第4章 三角形（基础篇）-【挑战满分】七年级数学下册阶段性复习精选精练（北师大版）

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第4章 三角形（基础篇）
一、（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，，12 C．，， D．，，
2．下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（ ）
A．B．C．D．
3．已知△ABC中，∠A，∠B、∠C的外角度数之比为2：3：4，则这个三角形是（       ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．是的外角，平分，若，，则等于（       ）

A． B． C． D．
5．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（       ）

A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
6．如图，，在线段，上，且，再添加条件（       ），不能得到

A． B． C． D．
7．如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，∠FAC＝40°，则∠BFE＝（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
8．如图，在长方形中，，，延长到点，使．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点运动．设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（       ）

A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
9．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则与的和为（       ）

A． B． C． D．
10．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知ABCD，，，则的度数是（       ）

A．28° B．38° C．48° D．58°
11．如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为（       ）

A．118° B．119° C．120° D．121°
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足，若第三边为奇数，则该三角形的周长为______．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是________．

15．如图，D、E分别是BC、AD中点，S△ABC＝4cm2，则S△ABE＝___cm2．

16．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．

17．在Rt，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=__cm．

18．如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④AD =CE，⑤A1F=CE，其中正确的是________(写出正确结论的序号)

三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（10分）我们知道若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，如下：
，


根据你的观察，解决下面的问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知的三边长都是互不相等的正整数，且满足，求的最大边的值．






20．（8分）如图，若∠B=28°，∠C=22°，∠A=60°，求∠BDC．





21．（10分）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：．
求作：，使得≌．
作法：如图．

（1）画；
（2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．

请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在和中，

∴≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS






22．（10分）如图，点，，，在直线上（，之间不能直接测量），点，在异侧，测得，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．





23．（10分）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D
在同一条直线上．求证：BD=CE．








24．（12分）在中，，，直线经过点，且于，于，
（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：
①；
②；
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，猜想、、之间的关系，并请给出证明．
























参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系，看其中较小两边的和是否大于最长边即可判断各个选项中的三条线段是否能组成三角形．
【详解】
，，，不能组成三角形，故选项A错误，
，，，不能组成三角形，故选项B错误，
，，，不能组成三角形，故选项C错误，
， ，，能组成三角形，故选项D正确，
故选D．
【点拨】本题考查了三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．
2．A
【解析】
【详解】
解：根据三角形高线的定义，只有A选项符合．
故选A．
【点拨】根据三角形的高的定义，过顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段为三角形的高，观察各选项直接选择答案即可．
3．C
【解析】
【分析】
根据三个外角度数比为2：3：4，求出最大角内角的度数，即可判断形状．
【详解】
∠A，∠B、∠C的外角度数之比为2：3：4，
最小的外角为，则
则这个三角形是钝角三角形，
故选C
【点拨】本题考查的是三角形的外角的定义与性质，解答本题的关键是熟练掌握三角形的外角和为360°，同时知道只要三角形的最大角的度数确定了，三角形的形状也确定了．
4．D
【解析】
【分析】
根据三角形外角性质求出∠ACD，然后根据角平分线定义求出即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵CE平分，
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
认真阅读作法，可得出，结论可得．
【详解】
解：根据题意得：，
∴△ODM≌△CEN的依据是“”，
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等．
6．D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理依次分析判断．
【详解】
解：由题意知，AD=AE，∠A=∠A，
A、当∠B=∠C时，可利用AAS证明，故正确；
B、当时，可得∠ADC=∠AEB，则可利用AAS证明，故正确；
C、当AB=AC时，可利用SAS证明，故正确；
D、当BE=CD时，根据SSA不能，故错误；
故选：D．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
由“SAS”可证△ABC≌△AEF，可得∠C＝∠AFE，由外角的性质可求解．
【详解】
解：在△ABC和△AEF中，

，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠C＝∠AFE，
∵∠AFB＝∠FAC+∠C＝∠AFE+∠EFB，
∴∠BFE＝∠FAC＝40°，
故选：B．
【点拨】本题主要考查三角形的全等证明，掌握证明全等三角形的方法是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．
【详解】
解：因为，若，，
根据证得，
由题意得：，
所以，
因为，若，，
根据证得，
由题意得：，
解得．
所以，当的值为1或7秒时．和全等．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定方法有：，，，，．
9．C
【解析】
【分析】
首先证明△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质可得∠1=∠AED，再根据余角的定义可得∠AED+∠2=90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．
【详解】
解：∵在△ABC和△AED中
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴∠1=∠AED，
∵∠AED+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
10．B
【解析】
【分析】
延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】
解：如图，


延长交于，
，，
，
又，
，
故选．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
11．C
【解析】
【分析】
根据已知的条件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确．
【详解】
解：∵，
∴△AEB≌△AFC；（AAS）
∴∠FAM=∠EAN，
∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正确）
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，
∴△EAM≌△FAN；（ASA）
∴EM=FN；（故①正确）
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；
故选：C．
【点拨】此题考查了全等三角形的性质与判别，考查了学生根据图形分析问题，解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：SSS，SAS，ASA，AAS及HL．学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法．
12．C
【解析】
【分析】
由三角形内角和定理得∠ABC＋∠ACB＝120°，由角平分线的性质得∠CBE＋∠BCD＝60°，再利用三角形的内角和定理得结果．
【详解】
解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝120°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠CBE＝∠ABC，∠BCD＝∠BCA，
∴∠CBE＋∠BCD＝（∠ABC＋∠BCA）＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，
故选：C．
【点拨】本题考查三角形内角和和角平分线的相关知识，关键是可以根据题目中的信息，灵活变化求出相应问题的答案．
13．20
【解析】
【分析】
根据非负数的性质求解的值，再利用三角形的三边关系求解的范围，结合已知条件，从而可得答案.
【详解】
解：

