第2章 相交线与平行线（提高篇）-【挑战满分】七年级数学下册阶段性复习精选精练（北师大版）

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第2章 相交线与平行线（提高篇）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如下图，在“”字型图中，、被所截，则与是（ ）

A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
2．如图，两条直线a，b相交，若2∠3＝3∠1，则以下各角度数正确的是（　　）

A．∠1＝72° B．∠2＝120° C．∠3＝144° D．∠4＝36°
3．如图，在下列条件中，不能判定直线与平行的是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③若时，；④．其中正确的结论有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图（1），在中，，边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当（ ）时，．


A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°
6．工人师傅对如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备在A处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，弯的角度是(　　)

A．40° B．140° C．40°或140° D．50°
7．如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为(　　)

A．α+β+γ=360° B．α﹣β+γ=180°
C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=180°
8．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( )

A．10° B．15° C．18° D．30°
9．如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上任意一点，若△ABC、△PB′C′的面积分别为，则下列关系正确的是（ ）

A． B． C． D．
10．如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（ ）个．A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个
二、填空题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）
11．如图，AB∥CD，∠B=160°，∠D=120°，则∠E=_________

12．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为_____．

13．如图，在三角形ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上的高AD＝4，若点P在边AC上（不与点A，C重合）移动，则线段BP最短时的长为_________________．

14．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，则另一个角的度数是_____．
15．如图，已知，直线分别与相交于两点，现把一块含角的直角三角中尺按如图所示的位置摆放．若，则___________．

16．如图,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后,D、C分别落在D′,C′的位置上,ED′与BC交于G点,若∠EFG=56°,则∠AEG=_______．

17．如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点，若∠COB＝50°，则∠AOD＝_______

18．如图，A、B、C表示三位同学所站位置，C同学在A同学的北偏东方向，在B同学的北偏西方向，那么C同学看A、B两位同学的视角______．

19．如图，在四边形BCEF中，BF∥AD∥CE，S△ABC＝3，则△DEF的面积是___．

三、解答题（本大题共9小题，共84分）
20．（8分）根据语句画图，并填空
①画；
②画的平分线；
③在上任取一点P，画于D，于E；
④画交于F；
⑤通过度量比较的大小________；
⑥________．
21．（8分）完成下面的证明：
如图，平分，平分，且，求证．

证明：∵平分（已知），
∴（ ）．
∵平分（已知），
∴________（ ）．
∴（ ）．
∵（已知），
∴________（ ）．
∴（ ）．


22．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE
（1）判断OF与OD的位置关系，并进行证明．
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．



23．（8分）已知：如图，直线，直线MN交EF，PO于点A，B，直线HQ交EF，PO于点D，C，DG与OP交于点G，若，，．
（1）求证：；
（2）请直接写出的度数．



24．（8分）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F，
（1）求证：CF∥AB，
（2）求∠DFC的度数．







25．（10分）如图，点为直线上一点，为一射线，平分，平分．
(1)若，试探究，的位置关系，并说明理由．
(2)若为任意角，（）中，的位置关系是否仍成立？请说明理由，由此你发现了什么规律？（数学思想链接：从特殊到一般）






26．（10分）如图，点，分别在的边，上，点在线段上，且，．
（1）求证∶；
（2）若平分，，求的度数．





27．（12分）将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．

(1)如图①，若，则_______，与的关系是_______；
(2)如图②，固定三角板不动，将三角板绕点O旋转到如图所示位置．
①（1）中你发现的与的关系是否仍然成立，请说明理由；
②如图②，若，在内画射线，设，探究发现随着x的值的变化，图中以O为顶点的角中互余角的对数也变化．请直接写出以O为顶点的角中互余角的对数有哪几种情况？并写出每一种情况相应的x的取值或取值范围．





28．（12分）如图1，已AB∥CD，∠C＝∠A．
（1）求证：AD∥BC；
（2）如图2，若点E是在平行线AB，CD内，AD右侧的任意一点，探究∠BAE，∠CDE，∠E之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，若∠C＝90°，且点E在线段BC上，DF平分∠EDC，射线DF在∠EDC的内部，且交BC于点M，交AE延长线于点F，∠AED+∠AEC＝180°，
①直接写出∠AED与∠FDC的数量关系： ．
②点P在射线DA上，且满足∠DEP＝2∠F，∠DEA﹣∠PEA＝∠DEB，补全图形后，求∠EPD的度数






















