第4章 三角形（提高篇）-【挑战满分】七年级数学下册阶段性复习精选精练（北师大版）

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第4章 三角形（提高篇）
一、（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列图形中有稳定性的是（       ）
A．等腰三角形 B．正方形
C．长方形 D．平行四边形
2．如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得两个角的度数为32°、74°，于是他很快判断这个三角形是（   ）．

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
3．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（       ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（       ）
A． B． C． D．
5．要求画的边AB上的高．下列画法中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，BE是ABD中AD边上的中线， 若=24，则ABE的面积是（       ）

A．4 B．12 C．6 D．8
7．如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（　　）

A．90° B．120° C．135° D．150°
8．如图，已知，平分，若，，则的度数是（       ）

A．50° B．44° C．34° D．30°
9．如图，，BE与CF交于点D，连接BC．若，，则的度数为（       ）

A．5° B．10° C．12° D．15°
10．如图，若则下列结论中不成立的是（       ）

A． B．
C．DA平分 D．
11．如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全等于△PBQ，则此时t的值是（       ）

A．4 B．6 C．8 D．10
12．如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（       ）

A．∠AOB=60° B．AP=BQ
C．PQ∥AE D．DE=DP
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________．

14．已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足，且a为方程 的解，则△ABC的周长为___________．
15．如图，点D在线段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，则在△ABD中，BD边上的高是__cm．

16．在△ABC中，AB＝9，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是 _____．
17．如图，，，F为AB上一点，连接CF，，，垂足分别是点E，D．若，，则DE的长为______cm．

18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在线段AC上且EC＝2AE，线段AD与线段BE交于点F，若△ABC的面积为6，则四边形EFDC的面积为________．

三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（10分）如图1，，的平分线交BC于点G，．
(1)求证：；
(2)如图2，若，的平分线交AD于点E、交射线GA于点F．求的度数．


20．（8分）若△ABC的三条边长a，b，c都是正整数，且满足2a2+b2+11＝4a+6b．
(1)求a，b的值；
(2)求△ABC的周长．
21．（10分）如图，，，.
（1）求证：；
（2）当，时，求的度数.







22．（10分）如图，，将三角尺的直角顶点落在的平分线的任意一点上，使三角尺的两条直角边与的两边分别相交于点，试猜想的数量关系．




23．（10分）如图中，，，∠ABC的平分线BD交AC于点D．
(1)求证：为等腰三角形．
(2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，证明：．






24．（12分）在中，，点是射线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图1，当点在线段上，且时，那么______度．
（2）设，．
①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点在线段的延长线上，时，请直接写出此时与之间的量关系 （不需证明）．




































参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性依次判断即可解答．
【详解】
解：正方形、长方形、平行四边形具有不稳定性，具有稳定性的是等腰三角形．
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，是基础题，需熟记．
2．B
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和是180°，求得第三个内角的度数，然后根据角的度数判断三角形的形状．
【详解】
第三个角的度数=180°-32°-74°=74°，
所以，该三角形是等腰三角形.
故选B.
【点拨】此题考查了三角形的内角和公式以及三角形的分类．
3．C
【解析】
【分析】
根据两边之和等于第三边的原则去判断即可
【详解】
∵3+5＞7，
∴能构成三角形，不符合题意；
∵4+5＞8，
∴能构成三角形，不符合题意；
∵7+5=12，
∴不能构成三角形，符合题意；
∵8+7＞13，
∴能构成三角形，不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了三角形的存在性，熟练掌握两边之和大于第三边是判断的根本标准．
4．B
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：根据三角形三边关系，
∴三角形的第三边x满足：，即，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
根据三角形高的定义判断即可；
【详解】
A中AD是边BC上面的高，故不符合题意；
B中不符合三角形高的作图，故不符合题意；
C中CD是AB边上的高，故符合题意；
D中BD是AC边上的高，故不符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查了三角形高的画法，准确分析是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据三角形的中线的性质，得的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半，由此即可解决问题；
【详解】
解：是的中线，
．
是的中线，
．
故选：C．
【点拨】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．
7．C
【解析】
【分析】
标注字母，利用“边角边”判断出和全等，根据全等三角形对应角相等可得（或观察图形得到，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．
【详解】
解：如图，在和中，

