第5章 生活中的轴对称（培优篇）-【挑战满分】七年级数学下册阶段性复习精选精练（北师大版）

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第5章 生活中的轴对称（培优篇）
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的（       ）
A． B． C． D．
2．如图，与是两个全等的等边三角形，，下列结论不正确的是（       ）

A． B．直线垂直平分
C． D．四边形是轴对称图形
3．如图所示，在四边ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，若在BC和CD上分别找一点M，使得△AMN的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的度数为（       ）

A．110° B．120° C．140° D．150°
4．如图所示，正方形ABCD的边长为a，正方形ABCD的面积记作，取各边中点，顺次连接得到的正方形面积记作，以此类推，则可用含a的代数式表示为（       ）

A． B． C． D．
5．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2）；再沿BF折叠成图（3）；继续沿EF折叠成图（4）按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是（　　）

A．20° B．19° C．18° D．15°
6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（       ）

A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
7．折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着进行第一次折叠，使得，两点落在、的位置，再将纸条沿着折叠（与在同一直线上），使得、分别落在、的位置．若，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
8．如图所示，，点为内一点，点关于对称的对称点分别为点，连接，分别与交于点，连接，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（       ）

A．32° B．64° C．65° D．70°
10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=35°，点D是AB上一点，将此△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的点B′处，则∠ADB′等于（     ）

A．35° B．30° C．25° D．20°
11．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5
12．已知，如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，延长AD到点E，连接BE、CE，
∠ABD+∠3=90°，∠1=∠2=∠3，下列结论：①△ABD为等腰三角形；②AE=AC；③BE=CE=CD；④CB平分∠ACE．其中正确的结论个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO＋∠CFO＝78°，则∠C的度数为=___________．
   
14．如图，长方形ABCD中(AD>AB)，M为CD上一点，若沿着AM折叠，点N恰落在BC上，则∠ANB+∠MNC=___________

15．小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，，，的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：①；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：______

16．图1是一张足够长的纸条，其中，点、分别在，上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕；如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕：将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕；．．．依此类推，第次折叠后， _______（用含和的代数式表示）．

17．如图，在△ABC中，∠BAC=75°，BC=3，△ABC的面积是12，D为BC边上一动点（不与B、C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积的最小值____．

18．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝62°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．

三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（8分）如图，在锐角∠AOB的内部有一点P，试在∠AOB的两边上各取一点M，N，使得△PMN的周长最小．（保留作图痕迹）




20．（10分）如图，将△ABC 分别沿 AB，AC 翻折得到△ABD 和△AEC，线段 BD 与AE 交于点 F．
（1）若∠ABC=16º，∠ACB=30°，求∠DAE 及∠BFE 的值；
（2）若 BD 与 CE 所在的直线互相垂直，求∠CAB 的度数．






21．（10分）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，点E、F在AB上，且∠ECF＝60°．
（1）①在图1中画出；点A关于直线CF的对称点G；②若EF＝AF，求证：BE＝EF；
（2）如图2，∠ABP＝120°，射线BP交CE的延长线于点P，求证：PB+AF＝PF．








22．（10分）如图，和是共顶点A的两个全等的等边三角形．
（1）该图形显然是轴对称图形．请你仅用无刻度的直尺画出该图形的对称轴l（不必写出作法，但要保留作图痕迹，标注对称轴l）
（2）在备用图1中，连接BD，CE，求证：；
（3）在备用图2中，连接BE，CD，求证：．
   



23．（10分）直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．
（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．
（2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．
①CM=　　　　，当N在F→C路径上时，CN=　　　　．（用含t的代数式表示）
②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．



24．（12分）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．

如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB=_________，C′B=_________，
∴AC +CB=AC+CB′=_________．
在△AC′B′，
∵AB′＜AC′+C′B′，
∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．
拓展应用：如图，等腰直角△ABC中，∠ACB = 90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC + PM的值最小时P的位置．（可用三角尺）

参考答案
1．D
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
解：∵A是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴A不符合题意；
∵B是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴B不符合题意；
∵C不是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴C不符合题意；
∵D是轴对称图形，是中心对称图形，
∴D符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查了轴对称图形即将图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，中心对称图形即将图形绕一点旋转180°后与原图形重合，正确理解定义是解题的关键．
2．A
【分析】
根据与是两个全等的等边三角形，可得到，，，然后结合，先计算出的大小，便可计算出的大小，从而判定出AD与BC的位置关系及BE与DC的关系，同时也由于与是等腰三角形，也容易确定四边形ABCD的对称性．
解：（1）∵与是两个全等的等边三角形
∴，，
∴
∵
∴
∴，
∴，所以选项A错误；
（2）由（1）得：