参考答案
1．A
【分析】
根据同位角，内错角，同旁内角和邻补角的定义判断即可．
【详解】
解：在“”字型图中，两条直线、被所截形成的角中，∠A与∠4都在直线AB、DE的同侧，并且在第三条直线（截线）AC的同旁，则∠A与∠4是同位角．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和邻补角的定义，正确理解定义是解题的关键．
2．A
【分析】
先根据邻补角的定义可得，从而可求出的度数，再根据对顶角相等分别求出的度数，由此即可得出答案．
【详解】
解：，
，
解得，
，
由对顶角相等得：，，
观察四个选项可知，只有选项A正确，
故选：A．
【点拨】本题考查了邻补角、对顶角相等，熟练掌握邻补角的定义是解题关键．
3．C
【分析】
根据平行线的判定定理判断即可．
【详解】
∵，∴a∥b，∴A选项不符合题意；

∵，∴a∥b，∴B选项不符合题意；
∵，∴a∥b，∴D选项不符合题意；
∵，无法判断a∥b，∴C选项符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了平行线的判定定理，熟记平行线判定定理是解题的关键．
4．B
【分析】
由邻补角，角平分线的定义，余角的性质进行依次判断即可．
【详解】
解：∵∠AOE=90°，∠DOF=90°，
∴∠BOE=90°=∠AOE=∠DOF，
∴∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD=90°，
∴∠EOF=∠BOD，∠AOF=∠DOE，
∴当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；
故①正确；
∵OB平分∠DOG，
∴∠BOD=∠BOG，
∴∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC，
故④正确；
∵，
∴∠BOD=180°-150°=30°，
∴
故③正确；
若为的平分线，则∠DOE=∠DOG，
∴∠BOG+∠BOD=90°-∠EOE，
∴∠EOF=30°，而无法确定，
∴无法说明②的正确性；
故选：B．
【点拨】本题考查了邻补角，角平分线的定义，余角的性质，数形结合是解决本题的关键．
5．C
【分析】
结合旋转的过程可知，因为位置的改变，与∠ A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．
【详解】
解：如图（2），


当∠ACB'=42°时，
∵，
∴∠ACB'=∠A．
∴CB'∥AB．
如图（2），


当∠ACB'=138°时，
∵∠A=42°，
∴
∴CB'∥AB．
综上可得，当或时，CB'∥AB．
故选：C
【点拨】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据CB'在旋转过程中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．
6．C
【分析】
需要分类讨论：从点A处向左边弯和从点A处想右边弯两种情况．
【详解】

如图1，
作AE∥BC，
则∠CBA+∠EAB=180°，
∵∠CBA=40°，
∴∠EAB=140°，
如图2，作AE∥BC，
则∠CBA=∠EAB=40°；
综上所述，弯的角度是40°或140°．
故选C．
【点拨】本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
7．C
【分析】
过点E作EF∥AB，如图，易得CD∥EF，然后根据平行线的性质可得∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ，进一步即得结论．
【详解】
解：过点E作EF∥AB，如图，∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF，
∴∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ，
∴∠FEA=β﹣γ，∴α+(β﹣γ)=180°，即α+β﹣γ=180°．
故选：C．

【点拨】本题考查了平行公理的推论和平行线的性质，属于常考题型，作EF∥AB、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8．B
【分析】
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．
【详解】
由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°﹣30°=15°．
故选B.
【点拨】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.
9．C
【分析】
根据平行线间的距离相等可知△ABC，△PB′C′的高相等，再由同底等高的三角形面积相等即可得到答案．
【详解】
解：∵△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，
∴AA′∥BC′，
∵点P是直线AA′上任意一点，
∴△ABC，△PB′C′的高相等，
∴S1=S2，
故选：C．
【点拨】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
10．D
【分析】
根据三条直线是否有平行线分类讨论即可．
【详解】
解：当三条直线平行时，交点个数为0；
当三条直线相交于1点时，交点个数为1；
当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2；
当三条直线互相不平行时，且交点不重合时，交点个数为3；
所以，它们的交点个数有4种情形．
故选：D．
【点拨】本题考查多条直线交点问题，解题关键是根据三条直线中是否有平行线和是否交于一点进行分类讨论．
11．40°
【分析】
延长AB交DE于F，由平行线的性质得出同位角相等∠EFB=∠D=120°，再由三角形的外角性质即可求出∠E的度数．
【详解】
解：延长AB交DE于F，