，
，
（或观察图形得到，
，
，
又，
．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等图形，网格结构，解题的关键是准确识图判断出全等的三角形．
8．C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的外角性质求出∠BCD,再求出∠B,然后利用全等三角形的性质求∠E即可．
【详解】
解：∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝30°，
∵∠CGF＝∠D+∠BCD，
∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°，
∴∠BCA＝116°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝34°，
故选：C．
【点拨】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
9．B
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得到，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】






故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
10．D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即可．
【详解】
解：A．∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意；
B．如图，∵△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E，
∵∠AOE＝∠DOC，∠E＋∠CAE＋∠AOE＝180°，∠C＋∠COD＋∠CDE＝180°，
∴∠CAE＝∠CDE，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意；
C．∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∴∠B＝∠BDA，
∴∠BDA＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意；
D．∵△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE，故本选项符合题意；
故选：D．

【点拨】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
11．A
【解析】
【分析】
由题意得，，如图，当△CAP全等于△PBQ时，得到，根据速度为1米/分钟即可求解．
【详解】
由题意得，
如图，当△CAP全等于△PBQ时，
AC＝4m
m
P点从B向A运动，每分钟走1m

故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是准确的用t表示出BP 的长度．
12．D
【解析】
【分析】
利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出B正确；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D错误．
【详解】
解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠DAC，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
又∵AC=BC，
在△CQB与△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，
故C正确，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，
故B正确，
∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD-AP=BE-BQ，
即DP=QE，
∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故D错误；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
故A正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量．
13．全等三角形的对应边相等
【解析】
【分析】
连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依所据全等三角形对就边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长．
【详解】
解：连接AB，，如图，

∵点O分别是AC、BD的中点，
∴OA＝OC，OB＝OD．
在△AOB和△COD中，
OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）．
故答案为：全等三角形的对应边相等．
【点拨】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
14．7
【解析】
【分析】
利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴或，
∵，
∴，
∴△ABC的周长为，
故答案为：7．
【点拨】本题主要考查三角形三边关系及绝对值和偶次方的性质，解题关键是熟练掌握三角形三边关系．
15．4cm
【解析】
【分析】
从三角形的一个顶点向它对边所作的垂线段（顶点至对边垂足间的线段）,叫做三角形的高．这条边叫做底．
【详解】
因为AC⊥BC，
所以三角形ABD中，BD边上的高是：AC=4cm
故答案为：4cm
【点拨】考核知识点：三角形的高．理解三角形的高的定义是关键．
16．2＜AD＜7
【解析】
【分析】
延长中线利用全等，使AD与已知两边满足三角形的三边关系．
【详解】
解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，


∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC，
根据三角形的三边关系定理：9﹣5＜AE＜9+5，
∴2＜AD＜7，
故答案为：2＜AD＜7．
【点拨】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定（SAS），三角形的三边长度关系；延长三角形的中线证明全等是常用的解题方法，要熟练掌握．
17．3
【解析】
【分析】
根据AAS证明△AEC≌△CDB，得到CD＝AE＝5cm，CE＝BD＝2cm，即可得出ED＝3cm．
【详解】
解：∵AE⊥CF，BD⊥CF，
∴∠AEC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠BCD＝∠CAE＋∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD，
在△AEC和△CDB中，

∴△AEC≌△CDB（AAS），
∴CD＝AE＝5cm，CE＝BD＝2cm，
∴ED＝CD−CE＝5−2＝3（cm），
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．证得三角形全等是解决问题的关键．
18．
【解析】
【分析】
连接CF，根据CE=2AE，△ABC的面积为6可知S△ABE=×6=2，S△BCE=×6=4，S△AEF：S△CEF=1：2，设S△AEF=S，则S△CEF=2S，故S△ABF=2﹣S，则S△BCF=4﹣2S，设S△ABF=x=2﹣S，则S△BDF=S△CDF=3-x，由AD是BC边上的中线可知S△ABF＋S△BDF＝S△CDF＋S△AEF＋S△CEF，则有3=3-x+3S，即x=3S，所以，由此可得出结论．
【详解】
解：连接CF，