∴
∴，所以选项C正确；
（3）延长BE交CD于点F，连接BD．
∵，
∴
∴
∴
即

在与中

∴
∴
∴，综上，BE垂直平分CD,所以答案B正确；
（4）过E作，由得
而和是等腰三角形，则MN垂直平分AD、BC，所以四边形ABCD是軕对称图形，所以选项Ｂ正确．
故选：Ａ

【点拨】本题考查的知识点主要是等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定及其轴对称图形的定义，添加辅助线构造全等三角形是本题的难点．
3．B
【分析】
根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．

∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°-120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
故选B．
【点拨】此题主要考查了平面内最短路线问题求法，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用，根据轴对称的性质，得出M，N的位置是解题的关键．
4．C
【分析】
根据折叠的性质求得、的面积，观察规律，即可求解．
解：由题意可知：正方形ABCD的面积

由题意可得：分别为各边的中点，
将正方形沿、进行折叠，可得与重合，与重合，
可以得到、、、
又∵

∴
同理可得，…

故选C
【点拨】此题考查了图形类规律的探索问题，解题的关键是求出前面图形的面积，得出规律．
5．C
【分析】
根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，可得CF与GF重合，依据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数．
解：设∠DEF＝α，则∠EFG＝α，
∵折叠9次后CF与GF重合，
∴∠CFE＝9∠EFG＝9α，
如图（2），∵CFDE，
∴∠DEF+∠CFE＝180°，
∴α+9α＝180°，
∴α＝18°，
即∠DEF＝18°．
故选：C．
【点拨】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠DEF+∠CFE＝180°．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
6．C
【分析】
如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．
解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．

∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，
∴CD=CM=CN，
∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠MCD+∠NCD=180°，
∴M、C、N共线，
∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，
∵FM+EN+EF≥MN，
∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，
最小值为MN=2CD，
∵CD⊥AB，
∴•AB•CD=•AB•AC，
∴CD===2.4，
∴DE+EF+FD的最小值为4.8．
故选：C．
【点拨】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．A
【分析】
先根据折叠和平行的性质得出∠EFB=∠GEF，再利用三角形的外角和平行的性质得出∠FGD1=∠G2FC，最后利用∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°计算即可
解：∵AD//BC
∴∠DEF=∠EFB．
由折叠可知∠GEF=∠DEF，∠GFG1=∠GFC2
∴∠EFB=∠GEF．
∠FGD1=2∠BFE，又
∴∠FGD1+∠GFC1=180°
∵∠BFC2+∠C2FC=180°．
∴∠FGD1=∠G2FC．
即∠C2FC=2∠BFE．
又∵3∠EFB=∠EFC2．
∵∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°
∴ ∠BFE+3∠EFB+2∠BFE=180°
即6∠EFB=180°
∴∠EFB=30°
故选：A
【点拨】本题考查折叠的性质、平行线的判定、三角形的外角，灵活进行角的转换是解题的关键
8．B
【分析】
由，根据三角形的内角和定理可得到的值，再根据对顶角相等可以求出的值，然后由点P与点、对称的特点，求出，进而可以求出的值，最后利用三角形的内角和定理即可求出．
解：∵
∴
∵，
∴
又∵点关于对称的对称点分别为点
∴，
∴
∴
∴
故选：B
【点拨】本题考查的知识点有三角形的内角和、轴对称的性质，运用这些性质找到相等的角进行角的和差的转化是解题的关键.
9．B
【分析】
此题涉及的知识点是三角形的翻折问题，根据翻折后的图形相等关系，利用三角形全等的性质得到角的关系，然后利用等量代换思想就可以得到答案
解：如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置