∵AB∥CD，∠D=120°，
∴∠EFB=∠D=120°，
∴∠E=∠B-∠EFB=40°．
故答案为40°．
【点拨】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理计算是解题关键．
12．55°
【分析】
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，可得∠ABE＝∠BEF, ∠DEF＝∠CDE.先根据角平分线的定义，得出∠ABE＝∠CBE＝20°，∠ADE＝∠CDE＝35°，进而求得∠E的度数．
【详解】
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠ABE＝∠BEF, ∠DEF＝∠CDE.
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC=40°，∠BAD＝∠ADC＝70°，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC=20°，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC=35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=20°+35°=55°.
故答案为55°．

【点拨】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确做出辅助线是解题的关键．本题也考查了数形结合的数学思想.
13．
【分析】
根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，利用面积法即可求出此时BP的长．
【详解】
解：根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP最短，
∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BP，
∴6×4＝5BP，
∴PB＝，
即BP最短时的值为：．
故答案为：．
【点评】
此题考查了垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握线段的性质是解本题的关键．
14．40°或140°##140°或40°
【分析】
由两角的两边互相平行可得这两个角相等或互补，再由其中一个角为 ，即可得出答案．
【详解】
解：因为两个角的两边互相平行，
所以这两个角相等或互补，
若这两个角相等，因为其中一个角为，所以另一个角的度数为；
若这两个角互补，则另一个角的度数为 ；
故答案为或 ．
【点拨】此题考查了平行线的性质和补角的定义，属于基本题型，正确分类，熟练掌握平行线的性质是关键．
15．
【分析】
根据平行线的性质可得∠BDC的度数，然后根据角的和差即可得．
【详解】
如图，∵，
∴，
∵，
∴．

故答案为20°
【点拨】本题考查了平行线的性质、角的和差，属于基础题型，熟记各定义与性质是解题关键．
16．68°
【分析】
根据对称可知∠DEF=∠FEG,又AD∥BC,∴∠DEF=∠EFG=56°,从而求出∠AEG.
【详解】
∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFG=56°,又根据对称可知∠DEF=∠FEG,∴∠AEG=180°－∠DEF－∠FEG=68°.
【点拨】本题的解题关键是掌握平行线的性质以及对称性.
17．130°##130度
【分析】
先计算出，再根据可求出结论．
【详解】
解：∵，
∴
∵
∴
故答案为：130°
【点拨】本题考查了角的计算及余角的计算，熟悉图形是解题的关键．
18．
【分析】
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得答案．
【详解】
如图
，
作，
，
，
，
故答案为．
【点拨】本题考查了方向角，利用平行线的性质两直线平行内错角相等是解题关键．
19．6
【分析】
根据题意利用平行线间距离即所有垂线段的长度相等，可以求得S△ADF=S△ABD，S△ADE=S△ACD，S△CEF=S△BCE，利用面积相等把S△DEF转化为已知△ABC的面积，即可求解．
【详解】
解：∵BF∥AD∥CE，
∴S△ADF=S△ABD，S△ADE=S△ACD，S△CEF=S△BCE，
∴S△AEF=S△CEF-S△ACE=S△BCE-S△ACE=S△ABC，
S△DEF=S△ADF+S△ADE+S△AEF=S△ABD+S△ACD+S△ABC=S△ABC+S△ABC=2S△ABC=2×3=6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查平行线的推论，注意掌握平行线间距离即所有垂线段的长度相等并利用三角形面积相等，把S△DEF转化为已知△ABC的面积．
20．图见解析，；
【分析】
根据题意利用三角板和量角器画出对应的，对应的角平分线OC，线段PD，PE，PF，再通过度量即可得出⑤PE=PD，利用平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得到 ，再由角平分线的性质“角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半”从而得出，即可得出答案．
【详解】
解：①如图：为所作；
②如图：OC为所作；
③如图：PD、PE为所作；
④如图：PF为所作；
⑤通过度量可得：PE=PD，
⑥∵PF//OB，
∴∠OPF=∠POB，
∵∠AOB=80°，OC平分∠AOB，
∴ ，
∵P在OC上，
∴∠POB=40°，
∴∠OPF=∠POB=40°．