解得：
又因为第三边为奇数，

所以该三角形的周长为
故答案为：
【点拨】本题考查的是三角形三边的关系，掌握“三角形的三边关系得到”是解本题的关键.
14．5
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB于E，由△DAE≌△DAC得到DE的长，进而解答；
【详解】
解：如图，过D作DE⊥AB于E，

△DAE和△DAC中，
AD平分∠BAC，则∠DAE=∠DAC，
∠DEA=∠DCA=90°，DA=DA，
∴△DAE≌△DAC（AAS），
∴DE=DC=2，
∴△ABD的面积=×AB×DE=×5×2=5，
故答案为：5；
【点拨】本题考查了角平分线的概念，全等三角形的判定（AAS）和性质；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
15．1
【解析】
【分析】
根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行计算．
【详解】
解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ABC，
∵E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD＝S△ABC，
∵S△ABC＝4cm2，
∴S△ABE＝S△ABC＝1（cm2）．
故答案为：1．
【点拨】此题考查了三角形的中线的性质，即三角形的中线把三角形的面积等分成相等的两部分．
16．4
【解析】
【详解】
试题分析：如图：

由题意可得：∠CPA＝30°，∠DAB＝30°，AP＝4，AD⊥PB，
∵CP//AD，
∴∠PAD＝∠APC＝30°，
∴∠PAD＝∠DAB，
∵∠ADP＝∠ADB＝90°，AD＝AD，
∴△ADP≌△ADB，
∴AB＝AP＝4，
即该海轮沿南偏东30°方向航行4海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处.
点睛：本题考查了方位角和全等三角形的判定和性质，根据题意结合方位角证明出三角形全等是解决此题的关键．
17．3．
【解析】
【详解】
∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°．
∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°．∴∠ECF=∠B，
在△ABC和△FEC中，∵∠ECF=∠B，EC=BC，∠ACB=∠FEC=90°，
∴△ABC≌△FEC（ASA）．∴AC=EF．
∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5﹣2=3cm．
18．①②⑤
【解析】
【详解】
①∠C=∠C1（旋转后所得三角形与原三角形完全相等）
又∵∠DFC=∠BFC1（对顶角相等）
∴∠CDF=∠C1BF=α
故结论①正确；
②∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠A1=∠C，A1B=CB，∠A1BF=∠CBE，
∴△A1BF≌△CBE(ASA)，
∴BF=BE，
∴A1B﹣BE=BC﹣BF，
∴A1E=CF；
故②正确；
③在三角形DFC中，∠C与∠CDF=α度不一定相等，所以DF与FC不一定相等，
故结论③不一定正确；
④由△A1BF≌△CBE
那么A1F=CE．
故结论④正确．
19．（1）；（2）8或9
【解析】
【分析】
（1）根据完全平方的非负性求出x，y的值即可；
（2）先根据完全平方的非负性求出a，b的值，再根据三角形三边关系，求出c即可.
【详解】
解：（1）∵
∴
∴
（2）由题意易知，
∵是的三条边，
∴，
即，
又∵为最大边，
∴，
为正整数，
8或9.
【点拨】本题是对完全平方非负性的考查，熟练掌握完全平方的非负性和三角形三边关系是解决本题的关键.
20．∠BDC=110°．
【解析】
【分析】
连结BC．在△ABC中，依据三角形的内角和定理可求得∠ABC+ACB=120°，接下来，结合已知条件可求得∠DBC+∠DCB=70°，最后在△BDC中，依据三角形内角和定理求解即可．
【详解】
如图所示：连结BC．

∵∠A=60°，∴∠ABC+ACB=120°．
∵∠ABD=28°，∠ACD=22°，∴∠DBC+∠DCB=70°，∴∠BDC=180°﹣70°=110°．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理的应用，掌握本题的辅助线的做法是解题的关键．
21．（1）；（2）④．
【解析】
【分析】
（1）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得；
（2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得．
【详解】
（1）证明：由作图可知，在和中，
，
∴．
故答案为：．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是，
故答案为：④．
【点拨】本题考查了利用定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
22．（1）见解析；（2）4
【解析】
【分析】
（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．
（2）根据全等三角形的性质即可得到BC＝EF，从而得到BF＝EC，由此即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵AB∥DE，

∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF＋FC＝EC＋FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝10，BF＝3，
∴FC＝10－3－3＝4．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
23．见解析
【解析】
【分析】
求出AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根据SAS证出△ADB≌△AEC即可．
【详解】
证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD=AE，AB=AC．
又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，
∴∠DAB=∠EAC．
∴△ADB≌△AEC（SAS）．
∴BD=CE．
24．（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）①利用“AAS”证明全等即可；
②根据即可得到，，即可得到；
（2）同（1）证明得到，，即可推出．
【详解】
证明（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在和中，
，
∴（AAS）；
②∵，
∴，，
∴；
（2）关系：；
证明：∵，，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴，，
∴．