AD＝BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC＝CE，
∵AD与BC不一定相等，
∴BC与CE不一定相等，故④小题错误；
∵BF＝AB＝x，BE⊥EF，
∴BE的取值范围为0＜BE＜x，故⑤小题正确．
综上所述，正确的有①②⑤．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明BE⊥AF并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高．
6．C
【解析】
【分析】由全等三角形的判定及性质对每个结论推理论证即可．
【详解】
∵
∴
∴
又∵，
∴
∴
故①正确
∵
∴
由三角形外角的性质有

则
故②正确
作于，于，如图所示：

则°，
在和中，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴
∴平分
故④正确
假设平分
则
∵
∴
即
由④知
又∵为对顶角
∴
∴
∴
∴在和中，
∴
即AB=AC
又∵
故假设不符，故不平分
故③错误．
综上所述①②④正确，共有3个正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，灵活的选择全等三角形的判定的方法是解题的关键，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．
7．D
【解析】
【分析】根据三角形全等的判定定理和性质，角平分线的性质定理的逆定理，三角形的面积公式，四边形的内角和定理，补角的定义等逐一判断即可．
【详解】
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE，BE=CD，
∴∠EBM=∠DCM，
∵∠BME=∠CMD，
∴△BME≌△CMD，
∴结论①正确；
∵，
∴∠FAG+∠FMG=180°，
∵∠EMB+∠FMG=180°，
∴∠FAG=∠EMB，
∴结论②正确；
∵△BME≌△CMD，
∴∠BEM=∠CDM，
∴∠AEF=∠ADG，
∵，AE=AD，
∴△AEF≌△ADG，
∴AF=AG，
∴MA平分∠EMD，
∴结论③正确；
∵△BME≌△CMD，
∴∠BEM=∠CDM，EM=DM，
∴∠AEM=∠ADM，
∵AE=AD，
∴△AEM≌△ADM，
∴，
∵，
∴，
∴E是AB的中点，
∴结论④正确；
故选D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角的平分线的性质定理的逆定理，邻角，四边形的内角和定理，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
8．D
【解析】
【分析】先根据直线CP是AB的中垂线且交AB于P，再判断△ABC是等腰三角形，即AC=BC，最后根据线段垂直平分线的性质作出AD=DC=CE=EB．
【详解】
解：甲：∵虽然AP = CP，即CP=AP,但∠A≠∠ACP，
∴∠A≠∠ACD，即AD≠CD
∴甲错误
乙：∵CP是线段AB的中垂线，
∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，
∴∠A=∠B，
如图：作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=EB，
∴AD=DC，EB=CE，
∴AD=DC=EB=CE，即乙正确
故答案为D．

【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确做出辅助线成为解答本题的关键．
9．C
【解析】
【分析】根据三角形的中线即可进行判断①和④；利用AAS证明△BCD≌△ABE，即可进行判断③④⑤的正确性．
【详解】
解：①∵AE是中线，
∴BE＝CE，故①正确；
②∵DC⊥BC，BF⊥AE，
∴∠DBC+∠D＝∠DBC+∠BEA＝90°．
∴∠D＝∠BEA．
∵∠DCB＝∠ABE＝90°，
在△DBC与△ABE中，
，
∴△BCD≌△ABE（AAS）．
∴BD＝AE，故②正确；
③∵△BCD≌△ABE，
∴∠BAE＝∠CBD；故③正确；
④∵AE是中线，
∴∠EAC≠∠BAE，故④错误；
⑤∵△BCD≌△ABE，
∴BE＝CD，
∵BC＝2BE，
∴BC＝2CD，故⑤正确．
∴正确的结论有①②③⑤，共4个．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△BCD≌△ABE．
10．B
【解析】
【分析】当AF=FC、△AEF≌△CDF时，需要满足条件∠BAC=∠BCA，据此可判断①②；在AC上取AG=AE，连接FG，即可证得△AEG≌△AGF，得∠AFE=∠AFG；再证得∠CFG=∠CFD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△GFC≌△DFC，可得DC=GC，即可得结论，据此可判断③④．
【详解】
解：①假设AF=FC．则∠1=∠4．
∵AD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠1，∠BCA=2∠4，
∴∠BAC=∠BCA．
∴当∠BAC≠∠BCA时，该结论不成立；
故①不一定正确；
②假设△AEF≌△CDF，则∠2=∠3．
同①，当∠BAC=∠BCA时，该结论成立，
∴当∠BAC≠∠BCA时，该结论不成立；
故②不一定正确；
③如图，在AC上取AG=AE，连接FG，

∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
在△AEF与△AGF中
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG；
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠4+∠1=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°-∠B）=60°，
则∠AFC=180°-（∠4+∠1）=120°；
∴∠AFC=∠DFE=120°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，
则∠CFG=60°，
∴∠CFD=∠CFG，
在△GFC与△DFC中，
，
∴△GFC≌△DFC（ASA），
∴DC=GC，
∵AC=AG+GC，
∴AC=AE+CD．
故③正确；
④由③知，∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°，即∠AFC=120°；
故④正确；
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
11．C
【解析】
【分析】根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x值判断即可．
【详解】
此题需要分类讨论．
①若，则，
所以
所以此种情况不符合题意；
②若，则，
所以．
所以此种情况符合题意．
综上所述：
故选C．
【点拨】此题考查的是根据全等三角形的性质求字母的值，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．
12．D
【解析】
【分析】根据SAS可证明，根据AAS可证明；通过证明可证明，即平分；根据AF⊥CE，AG⊥BD，四边形内角和以及平角的性质可求得；根据是中AB边上的中线，BD是中AC边上的中线，可判断BD与CE的交点M为重心，即可知，进一步判断即可；若,在中，和的高相等，即可得．
【详解】
解：，
，
，
,
,
,
,
故①正确；
,
，
，
,
在和中，
，
，
，
平分，
故③正确；
,
，
在四边形中，
，
，
又，
，
故②正确；
若点E是AB的中点，则D是AC的中点，
是中AB边上的中线，
BD是中AC边上的中线，
则BD与CE的交点M为重心，
(重心到顶点距离是到边距离的2倍)，
,
，
在中，是锐角，是钝角，
,
，
,
,
,
，
，
故④正确；
,
,
若,
则，
在中，和的高相等，
，
为AB的中点，
故⑤正确；
综上正确的有：①②③④⑤，
故选：D．
【点拨】本题主要考查全等三角形判断与性质，四边形的内角和，三角形的重心的性质，以及三角形的面积等知识点，熟知以上知识点的性质定理是解本题的关键．
13．①③④
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确；
②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和△BCD，
错误；

③符合全等三角形的判定定理HL，即能画出唯一三角形，正确；
④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．
14．
【解析】
【分析】连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可．
【详解】
解：连接ED

是的中线，
，


设，






与是等高三角形，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
15．
【解析】
【分析】作于，根据全等三角形性质得出CP=PM，DC=AM，设PC=PM=x，AC=BC=3x，AM=DC=5x，求出BD=2x，即可求出答案．
【详解】
解：作于，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中

，
，，
，，
设，，，
，
，
故答案为：．

【点拨】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
16．5
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为BE，然后根据垂线段最短可得当时，BE取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】
如图，在AC上取一点E，使，连接ME，
是的平分线，
，
在和中，，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为BE，
又由垂线段最短得：当时，BE取得最小值，
，
，
解得，
即的最小值为5，
故答案为：5．

【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时BE的位置是解题关键．
17．3
【解析】
【详解】
如图，过点D作DH∥AC交BC于H，

∵△ABC是等边三角形，
∴△BDH也是等边三角形，
∴BD=HD，
∵BD=CF，
∴HD=CF，
∵DH∥AC，
∴∠PCF=∠PHD，
在△PCF和△PHD中，

∴△PCF≌△PHD（AAS），
∴PC=PH，
∵△BDH是等边三角形，DE⊥BC，
∴BE=EH，
∴EP=EH+HP= BC，
∵等边△ABC，AB=6，
∴EP=╳6＝3.
故答案是：3．
18．96°##96度
【解析】
【分析】根据题意由翻折的性质和全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行分析解答．
【详解】
解：设∠C′=α，∠B′=β，
∵将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，
∴△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=42°，
∴∠C′DB=∠BAC′+AC′D=42°+α，∠CEB′=42°+β．
∵C′D∥EB′∥BC，
∴∠ABC=∠C′DB=42°+α，∠ACB=∠CEB′=42°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即126°+α+β=180°．
则α+β=54°．
∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC=42°+α+β=42°+54°=96°．
故答案为：96°．
【点拨】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是利用“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理．
19．见解析
【解析】
【分析】分别作出一组对应边上的高，用三角形全等证明高相等即可．
【详解】
已知△ABC≌△A'B'C' ．
求证：=．
证明：如图，作A BC，作，垂足分别为D，，