∵CE=2AE，△ABC的面积为6，
∴S△ABE=×6=2，S△BCE=×6=4，S△AEF：S△CEF=1：2，
∵AD是BC边上的中线，
∴，，
设S△AEF=S，则S△CEF=2S，
∴S△ABF=2﹣S，则S△BCF=4﹣2S，
设S△ABF=x=2-S，则S△BDF=S△CDF=3-x，
∵AD是BC边上的中线，
∴S△ABF＋S△BDF＝S△CDF＋S△AEF＋S△CEF，
即3=3-x+3S，即x=3S，
∴，
∴，
∴S四边形EFDC=．
故答案为．
【点拨】本题考查的是三角形的中线与三角形的面积关系，熟知三角形的中线与面积的关系是解答此题的关键．
19．(1)见解析
(2)20°
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明．
（2）先根据直角的平分线得：∠GCF=45°，由平行线的性质得：∠AEF=∠GCF=45°，∠DAB=180°-50°=130°，最后根据外角的性质可得∠AFC的度数．
(1)
∵AD//BC，
∴∠GAD=∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD，
∴∠BAG=∠BGA；
(2)
∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴∠GCF=45°，
∵AD//BC，
∴∠AEF=∠GCF=45°，
∵∠ABC=50°，
∴∠DAB=180°-50°=130°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD=65°，
∴∠AFC=65°-45°=20°
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、平行线的判定与性质及角的和与差，熟练掌握角平分线的定义、三角形外角的性质是解答本题的关键．
20．(1)a＝1，b＝3
(2)7
【解析】
【分析】
（1）已知等式整理后，利用完全平方公式凑成两个完全平方式的和，再利用非负数的性质求出a与b的值即可；
（2）根据a与b的值，利用三角形三边关系及a，b，c为正整数确定出c的值，进而求出三角形周长即可．
(1)
已知等式整理得：2（a2﹣2a+1）+（b2﹣6b+9）＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0，
∵（a﹣1）2≥0，（b﹣3）2≥0，
∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝3；
(2)
∵△ABC的三条边长a，b，c都是正整数，
∴b﹣a＜c＜b+a，即2＜c＜4，
∴c＝3，
则三角形周长为1+3+3＝7．
【点拨】本题考查了完全平方公式、平方数的非负性、三角形三边的关系，根据条件把等式凑成两个完全平方式的和为零是解题的关键与难点．
21．（1）详见解析；（2）120°
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由“SAS”证明即可得解；
（2）由及三角形的内角和定理即可求解.
【详解】
（1）∵
∴
∴
在与中

∴（SAS）
∴；
（2）∵，
∴
∵
∴.
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的证明方法是解决本题的关键.
22．PE=PF，理由见解析
【解析】
【分析】
过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，根据角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，PM=PN，可以通过证明PM、PN所两在的两个直角三角形全等，即Rt△PEM ≌Rt△PFM 来证明PE=PF．
【详解】
PE=PF，理由如下：
过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N




四边形OMPN是矩形




即
OP平分



【点拨】本题是证明两条线段相等．证明两条线段相等，通常是证明这两条线段所在的三角形全等，然后再根据全等三角形对应边相等证得的结论.注意题目给出了角平分线，常常应用到角平分线性质构造辅助线帮助解决问题．
23．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可求∠DBC＝∠ACB，可得结论；
（2）如图，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点F，交AB的延长线于点H，连接EH，
由“ASA”可证△AFC≌△AFB，可得AC＝AH，HF＝CF，由等腰三角形的判定可证BH＝BE，可得结论．
(1)
证明：∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝40°，
∴∠DBC＝∠ACB，
∴BD＝CD，
∴△BCD是等腰三角形；
(2)
证明：如图，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点F，交AB的延长线于点H，连接EH，

∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
在△AFC和△AFH中，
，
∴△AFC≌△AFB（ASA），
∴AC＝AH，HF＝CF，
∴AF是CH的垂直平分线，
∴EH＝EC，
∴∠ECH＝∠EHC，
∵AH＝AC，
∴∠AHC＝∠ACH，
∴∠ACB＝∠AHE＝40°，
∵∠ABC＝80°＝∠AHE+∠BEH，
∴∠BEH＝40°＝∠AHE，
∴BH＝BE，
∴AB+BE＝AH＝AC＝AD+CD＝AD+BD，
即BD+AD＝AB+BE．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（1）90；（2）① ．证明见解析；② ．
【解析】
【分析】
（1）先证得∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，即可解题；
（2）①先证得∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠B+∠ACB=180°-α即可解题；②易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解题．
【详解】
解：（1）∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；
故答案为 90．.
（2）①
证明：∵∠BAD+∠DAC=α，∠DAC+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=180°-α，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β，
∴α+β=180°；
② 图形如下，

∵∠BAD+∠BAE=α，∠BAE+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，
∠CED=∠AEC+∠AED，
∴α=β．
故答案为α=β．