∠B=∠D=32°       ∠BEH=∠DEH
∠1=180-∠BEH-∠DEH=180-2∠DEH
∠2=180-∠D-∠DEH-∠EHF
=180-∠B-∠DEH-(∠B+∠BEH)
=180-∠B-∠DEH-（∠B+∠DEH）
=180-32°-∠DEH-32°-∠DEH
=180-64°-2∠DEH
∠1-∠2=180-2∠DEH-(180-64°-2∠DEH)
=180-2∠DEH-180+64°+2∠DEH
=64°
故选B
【点拨】此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力，等量代换是解本题的关键
10．D
解：在Rt△ACB中，因为∠ACB=90°，∠A=35°，所以∠B=55°.又因为∠CB′D是∠B折叠所得，所以∠CB′D=∠B=55°.而∠CB′D =∠A+∠AD B′，所以∠AD B′=∠CB′D －∠A=55°－35°=20°.  
故选D.
【点拨】主要考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质、直角三角形的性质、三角形的内角和和三角形的外角等几何知识点，这是灵活运用的基础．
11．B
解：由等边三角形的性质得，点B，C关于AD对称，连接BE交AD于点P，则EP+CP=BE最小，又BE=AD，所以EP+CP的最小值是3.
故选B.
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.
12．C
【分析】
作AF平分∠BAD．可根据证△ABF≌△ADF，推出AB=AD，得出△ABD为等腰三角形；可根据同弦所对的圆周角相等知点A、B、C、E共圆，可判出BE=CE=CD，根据三角形内角和等于180°，可判出AE=AC；求出∠7=90°﹣∠2，根据∠1=∠4=∠2推出∠4≠∠7，即可得出BC不是∠ACE的平分线．
解：作AF平分∠BAD，

∵∠BAD=∠3，∠ABD+∠3=90°，
∴∠BAF=∠3=∠DAF，
∴∠ABF+∠BAF=90°
∴∠AFB=∠AFD=90°，
在△BAF和△DAF中

∴△ABF≌△ADF(ASA)，
∴AB=AD，故①正确；
∵AE＝AC，
∴∠6＝∠4＋∠7＝＝90°−，
∵∠5＝∠ADB＝∠ABD＝＝90°−，∠1＝∠2，
∴∠5＝∠6＝90°−
∴CE＝CD，∠4＝180°−∠5−∠6＝180°−2（90°−）＝∠1，
∵∠1＝∠3，
∴∠4＝∠3，
∴BE＝CE，
∴BE＝CE＝CD，
∴③正确；
∵∠6+∠2+∠ACE=180°，∠6=∠5=∠ADB=∠ABD=90°﹣∠2．
∴∠ACE=180°﹣∠6﹣∠2=90°﹣∠2，
∴∠ACE=∠6，
∴AE=CE，故②正确
∵∠5=∠2+∠7=90°﹣∠2，
∴∠7=90°﹣∠2，
∵∠BAD=∠4=∠2，
∴∠4≠∠7，故④错误；
故选C．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同弦所对的圆周角相等、三角形内角和的相关知识，灵活运用所学知识是解题的关键．
13．
解：如图，连接AO、BO．由题意EA=EB=EO，推出∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，由DO=DA，FO=FB，推出∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，推出∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，由∠CDO+∠CFO=78°，推出2∠DAO+2∠FBO=78°，推出∠DAO+∠FBO=39°，由此即可解决问题．
解：如图，连接AO、BO．

由题意EA=EB=EO，
∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
∵DO=DA，FO=FB，
∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，
∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，
∵∠CDO+∠CFO=78°，
∴2∠DAO+2∠FBO=78°，
∴∠DAO+∠FBO=39°，
∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=129°，
∴∠C=180°-（∠CAB+∠CBA）=180°-129°=51°，
故答案为51°.
【点拨】本题考查三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．
14．900
解：根据折叠的性质，可知∠D=∠MNA=90°，因此可知∠ANB+∠MNC=180°-∠MNA=90°.
故答案为90°.
15．①
【分析】
根据题意先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根据等腰三角形的性质即可得出，进而再判断②③即可．
解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF=∠CEO=50°，①正确；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°, ②错误；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°,即D、O、C三点不共线，③错误.
故答案为：①．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和180°以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析判断．
16．180°-．
【分析】
设纸条QM所在直线为QC ，第一次将纸条折叠，使与重合，得折痕，由PR1∥QB，可得∠MAR1=∠ABM=.∠AR1B=∠R1BC=，由AM∥R1N，∠MAR1+∠AR1N=180°，可求∠AR1N=180°-；第二次将纸条折叠，使与重合，得折痕；求出∠MR1R2=∠R1BC=.∠R1R2B=∠R2BC=，可得∠AR2N=180°-∠MR1R2 =180°-；第三次将纸条折叠，使与重合，得折痕；可求∠MR2R3=∠R2BC=.∠R2R3B=∠R3BC=，可得∠AR3N=180°-∠MR2R3 =180°-；……第n次将纸条折叠，使与重合，得折痕；∠MRn-1Rn=∠Rn-1BC=.∠Rn-1RnB=∠RnBC=，∠ARnN=180°-∠MRn-1Rn =180°-即可．
解：设纸条QM所在直线为QC ，
第一次将纸条折叠，使与重合，得折痕；
∵PR1∥QB，
∴∠MAR1=∠ABM=.∠AR1B=∠R1BC=，
∵AM∥R1N，
∴∠MAR1+∠AR1N=180°，
∴∠AR1N=180°-∠MAR1=180°-；
第二次将纸条折叠，使与重合，得折痕；
∵PR2∥QB，
∴∠MR1R2=∠R1BC=.∠R1R2B=∠R2BC=，
∵R1M∥R2N，
∴∠MR1R2+∠AR2N=180°，
∴∠AR2N=180°-∠MR1R2 =180°-；
第三次将纸条折叠，使与重合，得折痕；
∵PR3∥QB，
∴∠MR2R3=∠R2BC=.∠R2R3B=∠R3BC=，
∵R2M∥R3N，
∴∠MR2R3+∠AR3N=180°，
∴∠AR3N=180°-∠MR2R3 =180°-；
……
第n次将纸条折叠，使与重合，得折痕；
∵PRn∥QB，
∴∠MRn-1Rn=∠Rn-1BC=.∠Rn-1RnB=∠RnBC=，
∵Rn-1M∥RnN，
∴∠MRn-1Rn+∠ARnN=180°，
∴∠ARnN=180°-∠MRn-1Rn =180°-．
故答案为：180°-．