∵△ABC≌△A'B'C'(已知)，
∴AB =A'B' ，BC=B'C'（ 全等三角形的对应边相等)，
∠B =∠（全等三角形的对应角相等)
在△ABD 和△A'B'D’中，
∵ ∠ADB = ∠A'D'B'= 90°(已知)，
∠B = ∠B'(已证)，
AB = A'B'(已证)，
∴ABD≌△A'B'D'(A.A.S.)，
∴AD = A'D’（全等三角形的对应边相等)，
∴=．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和三角形全等的证明，熟练掌握性质，灵活进行证明是解题的关键．
20．(1)6﹣2t
(2)是，详见解析
(3)当a＝时，能够使△BPD与△CQP全等
【解析】
【分析】(1)直接根据时间和速度表示PC的长；
(2)根据SAS证明△CQP≌△BPD即可；
(3)因为点P、Q的运动速度不相等，所以PB≠CQ，那么PB只能与PC相等，则PB＝PC＝3，CQ＝BD＝4，得2t＝3，at＝4，解出即可．
(1)
由题意得：PB＝2t，
则PC＝6﹣2t；
故答案为：6﹣2t；
(2)
理由是：当t＝a＝1时，PB＝CQ＝2，
∴PC＝6﹣2＝4，
∵∠B＝∠C，
∴AC＝AB＝8，
∵D是AB的中点，
∴BD＝AB＝4，
∴BD＝PC＝4，
在△CQP和△BPD中，
∵，
∴△CQP≌△BPD（SAS）；
(3)
∵点P、Q的运动速度不相等，
∴PB≠CQ，
当△BPD与△CQP全等，且∠B＝∠C，
∴BP＝PC＝3，CQ＝BD＝4，
∵BP＝2t＝3，CQ＝at＝4，
∴t＝，
∴a＝4，a＝，
∴当a＝时，能够使△BPD与△CQP全等．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程=速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．
21．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】（1）由余角的性质可证，根据“ASA”可证结论成立；
（2）由可得，结合可知，然后根据“SAS”证明△ABD≌△ACD可证结论成立．
(1)
证明：，，
，∠AEB=∠CEB=90°，
，∠EBC+∠C=90°，
，
在与中，
，
．
(2)
解：由（1）知，，
，，
是的中点，
，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，
∴，
平分．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．(1)证明过程见解析；
(2)①证明过程见解析；②PC=2PA，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）证明△BCD≌△ACP（SAS），可得结论；
（2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．证明△AMP≌△CMK（SAS），推出MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，再证明△PDB≌△PCK（SSS），可得结论；
②结论：PC=2PA．想办法证明∠DPB=30°，可得结论．
(1)
证明：如图1中，
∵△ABC，△CDP都是等边三角形，
∴CB=CA，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°，
∴∠BCD=∠ACP，
在△BCD和△ACP中，
，
∴△BCD≌△ACP（SAS），
∴BD=AP；
(2)
证明：如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．

∵AP⊥PM，
∴∠APM=90°，
在△AMP和△CMK中，
，
∴△AMP≌△CMK（SAS），
∴MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，
同法可证△BCD≌△ACP，
∴BD=PA=CK，
∵PB=2PM，
∴PB=PK，
∵PD=PC，
∴△PDB≌△PCK（SSS），
∴∠PBD=∠K=90°，
∴PB⊥BD．
②解：结论：PC=2PA．
∵△PDB≌△PCK，
∴∠DPB=∠CPK，
设∠DPB=∠CPK=x，则∠BDP=90°-x，
∵∠APC=∠CDB，
∴90°+x=60°+90°-x，
∴x=30°，
∴∠DPB=30°，
∵∠PBD=90°，
∴PD=2BD，
∵PC=PD，BD=PA，
∴PC=2PA．
【点拨】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题．
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；
（2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．
【详解】
（1）证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF=AC，
∵AC=BC，

∴FD=BC；
（2）作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，

∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E点为BC中点；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5，
∴AG=CG+AC=5.5，
∴，
同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5，
∴，
故答案为：或．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
（2）延长到点，使，连接，证明，可得，即
（3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论．
【详解】
解：（1）方法1：在上截，连接，如图．
平分，
．
在和中，，
，
，．
，．
．
，
．


方法2：延长到点，使得，连接，如图．


平分，
．
在和中，，
．
，．
，
．
，
，
．
（2）、、之间的数量关系为：．
（或者：，）．
延长到点，使，连接，如图2所示．


由（1）可知，
．
为等边三角形．
，．
，
．
．
，
为等边三角形．
，．
，
，
即．
在和中，，
．
，
，
．
（3），，之间的数量关系为：．
（或者：，）
解：连接，过点作于，如图3所示．


，．
．
在和中，，
，
，．
在和中，
，
．
，
，
．