【点拨】本题考查了画角平分线、垂线和平行线，角平分线的性质，平行线的性质，熟练使用直尺，量角器是画图的关键．
21．角的平分线的定义；；角的平分线的定义；等式性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【分析】
根据角平分线的性质,等式性质，等量代换，平行线判定逐个求解即可．
【详解】
解：平分（已知）
∴（角平分线的定义）
平分（已知）
∴2∠β（角平分线的定义）
∴（等式性质）
（已知）
∴180°（等量代换）
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：角的平分线的定义；；角的平分线的定义；等式性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【点拨】本题考查平行线的判定、角平分线的定义，等式性质等，熟练掌握平行线的判定是解决本题的关键．
22．（1）OF⊥OD，证明详见解析；（2）∠EOF＝60°．
【分析】
（1）由OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠FOE＝∠AOE、∠EOD＝∠EOB，根据邻补角互补可得出∠AOE+∠EOB＝180°，进而可得出∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝90°，由此即可证出OF⊥OD；
（2）由∠AOC：∠AOD＝1：5结合邻补角互补、对顶角相等，可求出∠BOD的度数，根据OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠BOE的度数以及∠EOF＝∠AOE，再根据邻补角互补结合∠EOF＝∠AOE，可求出∠EOF的度数．
【详解】
（1）OF⊥OD．
证明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠FOE＝∠AOE，∠EOD＝∠EOB．
∵∠AOE+∠EOB＝180°，
∴∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝（∠AOE+∠EOB）＝90°．
∴OF⊥OD．
（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD：∠AOD＝1：5．
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝30°，∠AOD＝150°．
∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，∠EOF＝∠AOE．
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠EOF＝60°．

【点拨】此题考查对顶角，邻补角，角平分线的定义，解题的关键是：（1）根据邻补角互补结合角平分线的定义找出∠FOD=90°；（2）通过比例关系结合邻补角互补求出∠BOD的度数．
23．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据可得，，再根据内错角相等两直线平行即可得证；
（2）根据两直线平行的性质可得，从而可得，再由即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的判定及性质，利用数形结合的思想进行求解．
24．（1）证明见解析；（2）105°
【分析】
（1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF；
（2）利用三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】
解：（1）证明：∵CF平分∠DCE，
∴∠1=∠2=∠DCE．
∵∠DCE=90°，
∴∠1=45°．
∵∠3=45°，
∴∠1=∠3．
∴AB∥CF．
（2）∵∠D=30°，∠1=45°，
∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．
【点拨】本题考查平行线的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是本题的解题关键．
25．(1)，理由见解析
(2)成立，邻补角的两条角平分线互相垂直
【分析】
（1）根据，求出∠AOC的度数，根据角平分线得到∠EOC与∠COF的度数，即可得到答案；
（2）根据∠BOC求出∠AOC的度数，根据角平分线得到∠EOC与∠COF的度数，即可得到答案．
(1)
解：．理由如下：
因为，
所以．
因为平分，平分，
所以，，
所以，
所以．
(2)
解：成立．理由：
因为，
所以．
因为平分，平分，
所以，，
所以，
所以．
规律：邻补角的两条角平分线互相垂直．
【点拨】此题考查了几何图形中角度的和差计算，角平分线的计算，正确理解图形中各角的位置关系进行和差计算是解题的关键，还考查了由特殊到一般的解题思想．
26．（1）见解析；（2）72°
【分析】
（1）先证明，推出，则，由，得到，即可得到；
（2）根据角平分线的定义与平行线的性质可以得到，再由，，即可求出，最后根据求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴.
∴.
∵，
∴.

【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
27．(1)25 ，互补
(2)①成立 ，理由见解析；②共有3种情况，当x=35时，互余的角有4对；当x=20时，互余的角有6对；当0< x