【点拨】本题考查轴对称性质，与角平分线有关计算，平行线性质，掌握轴对称性质，与角平分线有关计算，平行线性质，仔细观察图形，找出∠MRn-1Rn=是解题关键．
17．16
【分析】
如图，作E作EG⊥AF，交FA的延长线于G，利用折叠的性质得出AF＝AE＝AD，∠BAE＝∠BAD，∠DAC＝∠FAC，然后进一步得出EG＝AE＝AD，根据当AD⊥BC时，AD最短进一步求取最小值即可．
解：
如图，过E作EG⊥AF，交FA的延长线于G，
由折叠可得，AF＝AE＝AD，∠BAE＝∠BAD，∠DAC＝∠FAC，
又∵∠BAC＝75°，
∴∠EAF＝150°，
∴∠EAG＝30°，
∴EG＝AE＝AD，
当AD⊥BC时，AD最短，
∵BC＝3，△ABC的面积为12，
∴当AD⊥BC时，AD＝8＝AE＝AF，
∴△AEF的面积最小值为： AF×EG＝×8×4＝16，
故答案为：16．
【点拨】本题主要考查了几何折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键．
18．124
【分析】
连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB＝OC，再根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：如图，连接OB、OC，

∵∠BAC＝62°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×62°＝31°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°−∠BAC）＝（180°−62°）＝59°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝31°，
∴∠OBC＝∠ABC−∠ABO＝59°−31°＝28°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB＝∠OBC＝28°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝28°，
在△OCE中，∠OEC＝180°−∠COE−∠OCB＝180°−28°−28°＝124°，
故答案为：124．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
19．
【分析】
作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接PM，N，△PMN即为所求求作三角形．
解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，△PMN即为所求作三角形．

理由：由轴对称的性质得MP＝ME，NP＝NF，
∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，
根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短．
【点拨】本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
20．（1）42°，108°；（2）135°．
【分析】
由“∠ABC=16º，∠ACB=30°”可以求出∠BAC的度数，根据翻折的性质可以求出∠DAE与∠BFE的度数，由“BD 与 CE 所在的直线互相垂直”可得∠DBC+∠ECB=90°，再利用翻折的性质可求出答案
解：（1）∵∠ABC=16°，∠ACB=30°，
∴∠BAC=134°，
∵△ABC≌△ABD，△ABC≌△AEC，
∴∠BAD=∠EAC=134°；∠DAE=134°×3－360°=42°．
∵∠D=∠ACB=30°，
∴∠BFE=∠DFA=180°－42°-30°=108°；
（2）∵BD 所在直线与 CE 所在直线互相垂直，
∴∠DBC+∠ECB=90°，
∵翻折
∴∠ABC=∠DBC       ∠ACB =∠ECB       
∴∠ABC+∠ACB= ( ∠DBC+∠ECB )=45°，
∴∠CAB=180°－(∠ABC+∠ACB )= 135°．
【点拨】本题的关键是利用翻折的性质解答
21．（1）①见分析，②见分析；（2）见分析.
【分析】
（1）根据对称的性质画出点G，根据对称的性质和全等三角形的性质可求证BE＝EF.（2）将△ACF绕C点逆时针旋转至AC与BC重合，根据全等三角形的性质可求证PB+AF＝PF.
解：（1）①如解图（1）：G为点A关于直线CF的对称点；
②连接FG、CG、EG，
∵G为点A关于直线CF的对称点；
∴△ACF≌△GCF，
∴AC＝CG，∠ACF＝∠GCF，∠FGC＝∠A．
   又∵AC＝BC，
∴CG＝CB，
∵∠ACB＝120°，∠ECF＝60°，
∴∠ECG＝60°﹣∠GCF＝60°﹣∠ACF，∠BCE＝60°﹣∠ACF，
∴∠ECG＝∠ECB，
在△GCE和△BCE中

∴△GCE≌△BCE（SAS），
∴EG＝BE，∠B＝∠EGC，
∵∠ACB＝120°，
∴∠A+∠B＝60°，
∴∠EGC+∠FGC＝60°，
又∵AF＝EF＝FG，
∴△FEG为等边三角形，
∴EF＝EG＝BE，即BE＝EF．
（2）证明：由AC＝BC，∠ACB＝120°，故可将△ACF绕C点逆时针旋转120°到△BCF′位置，如解图2，
∵△ACF≌△BCF′，
∴∠A＝∠CBA＝∠CBF′＝30°，AF＝BF’，∠ACF＝∠BCF′
又∵∠FBP＝120°，
∴∠FBP+∠ABC+∠CBF′＝180°，
∴B、P、F′在同一直线上，
又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCF′+∠BCE＝60°，即∠PCF’＝60°．
在△CFP和△CF′P中，
，
∴△CFP≌△CF′P（SAS）
∴FP＝F′P，
∵PB+BF′＝BP+AF，
∴PB+AF＝PF

【点拨】本题综合考查图形对称、图形旋转和全等三角形的性质和判定.
22．（1）图见分析；（2）证明见分析；（3）证明见分析．
【分析】
（1）先连接BD、CE，相交于点O，再过点A、O作直线即可得；
（2）先根据等边三角形的性质、全等三角形的性质可得，，再根据角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（3）如图（见分析），先根据等边三角形的性质、全等三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理、角的和差可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证．
解：（1）先连接BD、CE，相交于点O，再过点A、O作直线，如图所示：
则直线即为所作；

（2）如图，和是两个全等的等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
；

（3）如图，和是两个全等的等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
．

【点拨】本题考查了画图形的对称轴、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、平行线的判定等知识点，熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质是解题关键．
23．（1）证明见分析；（2）①CM=，CN=；②t=3.5或5或6.5．
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理证明△ACD≌△CBE；
（2）①由折叠的性质可得出答案；
②动点N沿F→C路径运动，点N沿C→B路径运动，点N沿B→C路径运动，点N沿C→F路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算．
解：（1）∵AD⊥直线，BE⊥直线，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）①由题意得，AM=t，FN=3t，
则CM=8-t，
由折叠的性质可知，CF=CB=6，
∴CN=6-3t；
故答案为：8-t；6-3t；
②由折叠的性质可知，∠BCE=∠FCE，
∵∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°，
∴∠NCE=∠CMD，
∴当CM=CN时，△MDC与△CEN全等，
当点N沿F→C路径运动时，8-t=6-3t，
解得，t=-1（不合题意），
当点N沿C→B路径运动时，CN=3t-6，
则8-t=3t-6，
解得，t=3.5，
当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8-t=18-3t，
解得，t=5，
当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8-t=3t-18，
解得，t=6.5，
综上所述，当t=3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与△CEN全等．
【点拨】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
24．见分析
【分析】
利用轴对称的性质和三角形的三边关系可得；拓展应用中，在BA上截取BC'=BC，连接CC'，可证得C、C'关于BD对称，将两条线段的和最小问题转化为垂线段最短来解决．
解：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB=CB'，C′B=C'B'，
∴AC+CB=AC+CB′=AB'．
在△AC′B′，
∵AB′＜AC′+C′B′，
∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．
故答案为：CB'，C'B'，AB'；
拓展应用：如图，在BA上截取BC'=BC，连接CC'，过C'作C'M⊥BC于点M，交BD于点P，在BD上另取一点P'，连接P'C'，在BC上取点M'，连接P'M'，

∵BC=BC'，BD平分∠CBC'，
∴BD垂直平分CC'，
∴PC=PC'，P'C=P'C'，
∴PC+PM=PC'+PM=C'M，
∵C'P'+P'M'＞C'M，
∴PC+PM＜P'C+P'M'，
∴点P即为所求．
【点拨】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边的关系、以及垂线段最短等知识，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键．